Основные понятия алгебры логики. Логические выражения и логические операции.

Логика (древнегреч. – слово logos ,

означает «мысль, понятие,

рассуждение, закон») - наука о

законах и формах мышления.

Алгебра логики изучает общие

операции над высказываниями.

Основы алгебры

логики (булева алгебра)

были положены

английским математиком

Джорджем Булем в 19

веке .

Высказывание (суждение) – это

повествовательное предложение, в

котором что-либо утверждается или

отрицается. По поводу любого

высказывания можно сказать истинно (1)

оно или ложно (0).

• Число 6 – четное.
• Здравствуйте!
• Все роботы являются машинами.
• Кто отсутствует?
• Выразите 1 ч 15 мин в секундах.
• А – первая буква в алфавите.

• Треугольник – геометрическая фигура.
• У каждой лошади есть хвост.
• Париж - столица Китая.
• Лед – твердое состояние воды.
• Все люди космонавты.

В алгебре логики высказывания

обозначаются именами логических

переменных (А, В,С), которые могут

Принимать значения истина (1) или

ложь (0).

Истина, ложь – логические константы.

Логические выражения бывают

простые или сложные.

Простое логическое выражение

состоит из одного высказывания и не

содержит логические операции. В нём

возможно только два результата –

либо «истина», либо «ложь».

Сл ожное логическое высказывание строится из

простых с помощью связок «И», «ИЛИ», «НЕ»,

которые называются логическими операциями.

Основные логические операции:

• И (конъюнкция, логическое умножение)
• ИЛИ (дизъюнкция, логическое сложение)
• НЕ (инверсия, логическое отрицание)
• Если – то (импликация, следование)
• Тогда и только тогда, когда (эквивалентность, равнозначность)

Конъюнкция

(логическое умножение)

Обозначение: А & B или А ^ B

Союз в естественном языке – И (А и В)

Пример: А – «Число 10 – четное»

В – «Число 10 – отрицательное».

Число 10 четное и отрицательное.

Все операции алгебры логики определяются таблицами истинности значений. Таблица истинности определяет результат выполнения операций для всех возможных логических значений исходных высказываний.

Конъюнкция

(таблица истинности)

А

В

0

0

0

A & B

1

0

1

0

0

1

1

0

1

Вывод: результат будет истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Дизъюнкция

(логическое сложение)

Обозначение: А v B

Союз в естественном языке – ИЛИ (А или В)

Пример: А – «Число 10 – четное»

В – «Число 10 – отрицательное».

Число 10 четное или отрицательное.

Дизъюнкция

(таблица истинности)

А

В

0

A v B

0

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

Вывод: результат будет ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны.

Инверсия

(логическое отрицание)

Обозначение: F = A

Со юз в естественном языке – не ( F не А)

Пример: А – «Число 10 – четное»

Число 10 не четное.

Инверсия

(таблица истинности)

А

А

0

1

1

0

Вывод: результат будет ложным, если исходное выражение истинно, и наоборот.

Импликация

(следование)

→

Обозначение:

→

Со юз в естественном языке – Если А В

Пример: А – идёт дождь

В – на улице сыро

Если идёт дождь, то на улице сыро.

А → В

Импликация

(таблица истинности)

А

В

0

0

А → В

0

1

1

1

1

0

1

1

0

1

Вывод: Результат операции следования (импликации) ложен только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.

Эквивалентность

(равнозначность)

Обозначение: ~

Со юз в естественном языке – Если А ~ В

Пример: А – день сменяет ночь

В – солнце скрывается за горизонтом

День сменяет ночь тогда и только тогда, когда солнце скрывается за горизонтом.

А ~ В

Эквивалентность

(таблица истинности)

А

В

0

0

А ~ В

0

1

1

1

0

0

1

1

0

1

Вывод: результат операции эквивалентность истинен только тогда, когда А и В одновременно истинны или одновременно ложны.

• Инверсия
• Конъюнкция
• Дизъюнкция
• Импликация
• Эквивалентность

Для изменения указанного порядка выполнения операций применяют скобки.

• Как пройти в библиотеку?
• Меню в программе – это список возможных вариантов.
• Сканер – это устройство, которое может напечатать на бумаге то, что изображено на экране компьютера.
• Мышка – это устройство ввода информации.
• Число 2 является делителем числа 7.

• Сегодня, завтра или через месяц он напишет письмо.
• Если успешно закончишь первую четверть, то тебе подарят компьютер.
• В школе уроки начнутся в 9 часов утра.
• Кончилось лето, и наступили прохладные дни.
• У меня есть старший брат.
• Каждое утро и каждый вечер он выходит на прогулку.
• После дождя трава мокрая.
• Круг – это не квадрат.
• Марс находится в пределах Солнечной системы.

• Он позвонит или пришлёт сообщение по электронной почте.
• Неверно, что январь – летний месяц.
• Каждый человек на земле имеет право быть счастливым.
• Мне должны подарить либо лыжи, либо самокат.
• На следующей неделе она зайдёт ко мне домой и на работу к бабушке.
• Если у тебя заболело горло, то обязательно надо показаться врачу.
• Все ученики нашего класса пойдут в кино.
• Некоторые дети не любят конфеты.
• Существуют птицы, которые не могут летать.

• Поедем на дачу.
• Хорошая погода.
• По прогнозам синоптиков предполагаются осадки в виде дождя и снега.
• Сильный ветер.
• Отсутствие ветра.
• Плохая погода.
• Мы поедем на пляж.
• Антон приглашает нс в театр.
• Антон приглашает нас в цирк.
• После школы я буду учиться в институте.
• После школы я буду работать в интернет-центре.