Три метода решение показательных уравнений».

11 класс (а. и н. м. а.) 9.11.17

Тема урока: «Три метода решение показательных уравнений».

Цели урока: формирование умений решать показательные уравнения основными методами: методом уравнивания показателей степеней, методом  введения новой переменной;
уметь применять методы решения показательных уравнений на практике, развивать вычислительные навыки, логическое мышление;
развитие познавательного интереса к предмету «математика».

Тип урока: комбинированный урок.

Формы организации познавательной деятельности учащихся: индивидуальная, коллективная.

Оборудование: учебник, доска, ученическая тетрадь

Ход урока

1 . Организационный момент

2. Сообщение темы, постановка целей урока, мотивация

На носу ЕГЭ. Наша задача как можно лучше подготовиться к нему. И неотъемлимой частью подготовки является повторение пройденного материала.

3 . Устная работа а) Дайте определение показательной функции.

б) При каких условиях показательные функции возрастают, а когда убывают?

в) Решите уравнения: Какие это уравнения? (записаны на доске)

2^х = 32; 3^х = 27; 5^х = 625; 10^х = 10 000; 4^х = 256.( ответы 5; 3; 4; 4; 4.)

3^х-1= 27; 5^х-2 = 25; 6^х-3=36; 3^х = ; 12^х = 1.( ответы 4; 4; 5; -2; 0).

5^-х = 25; 2^-х= 8; 4^х = 2; 27^х = 3; = 4; = 5. (ответы -2; -3; 0,5; ; -2; -0,5)(Возможны ситуации неправильного решения, проверить уровень внимательности, вплоть до решения следующего уравнения. Обращать внимание учащихся на правильность математической речи.)

4. Изучение нового материала.

Мы повторили свойства показательной функции и решение простейших показательных уравнений. Сегодня мы рассмотрим три метода решения показательных уравнений.

Решение уравнений: Тип 1: Простейшие показательные уравнения – уравниваем показатели степеней.

1) 4^х = 8 2) 3)

2^2х = 2³

2х = 3 2х = 6 + х - х² х² – 3х = - 2

Х = 3 : 2 х² + х – 6 = 0 х² – 3х + 2 = 0

Х = 1,5 х₁ = 2; х₂ = -3 х₁ = 2; х₂ = 1

Ответ: 1,5 Ответ: 2; -3. Ответ: 2; 1.

( выбор ответа- наибольший корень, или наименьший корень - дополнительное задание)

Тип 2: Показательные уравнения, сводящиеся к линейному.

1) 3^{х + 2} – 3 ^{х + 1} + 3^х = 21. Выносим за скобки общий множитель 3^х, получаем

3^х ( 3 ² – 3 ¹ + 3⁰ )= 21, 3^х · 7 = 21, 3^х = 3, х = 1. Ответ: 1.

2) 4^{х + 1} - 3 ^х = 3^{х + 2} – 4 ^х. Соберём слагаемые с основанием 3 в одной части уравнения , а с основанием 4 – в другой, получим: 4^{х + 1} + 4 ^х = 3^{х + 2} + 3 ^х. Далее выносим за скобки общий множитель в каждой части уравнения:

4^х ( 4 ¹ + 4 ⁰) = 3^х ( 3 ² + 3 ⁰ ), 4^х · 5 = 3^х · 10, разделим на 5 ·3^х не равное нулю, получим =2, отсюда х = . Ответ:

Тип 3: метод введения новой переменной. Уравнения, сводящиеся к квадратному.

1) 2^х+1 + 4^х = 80

2^х · 2 + (2²)^х – 80 = 0 (*)

Пусть 2^х = t, t 0, тогда уравнение (*) примет вид: 2t + t² – 80 = 0, корни t₁ = 8 ; t₂ = -10. Второй корень отрицательный, он не удовлетворяет условию t 0. Вернёмся к замене, получим 2^х = 8, х = 3. Ответ: 3.

2) 7^2х – 6 · 7^х + 5 = 0 . Решаем аналогичным способом. Получили корень

х ₁ = 0 и х₂ = log₇5. Ответ: 0; log₇5

3) 4^х + 6^х = 2 · 9 ^х; 2^2х + ( 2 · 3 )^х = 2· 3^2х; разделим обе части уравнения на либо 2^2х, либо 3^2х, без разницы, так как каждый из них не равен нулю. Получим: 1 + = 2·и после введения замены = t, t 0 получим квадратное уравнение 1 + t = 2 · t². Корни t₁ = 1; t₂ = - 0,5. Второй корень отрицательный, он не удовлетворяет условию t 0, значит он является посторонним. Итак, = 1, х = 0. Ответ: 0.

5. Применение полученных знаний и умений

Решение упражнений из задачника под руководством учителя.

6. Самостоятельная работа

Дифференцированная самостоятельная работа

Проверка самостоятельной работы, выставление оценки. Выставление оценок.

7. Подведение итогов урока:

- какие типы уравнений вы знаете?

- Как решаются показательные уравнения, сводящиеся к квадратным?

- Как решаются уравнения, сводящиеся к линейным?

- Какое ограничение накладывается на переменную замены в показательном уравнении?

- Может ли 2^х = 1 и чему равен х ?

- Может ли 2^х = 2 и чему равен х ?

- Может ли 2^х = -2 и чему равен х ?

- Может ли 2^х = и чему равен х ?

8. Домашнее задание: конспект, № 40.13 (в,г), 40.7(в,г)