Системой счисления называется совокупность правил наименования и изображения чисел с помощью конечного набора символов, называемых цифрами.
Системы счисления бывают непозиционные и позиционные.
Система счисления называется непозиционной, если значение цифры в записи числа не зависит от позиции, которую она занимает в последовательности цифр, изображающей число. Примеры непозиционных систем счисления: римская, древнегреческая и др.
Система счисления называется позиционной, если значение цифры в записи числа зависит от позиции, которую она занимает в последовательности цифр, изображающей число. Примеры позиционных систем счисления: десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и др.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Просмотр содержимого документа
«Решение задач по теме «Системы счисления»»
Решение задач по теме «Системы счисления»
Теоретический материал
Системы счисления
Системой счисления называется совокупность правил наименования и изображения чисел с помощью конечного набора символов, называемых цифрами.
Системы счисления бывают непозиционные и позиционные.
Система счисления называется непозиционной, если значение цифры в записи числа не зависит от позиции, которую она занимает в последовательности цифр, изображающей число. Примеры непозиционных систем счисления: римская, древнегреческая и др.
Система счисления называется позиционной, если значение цифры в записи числа зависит от позиции, которую она занимает в последовательности цифр, изображающей число. Примеры позиционных систем счисления: десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и др.
В позиционных системах счисления основание системы счисления – это количество цифр, используемых в записи числа. В таблице собраны примеры нескольких систем счисления с указанием их основания и алфавита.
Название системы
Основание
Используемые цифры
Десятичная
10
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Двоичная
2
0,1
Восьмеричная
8
0,1,2,3,4,5,6,7
Шестнадцатеричная
16
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
В следующей таблице приведены первые 17 числе нескольких систем счисления:
Основание
«10»
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
«2»
0
1
10
11
100
101
110
111
…
«8»
0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
15
16
17
20
«16»
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
Обратите внимание, что при последовательном счете, начиная с нуля, в любой системе обязательно наступает момент, когда число становится двузначным и обозначается как «10». Появление двух знаков в изображении числа означает, что кончились знаки алфавита данной системы счисления и приходится использовать комбинацию из двух цифр.
Развернутая форма записи чисел
В позиционной системе счисления любое вещественное число может быть представлено в виде: Aq = (an-1qn-1+an-2qn-2 + … + a1q1 + a0q0 + a-1q-1 + a-2q-2 + … + a-mq-m) – развернутая форма числа.
Здесь:
А – само число,
q – основание системы счисления,
ai – цифры данной системы счисления (an-2; an-1 и др.),
n – число разрядов целой части числа,
m - число разрядов дробной части числа.
Пример 1. Записать в развернутом виде число А10 = 5124,23
Свернутой формой записи чисел называется запись в виде
A = an-1an-2…a1a0,a-1a-2…a-m . именно такой формой записи чисел мы пользуемся в повседневной жизни.
Перевод из десятичной системы в другие системы счисления
Алгоритм перевода целых чисел из десятичной системы счисления в любую другую.
1. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное, меньше делителя.
2. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, , привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.
3. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного.
Например, для перевода из десятичной системы в двоичную, делят на 2; для перевода в восьмеричную – на 8 и т.д.
Пример 4. 17510 x2
Таким образом, 17510 101011112
Пример 5. 17510 х8
Таким образом, 17510 2578
Пример 6. 17510 х16
Число 15 в шестнадцатеричной системе записывается как «F», а число 10 – как «А». Таким образом, 17510 AF16
Дробную часть числа, если таковая имеется, переводят по другому алгоритму.
1. Последовательно умножить данное число и получаемые дробные части произведения на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равна нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа.
2. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.
3. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.
Пример 7 0,62510 x2
0,
625
*2
0
1250
*2
0
2500
*2
0
5000
*2
1
0000
Получаем: 0,62510 0,00012
Пример 8. 0,6562510 x8
0,
65625
*8
5
25000
*8
2
00000
Получаем: 0,6562510 0,528
Пример 9. 0,6562510 x16
0,
65625
*16
10
(А)
50000
*16
8
00000
Получаем: 0,6562510 0,А816
Пример 10 . 0,910 x2
0,
9
*2
1
8
*2
1
6
*2
1
2
*2
0
4
*2
0
8
*2
1
6
…..
Этот перевод можно продолжать бесконечно. В этом случае деление производим до тех пор, пока не получим нужную точность представления числа.
Получаем: 0,910 0,1110012 с точностью до семи значащих цифр после запятой.
Для перевода произвольных чисел, т.е. содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно – дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой.
Пример 11. 2145,8610 х16. Дробную часть вычислять до пятого знака.
1) 214510 х16
214510 86116
2) 0,8610 х16
0,
86
*16
13
(D)
76
*16
12
(C)
16
*16
2
56
*16
8
96
15
(F)
36
Получаем: 0,8610 0,DC28F2 с точностью до пяти значащих цифр после запятой.
Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную
Алгоритм перевода чисел из любой системы счисления в десятичную.
1. Представить число в развернутой записи. При этом основание системы счисления должно быть представлено в десятичной системе счисления.
2. Найти сумму ряда. Полученное число является значением числа в десятичной системе счисления.
Пример 12. 1101,012 х10
1. Запишем число 1101,012 в развернутой форме: 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 + 1*2-1 + 1*2-2.
1. Запишем число 0,718 в развернутой форме: 7*8-1 + 1*8-2.
2. Найдем сумму ряда: 7*0,125 + 0,0625 = 0,937510.
Перевод чисел из двоичной системы счисления в систему счисления с основанием q = 2n.
Алгоритм перевода двоичных чисел в систему счисления с основанием q = 2n.
1. Целую часть двоичного числа разбить справа налево, а дробную - слева направо на группы по n цифр в каждой.
2. Если в крайней левой в целой части и/или в крайней правой в дробной части группе окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить нулями до нужного числа разрядов.
3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число изаписать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием =2n.
Пример 14. 1101110,00012 х8
1101110,00012 156,048
Пример 14. 1101110,00012 х16
1101110,00012 6Е,116
Перевод чисел из системы счисления с основанием q = 2n в двоичную систему счисления.
Алгоритм перевода чисел из системы счисления с основанием q = 2n в двоичную систему счисления.
1. Каждую цифру числа, записанного в системе счисления с основанием q = 2n, заменить ее n-разрядным эквивалентом в двоичной системе счисления.
Пример 15. 315,028 х2
315,028 11001101,000012
Пример 16. 12С16 х2
12С16 1001011002
Двоичная арифметика
Таблица сложения двоичных чисел
+
0
1
0
0
1
1
1
10
1 означает перенос в следующий разряд
Таблица вычитания двоичных чисел
-
0
1
0
0
11
1
1
0
1 означает заем из старшего разряда
Таблица умножения двоичных чисел
*
0
1
0
0
0
1
1
1
Пример 17.
1101,01
+ 111,10
10100,11
1001,10
-- 100,01
101,01
1011
* 101
------
1011
1011
-------------
110111
Обратите внимание на то, что 1 +1 +1 = 1 + перенос 1 в следующий разряд
Примеры из заданий ЕГЭ
1. Задание А1 демоверсии 2010 года (сайт fipi.ru)
Дано А=9D16, B=2378. Какое из чисел C, записанных в двоичной системе, отвечает условию A
1) 10011010
2) 10011110
3) 10011111
4) 11011110
Решение.
Переведем все данные нам числа в десятичную систему счисления. Проще будет сравнивать числа.
Значит, чтобы выполнялось условие ACB, С должно быть равно 15810. Сразу исключаем ответ под номером 3, так как это нечетное число.
Далее переведем 15810 в двоичную систему счисления. 15810 = 100111102. Правильный ответ 2.
2. Задание А4 демоверсии 2010 года (сайт fipi.ru)
Вычислите сумму чисел X и Y, если X=1101112 , Y=1358
Результат представьте в двоичном виде.
1) 110101002
2) 101001002
3) 100100112
4) 100101002
Решение.
Переведем число Y = 1358 в двоичную систему счисления.
Y = 1358 = 10111012. Выполним сложение двоичных чисел.
1 1 0 1 1 1
+ 1 0 1 1 1 0 1
-------------------
1 0 0 1 0 1 0 0 Правильный ответ 4.
3. Задание B3 демоверсии 2010 года (сайт fipi.ru)
В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 49 записывается в виде 100. Укажите это основание.
Решение.
Допустим, что основание системы равно х, тогда составим развернутую форму записи числа:
100х = 1*x2 + 0* x1 + 0*x0 = x2.
По условию задачи х2 = 4910. Найдем х:
х2 = 49 х = 7.
Можно выполнить проверку. Переведем число 4910 в 7-ричную систему счисления:
Ответ: 7.
4. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 17 оканчивается на 2.
Решение.
Последняя цифра в записи числа представляет собой остаток от деления числа на основание системы счисления 17-2 = 15. Найдем делители числа 15, это числа 3, 5 ,15.
Выполним проверку, записав число 17 в системах счисления с основанием 3, 5 , 15:
1710 = 1223 = 325 = 1215.
Ответ: 3, 5, 15.
3. Задание B3 (Информатика: ЕГЭ-2009: Самые новые издания/ авт.-сост. О.В. Ярцева, Е.Н. Цикина. – М.: АСТ: Астрель, 2009)
В саду 100q фруктовых деревьев. Из них 33q яблони, 22q груши, 16q слив и 5q вишен. В какой системе счисления посчитаны деревья?
4. Задание B3 (Информатика: ЕГЭ-2009: Самые новые издания/ авт.-сост. О.В. Ярцева, Е.Н. Цикина. – М.: АСТ: Астрель, 2009)
(Информатика: ЕГЭ-2009: Самые новые издания/ авт.-сост. О.В. Ярцева, Е.Н. Цикина. – М.: АСТ: Астрель, 2009)
Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 41, запись которых в системе счисления с основанием 3, оканчивается на 12.
Решение.
В интервале от 4 до 41 выберем те числа, которые при делении на 3 дают остаток 2. Это 5, 8, 11, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41.
Далее из полученных чисел выберем, у которых частное от их деления 3, при делении на 3 еще раз, дает остаток 1.
1) 41: 3 = 13 (ост. 2)
13 : 3 = 4 (ост. 1) 41 – искомое число.
2) 38 : 3 = 12 (ост. 2)
12 : 3 = 4 (ост. 0) – при переводе числа 38 в 3-ричную систему счисления получим число, оканчивающееся на 10, а не на 12 как нам требуется по условию задания. Не забудьте в ответе выписать полученные числа в порядке возрастания!
Ответ: 5, 14, 23, 32, 41.
5. Задание B3 (Информатика: ЕГЭ-2009: Самые новые издания/ авт.-сост. О.В. Ярцева, Е.Н. Цикина. – М.: АСТ: Астрель, 2009)
Сумму восьмеричных чисел 17 + 170 + 1 700 + … + 1 700 000 перевели в шестнадцатеричную систему счисления. Найдите в записи числа, равного этой сумме, третью цифру слева.
Решение.
Решим задание «в лоб». Найдем сумму восьмеричных чисел 17 + 170+1 700+17 000 + 170 000 + 1 700 000.
2 111 1078 х10 y16
2 111 1078 561 73510 89 24716.
Ответ: 2.
Задания для самостоятельного решения.
1. Найдите наименьшее из чисел А, В, С и D, записанных в различных системах счисления, если А = 10244, В = 4716, С = 7310, D = 10010102.
1) А 2) В 3) С 4) D
Ответ: 2.
2. Какое из неравенств выполняется для чисел А = 1648, В = А316, С = 22004?
1) A
Ответ: 2.
3. Сколько значащих нулей содержится в двоичной записи суммы чисел а = 1058 и b = С616?
1) 3 2) 4 3) 2 4) 5.
Ответ: 4.
4. Сколько единиц содержится в двоичной записи суммы чисел а = 3А16 и b = 738?
1) 3 2) 5 3) 4 4) 6.
Ответ: 2.
3. В системе счисления с некоторым основанием число 12 записывается как 110. Укажите это основание.
Ответ: 3.
4. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 15 оканчивается на 3.
Подсказка. Основание системы должно быть больше 3.
Ответ: 4 ,6 ,12.
5. В системе счисления с некоторым основанием q число 5810 записывается как 134q. Укажите это основание.
0,
Пример 8. 0,6562510 x8
