Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Урок по теме: «Сумма первых n членов арифметической прогрессии»

Цель урока:

Обеспечить успешное усвоение и закрепление темы; выработать навыки применения формулы суммы п- первых членов арифметической прогрессии при решении заданий; развивать мыслительную деятельность учащихся, самостоятельность при решении заданий; воспитывать интерес к предмету, терпение, трудолюбие, внимательность.

Ход урока

1.Организационный этап. Мотивация урока.

О, математика, ты вечна!

Гордись, прекрасная собой!

Твоё величье бесконечно,

Так предначертано судьбой.

Всегда овеяна ты славой,

О, светоч всех земных светил!

Тебя царицей величавой

Недаром Гаусс окрестил.

Я хочу, чтобы наша встреча сегодня принесла много открытий, опыта, хорошего настроения. На этом уроке мы с вами будем выводить формулы суммы n-первых членов арифметической прогрессии и рассмотрим некоторое их применение к практическим задачам.

2. Актуализация знаний. Проверка д/з. (сверка с записанным на доске).

Вы перешли к изучению самой замечательной темы алгебры 9 класса – «Числовые последовательности». Узнали, что такое арифметическая прогрессия, формулу ее n-го члена. А теперь давайте проверим, на сколько вы готовы двигаться дальше. Я предлагаю провести это таким образом. Назовем это теоретической перестрелкой. Разделимся на две группы.

Ваша задача состоит в том, чтобы через 20 секунд вы были готовы задать два вопроса ребятам из другой группы по теме «Арифметическая прогрессия». На ваших партах лежат памятки с теоретическим материалом, постарайтесь задать те вопросы, которые наиболее полно раскроют пройденный вами материал, т.е. самое важное по данной теме.

Из предложенных последовательностей выберите те, которые являются арифметической прогрессией:

1) 1; 3; 4; 7; 11… 2) 1; 11; 21; 31…

3) 2; 4; 8; 16… 4) 5; 5; 5; 5…

Сформулируйте характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Из предложенных формул выберете ту, которая показывает характеристическое свойство арифметической прогрессии:

1) ;

2) ;

3) .

Решить № 687(1)

3. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала

Перенесемся в мир Древнего Египта, страны великих достижений человеческой мысли, великих астрономов и математиков. На этом слайде мы видим, как создавалась пирамида. Египетские пирамиды были построены благодаря не только упорному труду, но и математической мысли. Достижения Египетских математиков непостижимы не только по своему совершенству, но и по точности математических расчетов.

Математические правила, нужные для земледелия, астрономии и строительных работ, древние египтяне записывали их на стенах храмов или на папирусах.

Самый большой, сохранившийся до наших дней, древнеегипетский математический текст – это папирус писца 18–17 веков до нашей эры Ахмеса. Он имеет размер 5,25 м на 33 см, содержит 84 задачи.

На этом уроке мы с вами будем выводить формулы суммы n-первых членов арифметической прогрессии и рассмотрим некоторое их применение к практическим задачам.

4. Этап формирования новых знаний.

Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим учёным Диофантом (в III веке). Мы попробуем на этом уроке тоже вывести искомую формулу и доказать её.

Решим для начала простенькую задачу: пусть требуется сложить числа от 1 до 10.

Чья группа это быстрее сделает? Начали. Работаем в группах. (Получается 55). Как вы складывали? А можно было быстрее сложить: (записано на доске)

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = (1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)=11·5=55

А теперь усложним задачу. Сложим числа от 1 до 100. Напугались? А если от 1 до 1000?... Значит, надо найти хитрый способ, чтобы быстро решить эту задачу. Я предлагаю вам вот что. Только будьте внимательны, этот способ вы потом будете использовать при самостоятельном выводе формулы суммы членов арифметической прогрессии.

Обозначим сумму этих чисел буквой S и запишем:

S = 1+2+3+4+ . . . + 9+10

Теперь перепишите эту сумму в обратном порядке:

S = 10+9+8+ . . . + 2 + 1

Сложите почленно эти равенства, что получилось? 2S = 11 +11+11+ . . . +11+11. Сколько таких слагаемых? Да, 10. Значит, 2S = 11 * 10 = 110; Тогда S = 55. Согласитесь, что вторым способом мы легче посчитали сумму чисел?

А ещё проще будет работать, если мы выведем формулу n-первых членов арифметической прогрессии.

Вывод формул суммы n-первых членов арифметической прогрессии:

Сумма арифметической прогрессии подсчитывается по формуле:

Формула I используется тогда, когда известны первый и последний члены арифметической прогрессии;

Формула II – когда известны первый член и разность прогрессии.

Может быть, вам эта задача кажется не такой уж и легкой, но эта задача уже однажды была решена, причем 9-ти летним мальчиком.

5. Историческая справка

Эта задача связана с детскими годами замечательного немецкого математика Карла Гаусса (1777–1855 гг.). Когда ему было 9 лет, учитель задал эту задачу всему классу, чтобы дети не мешали ему проверять письменные работы учеников другого класса. Через 1 минуту Карл произнес: «Я уже решил…» – и сдал работу. К концу урока сумму вычислили и остальные.

Рассмотрим, как с этим справился маленький Карл:

"Я заметил, что 1+100 =101, 2 +99 =101, 3 +98 = 101 и т. д. Пара ровно отстоящих от краёв ряда чисел даёт 101 и последняя пара средних чисел даёт 101 =50 + 51. Числа, взятые по паре с начала и с конца ряда встречаются в середине после 50 сложений этих пар. Поэтому надо 101 х 50 = 5050. Это число и будет суммой всех 100 чисел".

1). а₁= - 3; d=7. Найдите S₇.

2). (а_n): 5; 2; -1; -4;… арифметическая прогрессия. Найдите S₂₀.

6. Этап закрепления знаний.

Решить № 713, 715. 717, 720, 722(1).

7. Самостоятельная работа. Выполните тестовые задания:

Арифметическая прогрессия задана формулой х_n = 5n + 1. Найдите S₁₀.

а) 142,5 б) 570 в) 285

Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 300.

а) 45250 б) 45150 в) 45350

Дама сдавала в багаж семь предметов, самый легкий из них весил 5 кг, следующий по весу – на 2 кг больше, следующий – опять на 2 кг больше и т. д. Сколько весил весь сданный багаж?

а) 77 б) 75 в) 79

8. Подведение итогов урока

Выучить п. 22, вопросы с.230, решить № 714, 716, 719, 721, 723.

Подготовить презентацию «Карл Гаусс».

9. Рефлексия. Закончи предложение:

Сегодня на уроке я запомнил …

Я понял …

Я научился …

У меня не получилось …

Мне хотелось бы …

Я справлюсь с домашней работой …