Урок по алгебре в 9 классе "Арифметическая прогрессия"

Обобщающий урок в 9 классе

по теме «Арифметическая прогрессия»

Учитель математики: С.С.Курова

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний по теме «Арифметическая прогрессия»

Цели урока:

образовательные – обобщить и систематизировать знания учащихся по изучаемой теме, провести контроль уровня усвоения материала, корректировка выявленных пробелов;

развивающие – развитие способности делать осознанный выбор способов учебной деятельности каждым учеником, в зависимости от его уровня развития, умения оценивать результат своей работы и работы других, корректировать имеющиеся ошибки, осуществлять взаимопомощь;

воспитательные – формировать у учащихся интерес к математике, рефлексию по оцениванию результатов решения и способов деятельности учащихся в классе.

Ход урока.

1.Орг. момент.

- Здравствуйте, ребята. Садитесь.

- Дежурные – кто отсутствует?

- Проверка наличия домашней работы.

( слайд 1)

Сегодня наш урок я хотела бы начать словами А.С.Пушкина:

«О, сколько нам открытий чудных..

Готовит просвещенье дух,

И опыт – сын ошибок трудных,

И гений – парадоксов друг»

Я хочу, чтоб наша встреча сегодня принесла много открытий, опыта и хорошего настроения.

Мы сегодня на уроке будем заниматься повторением и обобщением знаний по теме «Арифметическая прогрессия» и рассмотрим применение арифметической прогрессии при решении задач практического содержания из жизни.

(слайд 2)

Вместе с вами мы будем двигаться вперед, т.к. слово «Прогрессия» имеет латинское происхождение и означает «Движение вперед»

(слайд 3)

Этим термином прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении.

2. Устная работа.

Мы живём в реальном мире, и для его познания нам необходимы знания. А сейчас мы выясним, как вы знаете определения и формулы по данной теме. Какими знаниями по этой теме вы готовы поделиться? ( Учащиеся отвечают, используя схему. Названия блоков, из которых состоит схема, открываются по мере их называния.) итак, работаем устно.

(слайд 4)

Вопросы:

1. Какая последовательность называется арифметической прогрессией?

2. Выясните, где записана арифметическая прогрессия: а) 5; 10; 15; 20;…

б) 3; 5; 6; 7; … в) 8; 8; 8; … (а, в)

3. Как найти разность арифметической прогрессии. Назовите формулу.

4. Чему равна разность арифметической прогрессии в данных примерах:

а) 5; 10; 15; 20;… (5) б) 8; 8; 8; … (0) в) 9; 6; 3; 0;… ( -3)

5. Какова должна быть разность арифметической прогрессии, чтобы прогрессия была убывающей? (d меньше 0) Возрастающей? ( d больше 0)

6. Назовите первый член и разность арифметической прогрессии: а_п = 2п + 5. ( а₁= 7; а₂= 9; d = 2 )

7. Назовите формулу п-го члена арифметической прогрессии.

8. Первый член арифметической прогрессии равен 1, разность равна 4. Найдите десятый член прогрессии. ( 37)

8. Продолжите предложение : для каждого члена арифметической прогрессии, начиная со второго, верно равенство …

9. Назовите формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии.

10. Найдите член арифметической прогрессии обозначенный буквой: -6; -4; а; ( -2)

Вот видите, сколько необходимо знать, а всякое знание должно перейти в умение и навык.

(слайд 5)

Зная формулы арифметической прогрессии, можно решить много интересных задач литературного, исторического и практического содержания.

3. Кратко «Сведения из истории»

(слайд 6)

Понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания учения о функциях. Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции. В Древнем Египте в V в до н.э. греки знали прогрессии и их суммы.

Примеры отдельных арифметических прогрессий можно встретить еще в древневавилонских и греческих надписях, имеющих возраст около четырех тысячелетий и более.

Одним из древних ученых, занимавшимися прогрессиями был Архимед. Он первым обратил внимание на связь между прогрессиями.

(слайд 7)

Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другие.

(слайд 8)

Вопросами последовательности занимался Леонардо Пизанский (Фибоначчи). Наиболее известной из сформулированных Фибоначчи задач является «задача о размножении кроликов», которая привела к открытию числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, именуемой впоследствии «рядом Фибоначчи».

Задача Фибоначчи : Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения (показано в таблице).

Месяцы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Пары кроликов	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д.

(слайд 9)

В Германии молодой Карл Гаусс (1777-1855) нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи ещё учеником начальной школы.

1+2+3+4+…+98+99+100 = (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=

=101x50 =5050. Это – арифметическая прогрессия.

(слайд 10)

В 18 веке в английских учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессии:

Прогрессии широко встречаются в окружающей нас жизни. И мы сегодня рассмотрим примеры решения задач из жизни с использованием формул арифметической прогрессии.

Запишем в тетради число, классная работа.

(слайд 11)

4.Решеним задачи на применении формул арифметической прогрессии из нашей жизни.

№1.Наследство:

Джентльмен получил наследство. Первый месяц он истратил 100$ , а каждый следующий месяц он тратил на 50 $ больше, чем в предыдущий. Сколько он истратил за второй месяц? За третий? За десятый? Каков размер наследства, если денег хватило на год такой беззаботной жизни?

(слайд 12)

а₁= 100; d = 50; п = 10, а₁₀ =?

а_п=а₁+d(n-1), а₂ = 100 + 50 = 150 , а₃ = 150 + 50 = 200

а₁₀ = 100 + 50(10 – 1) = 100 + 450 = 550

Наследства хватит на 12 месяцев безбедной жизни.

5. Работа с учебником ( закрепление материала)

Прогрессии в медицине. № 16.64

Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

Найдя сумму п первых членов арифметической прогрессии, найдете, что вам надо купить 180 капель. Т.е. 2 пузырька лекарства.

Решение (на доске.)

Составим математическую модель задачи:

5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5

а_п=а₁+d(n-1),

40=5+5(п-1),

п=8,

S_п=((a₁+a_п)n)/2, S₈ =(5+40)·8:2=180,

180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400(капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.

Прогрессия в спорте.№16.66

Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м?

Решение (на доске). Составим математическую модель задачи: 1400, 1300,1200, …,

a₁=1400; d=-100, S_n=5000. Надо найти n.

S_n= (2a₁+ d (n-1))n:2;

5000= (2·1400-100 · (n-1)) n:2; Условию задачи удовлетворяет

10000= (2800-100 n+100) n; n=4 ( при n=25 а_n=-1000, но а_n0)

10000= (2900-100 n) n; Значит, альпинисты покорили

100 n²-2900 n+10000=0; высоту за 4 дня.

n²-29 n+100=0; n=25, n=4. Ответ: за 4 дня.

Мы с вами рассмотрели применение прогрессии в спорте, медицине и при делении наследства. И для решения этих задач мы применяли формулы нахождения п-го члена и суммы п-ых членов арифметической прогрессии.

Задачи на применение прогрессий встречаются в старых учебниках по математике, в книгах по занимательной математике, но не только в математике мы встречаемся с прогрессией.

6. Прогрессия в литературе:

(слайд 13)

Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями.

Так вспомним строки из «Евгения Онегина»:

«Не мог он ямба от хорея,

Как мы не бились отличить..»

(слайд 14)

ЯМБ – это стихотворный размер с ударением на четные слоги 2; 4; 6; 8; … Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

ЯМБ:

«МОЙ ДЯДЯ САМЫХ ЧЕСНЫХ ПРАВИЛ…»

Прогрессия: 2; 4; 6; 8; ..

(слайд 15)

Старик, я слышал много раз,

Что ты меня от смерти спас.

(слайд 16)

ХОРЕЙ – это стихотворный размер с ударением на нечетные слоги стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию: 1; 3; 5; 7;.. с первым ее членом 1 и разностью 2.

ХОРЕЙ:

«Я ПРОПАЛ, КАК ЗВЕРЬ В ЗАГОНЕ..» (Б.Л.Пастернак)

Прогрессия: 1, 3; 5;…

(слайд 17)

ХОРЕЙ: Буря мглою небо кроет…

(слайд 18)

Вот еще хорей ( из Бунина):

Яблони и сизые дорожки,

Изумрудно – яркая трава,

На березах – серые сережки.

И ветвей плакучих кружева.

Мы с вами увидели, что отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха.

Стихотворная речь - явление литературное, эстетическое. Но некоторые особенности стихотворной речи требуют применения математических знаний.

Я надеюсь, что наш урок поможет вам понять, что наука и искусство тесно связаны, а мир так многолик, чтобы познать его нужно быть и ученым, и поэтом в душе.

7. Проверочный тест ( с разными уровнями сложности)

(слайд 19)

«Да, путь познания не гладок,

Но знаем мы со школьных лет,

Загадок больше, чем разгадок

И поискам предела нет»

И мы продолжим разгадывать загадки и далее - самостоятельная работа в форме теста. А чтобы ответить на вопросы теста, необходимо вспомнить все формулы, которые мы сегодня повторяли. ( у каждого ученика на столе листочки с заданиями теста и листочки для записи ответов теста и решения примеров)

Вариант 1

№	вопрос	ответ
1	Функция, заданная на множестве натуральных чисел, называется	а) прогрессия б) последовательность в) уравнение
2	Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие называют	а) записью б) рекуррентной в) функцией
3	Какой член последовательности следует за членом аn+1	а) аn б) аn-1 в) аn+2
4	(аn) – арифметическая прогрессия аn+1 = …+d вставьте пропущенное	а) аn-1 б) аn в) аn+2
5	(а…) – арифметическая прогрессия. Запишите формулу n-го члена через а1 и d	an=a1+(n-1)*d б) an=a1+n*d
6	Дано: :(аn) а1 = 20, d = 3 Найти: а5	а) 12; б) 32; в) 25 г) др.ответ
7	Найдите сумму первых восьми членов арифметической прогрессии, если а1 = -17 d=6	а) 26; б) 32; в) 30 г) др.ответ
8	Найти сумму первых ста членов арифметической прогрессии аn = 2 n + 3	а) 5400 б) 5000

II вариант

№	вопрос	ответ
1	Последовательность (xn) задана формулой xn = 10n2 + 4. Найти x10	а) 104; б) 204; в) 1004; г) др.ответ
2	Числовая последовательность задана формулой xn = 2n + 3. Найти номер члена последовательности, равного 43	а) 23; б) 20; в) 21; г) др.ответ
3	Найти пятнадцатый член арифметической прогрессии 3; 7;…	а) 59; б) 98; в) 63; г) др.ответ
4	Запишите формулу члена арифметической прогрессии 1; 4; 7; 10;…	а) аn = n2; б) аn = 3n - 2; в) аn = 3n+1; г) др.ответ
5	Разность арифметической прогрессии равна 1,5. Найти а1, если а7 = -4.	а) -23; б) -60; в) -13; г) др.ответ
6	В арифметической прогрессии (аn) а1 = 8, d = 4. Найти сумму шестнадцати членов прогрессии.	а) 720; б) 608; в) 594; г) др.ответ
7	Найти сумму всех натуральных чисел от 2 до 98 включительно.	а) 5050; б) 4500; в) 4850; г) др.ответ
8	Арифметическая прогрессия задана формулой аn = 3n + 2. Найти сумму двадцати первых членов.	а) 670; б) 630; в) 400; г) др.ответ

III вариант

№	вопрос	ответ
1	Последовательность (xn) задана формулой xn = 2n-1. Найти x20.	а) 19; б) 39; в) 29; г) др. ответ
2	Числовая последовательность задана формулой xn = n2 -1. Найти номер члена последовательности, равного 224	а) 10; б) 15; в) 25; г) др. ответ
3	Найти десятый член арифметической прогрессии 4; 9;…	а) 45; б) 49; в) 40; г) др.ответ
4	Запишите общую формулу арифметической прогрессии 1; 5; 9; 13;…	а) 4n+1; б) 4n-1; в) 4n-3; г) др.ответ
5	Разность арифметической прогрессии равна 2. Найти а1, если а6 = -3.	а) 10; б) -13; в) 13; г) др.ответ
6	Число -20 является членом арифметической прогрессии, у которой а1 = -31, а разность равна 3. Найти его номер.	а) 6; б) 7; в) 10; г) др.ответ
7	В арифметической прогрессии (аn) а1 = 5, d = 3. Найти сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии.	а) 640; б) 570; в) 670; г) др.ответ
8	Найти сумму всех натуральных чисел от 5 до 95 включительно.	а) 4550; б) 5050; в) 4050; г) др.ответ

IV вариант

№	вопрос	ответ
1	Последовательность задана рекуррентной формулой а n+1 = и условием а1 = 256. Найти четвертый член последовательности.	а) 16; б) 8; в) 2; г) др.ответ
2	Числовая последовательность задана формулой аn = n2 -2n-6. Найти номер члена последовательности, равного -9.	а) 4; б) 5; в) 8; г) др.ответ
3	Запишите формулу общего члена арифметической прогрессии 2; 6;…	а) аn = n2+n; б) аn = 4n-2; в) аn = 4n+2; г) др.ответ
4	Число -59 является членом арифметической прогрессии 1; -5;…	а) 13; б) 19; в) 11; г) др.ответ
5	Найти девятый член и разность арифметической прогрессии, если а8 = 126, а10 = 146.	а) d=10, а9=136; б) d=8, а9=134; в) d=5, а9=131; г) др.ответ
6	Найти сумму двадцати пяти первых членов арифметической прогрессии (аn), если а1=66 и d = -8	а) -680; б) 680; в) -750; г) др.ответ
7	Найти сумму членов арифметической прогрессии с пятнадцатого по тридцатый включительно, если первый член равен 10 и разность равна 3.	а) 1192; б) 2038 в) 1234; г) др.ответ
8	Найти сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, если ее четвертый член равен 3, а шестой равен -1,2.	а) -31; б) -27; в) -26; г) др.ответ

8. Далее рассмотрим примеры применения прогрессии в школьных предметах:

(слайд 20)

В биологии:

Высота саженца 60 см, первые полгода она увеличивается ежемесячно в среднем на 4 см.

Применяя формулу п-го члена, мы сможем найти рост саженца в первые полгода.
(слайд 21)
В физике:

Брошенное с некоторой высоты тело в первую секунду падает на 5 м, а в каждую следующую на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Можно определить сколько пролетит тело за несколько секунд.
(слайд 22)
В химии:

Заряды ядер атомов элементов, расположенных в таблице Менделеева друг за другом, отличаются на +1. Заряд ядра атома водорода (№1) равен +1. Элементы таблицы Менделеева образуют арифметическую прогрессию.

9. Итог урока:

Подведем итог нашего урока.

1. Какие правила мы сегодня повторили?

2. Сообщение учащимся, кому и на какие вопросы необходимо обратить внимание.

3. Выставление оценок за урок.

(слайд 23)

10. Домашнее задание:

№ 16.65, № 16.62

11. Рефлексия:

Проанализируйте свой уровень знаний. Ответьте каждый для себя на вопрос: что я хорошо знаю по данной теме и что еще мне надо повторить? Подумайте, над чем надо поработать дома.

(слайд (24)

Закончился двадцатый век.

Куда стремится человек?

Изучен космос и моря,

Строенье звезд и вся земля.

Но математиков зовет

Известный лозунг

«Прогрессия – движение вперед».

Мы изучили арифметическую прогрессию, а далее продолжим движение вперед и будем изучать геометрическую прогрессию.