kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Основные понятия алгебры логики.

Нажмите, чтобы узнать подробности

В презентации рассмотрены основные понятия алгебры логики, логические выражения и логические операции.

Просмотр содержимого документа
«Основные понятия алгебры логики.»

Основы логики Основные понятия алгебры логики. Логические выражения и логические операции.

Основы логики

Основные понятия алгебры логики. Логические выражения и логические операции.

Термин «логика» происходит от древнегреческого logos – «слово, мысль, понятие, рассуждение, закон».  Логика является одной из дисциплин, образующих математический фундамент информатики.  В вычислительной технике и автоматике используются логические схемы – устройства, которые преобразуют двоичные сигналы.  Анализ и проектирование логических схем опираются на законы алгебры логики.  Любой язык программирования содержит логические переменные и средства для описания и вычисления логических выражений.  Логические методы применяются и при работе с базами данных.

Термин «логика» происходит от древнегреческого logos – «слово, мысль, понятие, рассуждение, закон».

Логика является одной из дисциплин, образующих математический фундамент информатики.

В вычислительной технике и автоматике используются логические схемы – устройства, которые преобразуют двоичные сигналы.

Анализ и проектирование логических схем опираются на законы алгебры логики.

Любой язык программирования содержит логические переменные и средства для описания и вычисления логических выражений.

Логические методы применяются и при работе с базами данных.

Логика – это наука о законах и формах мышления. Она изучает абстрактное мышление как средство познания объективного мира.

Логика – это наука о законах и формах мышления. Она изучает абстрактное мышление как средство познания объективного мира.

Этапы развития логики Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Дальнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат учения, созданные древнегреческими мыслителями. Основы формальной логики заложил Аристотель (384–322 гг. до н.э.), который впервые отделил логические формы речи от ее содержания.

Этапы развития логики

Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Дальнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат учения, созданные древнегреческими мыслителями. Основы формальной логики заложил Аристотель (384–322 гг. до н.э.), который впервые отделил логические формы речи от ее содержания.

В XVII веке немецкий ученый и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) попытался построить первые логические исчисления, усовершенствовал и уточнил логические символы.  На фундаменте, заложенном Лейбницем, другой великий математик, англичанин Джордж Буль (1815-1864) воздвиг здание новой области науки – математической логики.  Начальный раздел математической логики называют алгеброй логики или Булевой алгеброй.

В XVII веке немецкий ученый и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) попытался построить первые логические исчисления, усовершенствовал и уточнил логические символы.

На фундаменте, заложенном Лейбницем, другой великий математик, англичанин Джордж Буль (1815-1864) воздвиг здание новой области науки – математической логики.

Начальный раздел математической логики называют алгеброй логики или Булевой алгеброй.

Алгебра логики С точки зрения устройства ЭВМ нас интересует алгебра логики, в которой не рассматривается конкретное содержание основного понятия логики – высказывания, а важно только истинно оно или ложно. Основным объектом в логике является высказывание. Высказывание  – это повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно. Высказывание называется  Высказывание называется составным , если оно состоит из простых высказываний,  соединенных логическими связками: И, ИЛИ, частицей НЕ простым ,  если никакая его часть сама не является высказыванием.

Алгебра логики

С точки зрения устройства ЭВМ нас интересует алгебра логики, в которой не рассматривается конкретное содержание основного понятия логики – высказывания, а важно только истинно оно или ложно.

Основным объектом в логике является высказывание.

Высказываниеэто повествовательное предложение,

о котором можно сказать истинно оно или ложно.

Высказывание называется

Высказывание называется составным ,

если оно состоит из простых высказываний,

соединенных логическими связками:

И, ИЛИ, частицей НЕ

простым ,

если никакая его часть сама

не является высказыванием.

Основные понятия логики: Утверждение – высказывание, которое требуется доказать или опровергнуть. Например: «Сумма внутренних углов треугольника равна 180 0 » Рассуждение – цепочка высказываний или утверждений, определенным образом связанных друг с другом. Например: «Если хотите начать работать на компьютере, то необходимо сначала включить электропитание» Умозаключение – логическая операция, в результате которой из одного или нескольких данных высказываний получается (выводится) новое высказывание. Например: «Все металлы электропроводны». «Ртуть является металлом». Путем умозаключения можно сделать вывод, что «Ртуть электропроводна». Логическое выражение – запись или устное утверждение, в которое, наряду с постоянными, обязательно входят переменные величины (объекты). Например: (А ۸  (В ۷  С))

Основные понятия логики:

Утверждение – высказывание, которое требуется доказать или опровергнуть.

Например: «Сумма внутренних углов треугольника равна 180 0 »

Рассуждение – цепочка высказываний или утверждений, определенным образом связанных друг с другом.

Например: «Если хотите начать работать на компьютере, то необходимо сначала включить электропитание»

Умозаключение – логическая операция, в результате которой из одного или нескольких данных высказываний получается (выводится) новое высказывание.

Например: «Все металлы электропроводны». «Ртуть является металлом». Путем умозаключения можно сделать вывод, что «Ртуть электропроводна».

Логическое выражение – запись или устное утверждение, в которое, наряду с постоянными, обязательно входят переменные величины (объекты).

Например: (А ۸ (В ۷ С))

Простые высказывания обозначают заглавными латинскими буквами A, B, C…X, Y, Z и называют логическими переменными Значения высказываний ИСТИНА или ЛОЖЬ обозначают соответственно цифрами 1 и 0 и называют логическими величинами Составные высказывания называются логическими выражениями и включают в себя логические переменные, операции логики и скобки для изменения порядка действий операций

Простые высказывания обозначают

заглавными латинскими буквами

A, B, C…X, Y, Z и называют

логическими переменными

Значения высказываний

ИСТИНА или ЛОЖЬ обозначают

соответственно цифрами 1 и 0

и называют логическими величинами

Составные высказывания называются

логическими выражениями и включают

в себя логические переменные,

операции логики и скобки для изменения

порядка действий операций

3» B = «7 = 3» C = «7 ≠ 3» D = «B ۸ C» = «(7 = 3) ۸ (7 ≠ 3)» На языке алгебры логики эти высказывания можно записать так: A = ИСТИНА = 1 B = ЛОЖЬ = 0 C = ИСТИНА = 1 D = ЛОЖЬ = 0" width="640"

Примеры:

Рассмотрим следующие высказывания:

  • A = «7 3»
  • B = «7 = 3»
  • C = «7 ≠ 3»
  • D = «B ۸ C» = «(7 = 3) ۸ (7 ≠ 3)»

На языке алгебры логики эти высказывания можно записать так:

A = ИСТИНА = 1

B = ЛОЖЬ = 0

C = ИСТИНА = 1

D = ЛОЖЬ = 0

Обозначение высказываний A  – Это утро ясное. B  – Это утро тёплое. простые высказывания (элементарные) Любое высказывание либо ложно (0) либо истинно (1) Составные высказывания строятся из простых с помощью логических связок (операций)

Обозначение высказываний

A – Это утро ясное.

B – Это утро тёплое.

простые высказывания (элементарные)

Любое высказывание либо ложно (0) либо истинно (1)

Составные высказывания строятся из простых с помощью логических связок (операций) " и ", " или ", " не "...

A и B

Это утро ясное и тёплое.

Это утро ясное и оно не тёплое.

Это утро не ясное или оно тёплое.

A и не B

не A или B

Операция И  ( логическое умножение, конъюнкция) Высказывание

Операция И ( логическое умножение, конъюнкция)

Высказывание " A и B " истинно тогда и только тогда, когда А и B одновременно истинны.

A

B

А и B

0

0

0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

Примеры: Определить значения истинности следующих высказываний: Ленинград расположен на Неве и 2 + 3 = 5 7 – простое число и 9 – простое число 2 * 2 = 5 и 2 * 2 ≥ 3 Книга – источник информации и 5 не больше 8 Ответ: истинными высказываниями являются: 1, 4

Примеры:

Определить значения истинности следующих высказываний:

  • Ленинград расположен на Неве и 2 + 3 = 5
  • 7 – простое число и 9 – простое число
  • 2 * 2 = 5 и 2 * 2 ≥ 3
  • Книга – источник информации и 5 не больше 8

Ответ: истинными высказываниями являются: 1, 4

Операция ИЛИ  ( логическое сложение, дизъюнкция) Высказывание

Операция ИЛИ ( логическое сложение, дизъюнкция)

Высказывание " A или B " ложно тогда и только тогда, когда А и B одновременно ложны

A

B

А или B

0

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

5 Луна – спутник Марса или Луна – спутник Земли Microsoft Word – текстовый редактор или Paint – графический редактор Ответ: истинными высказываниями являются: 1, 3, 4" width="640"

Примеры:

Определить значения истинности следующих высказываний:

  • 7 – простое число или 9 – простое число
  • 2 или 2 5
  • Луна – спутник Марса или Луна – спутник Земли
  • Microsoft Word – текстовый редактор или Paint – графический редактор

Ответ: истинными высказываниями являются: 1, 3, 4

Операция НЕ ( инверсия, отрицание) Если высказывание A истинно, то

Операция НЕ ( инверсия, отрицание)

Если высказывание A истинно, то " не А " ложно,и наоборот.

А

не А

0

1

1

0

Примеры:  Сформулируйте отрицания следующих высказываний и укажите значения истинности полученных отрицаний:

Примеры:

Сформулируйте отрицания следующих высказываний и укажите значения истинности полученных отрицаний:

  • Волга впадает в Каспийское море.
  • Число 28 не делится на число 7.
  • 6 3.
  • 4 ≤ 5.
Базовый набор операций С помощью операций И, ИЛИ и НЕ можно реализовать любую логическую операцию. ИЛИ И НЕ базовый набор операций 17

Базовый набор операций

С помощью операций И, ИЛИ и НЕ можно реализовать любую логическую операцию.

ИЛИ

И

НЕ

базовый набор операций

17

Импликация, логическое следование ( B " истинно, если не исключено, что из А следует B . A 0 B А = B 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1" width="640"

Импликация, логическое следование ("если …, то …")

Высказывание " A = B " истинно, если не исключено, что из А следует B .

A

0

B

А = B

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

1

Примеры:  Определить значения истинности следующих высказываний: Если 12 делится на 6, то 12 делится на 3. Если 11 делится на 6, то 11 делится на 3. Если 15 делится на 10, то 15 делится на 2. Если 15 делится на 3, то 15 делится на 6. Ответ: истинными высказываниями являются: 1, 2, 3

Примеры:

Определить значения истинности следующих высказываний:

  • Если 12 делится на 6, то 12 делится на 3.
  • Если 11 делится на 6, то 11 делится на 3.
  • Если 15 делится на 10, то 15 делится на 2.
  • Если 15 делится на 3, то 15 делится на 6.

Ответ: истинными высказываниями являются: 1, 2, 3

Эквиваленция, равнозначность (

Эквиваленция, равнозначность ("тогда и только тогда, …")

Высказывание " A B " истинно тогда и только тогда, когда А и B равны.

A

0

B

А B

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

Примеры:  Определить значения истинности следующих высказываний: 12 делится на 6 тогда и только тогда, когда 12 делится на 3. 11 делится на 6 тогда и только тогда, когда 11 делится на 3. 15 делится на 6 тогда и только тогда, когда 15 делится на 3. 15 делится на 5 тогда и только тогда, когда 15 делится на 4. Ответ: истинными высказываниями являются: 1, 2

Примеры:

Определить значения истинности следующих высказываний:

  • 12 делится на 6 тогда и только тогда, когда 12 делится на 3.
  • 11 делится на 6 тогда и только тогда, когда 11 делится на 3.
  • 15 делится на 6 тогда и только тогда, когда 15 делится на 3.
  • 15 делится на 5 тогда и только тогда, когда 15 делится на 4.

Ответ: истинными высказываниями являются: 1, 2

Порядок выполнения операций

Порядок выполнения операций

  • Выражение в скобках
  • Инверсия
  • Конъюнкция
  • Дизъюнкция, импликация, эквивалентность
  • Операции отношения ( , ≤ , ≥ , = , ≠ )
В А ↔ В А ۸ В 1 1 0 А ۷ В 0 А 1 В 0 0 0 0 0 ¯ А 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0" width="640"

Объединенная таблица истинности

А = В

А В

А ۸ В

1

1

0

А ۷ В

0

А

1

В

0

0

0

0

0

¯ А

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

0

0

Пример 1.   Записать в виде логического выражения следующее высказывание: «Летом Петя поедет в деревню и, если будет хорошая погода, то он пойдет на рыбалку».   Проанализируем составное высказывание.  оно состоит из следующих простых высказываний: «Петя поедет в деревню», «Будет хорошая погода», «Он пойдет на рыбалку», обозначим их через логические переменные:  А= «Петя поедет в деревню»;  В = «Будет хорошая погода»;  С = «Он пойдет на рыбалку».   Запишем высказывание в виде логического выражения, учитывая порядок действий. Если необходимо, расставим скобки: F=A& (B → C).

Пример 1.

Записать в виде логического выражения следующее высказывание: «Летом Петя поедет в деревню и, если будет хорошая погода, то он пойдет на рыбалку».

Проанализируем составное высказывание.

оно состоит из следующих простых высказываний: «Петя поедет в деревню», «Будет хорошая погода», «Он пойдет на рыбалку», обозначим их через логические переменные:

А= «Петя поедет в деревню»;

В = «Будет хорошая погода»;

С = «Он пойдет на рыбалку».

Запишем высказывание в виде логического выражения, учитывая порядок действий. Если необходимо, расставим скобки: F=A& (BC).

Упражнение 2  Есть два простых высказывания: А - «Число 10 – четное»; В - «Волк травоядное животное».  Составьте из них все возможные составные высказывания и определите их истинность. Решение: А v В ¬  А ¬ В А→В А↔В А&В ЛОЖЬ (0) ИСТИНА (1) ЛОЖЬ (0) ИСТИНА (1) ЛОЖЬ (0) ЛОЖЬ (0)

Упражнение 2

Есть два простых высказывания:

А - «Число 10 – четное»;

В - «Волк травоядное животное».

Составьте из них все возможные составные высказывания и определите их истинность.

Решение:

А v В

¬ А

¬ В

А→В

А↔В

А&В

ЛОЖЬ (0)

ИСТИНА (1)

ЛОЖЬ (0)

ИСТИНА (1)

ЛОЖЬ (0)

ЛОЖЬ (0)

В Если Маша сестра Саши, то Саша – брат Маши. А = В Водительские права можно получать тогда и только тогда, когда тебе исполнится 18 лет. А↔В На компьютере можно выполнить вычисления или набрать текст. А v В" width="640"

Упражнение 3

Запишите высказывания в виде логических выражений:

  • Число 13 нечетное и двузначное.

А&В

  • Неверно, что корова хищное животное.

¬ А

  • На уроке информатики ученики выполняли практическую работу и сообщали результаты учителю.

А&В

  • Если число делится на 2, то оно четное.

А = В

  • Если Маша сестра Саши, то Саша – брат Маши.

А = В

  • Водительские права можно получать тогда и только тогда, когда тебе исполнится 18 лет.

А↔В

  • На компьютере можно выполнить вычисления или набрать текст.

А v В

Упражнение 5  Найдите значение логических выражений:  F=(0v0)v(1v1)  2. F=(1v1)v(1v0) 3. F=(0&0)&(1&1)  4. F= (1v1)v(¬0&1)

Упражнение 5

Найдите значение логических выражений:

  • F=(0v0)v(1v1)

2. F=(1v1)v(1v0)

3. F=(0&0)&(1&1)

4. F= (1v1)v(¬0&1)

  • (ответ: 1)
  • (ответ: 1)
  • (ответ: 0)
  • (ответ: 1)


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Информатика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 9 класс.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
Основные понятия алгебры логики.

Автор: Бражникова Ольга Валентиновна

Дата: 15.05.2016

Номер свидетельства: 326941

Похожие файлы

object(ArrayObject)#862 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(142) "Основные понятия алгебры логики. Логические выражения и логические операции."
    ["seo_title"] => string(85) "osnovnyieponiatiiaalghiebryloghikiloghichieskiievyrazhieniiailoghichieskiieopieratsii"
    ["file_id"] => string(6) "311040"
    ["category_seo"] => string(11) "informatika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1459148826"
  }
}
object(ArrayObject)#884 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(118) "План открытого урока "Основные понятия алгебры логики" в 9 классе"
    ["seo_title"] => string(65) "plan_otkrytogo_uroka_osnovnye_poniatiia_algebry_logiki_v_9_klasse"
    ["file_id"] => string(6) "491172"
    ["category_seo"] => string(11) "informatika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1545035537"
  }
}
object(ArrayObject)#862 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(135) "Презентация к открытому уроку "Основные понятия алгебры логики" в 9 классе"
    ["seo_title"] => string(76) "prezentatsiia_k_otkrytomu_uroku_osnovnye_poniatiia_algebry_logiki_v_9_klasse"
    ["file_id"] => string(6) "491173"
    ["category_seo"] => string(11) "informatika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1545035732"
  }
}
object(ArrayObject)#884 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(130) "Самоанализ открытого урока "Основные понятия алгебры логики" в 9 классе"
    ["seo_title"] => string(71) "samoanaliz_otkrytogo_uroka_osnovnye_poniatiia_algebry_logiki_v_9_klasse"
    ["file_id"] => string(6) "491174"
    ["category_seo"] => string(11) "informatika"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1545035890"
  }
}
object(ArrayObject)#862 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(59) "Основные понятия алгебры логики"
    ["seo_title"] => string(34) "osnovnyieponiatiiaalghiebryloghiki"
    ["file_id"] => string(6) "310807"
    ["category_seo"] => string(11) "informatika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1459097263"
  }
}



ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства