Решение вероятностных задач с помощью комбинаторики

Решение вероятностных задач
с помощью комбинаторики

Цели: совершенствовать умения и навыки решения задач на нахождение вероятности случайного события.

Тип урока: закрепление изученного материала

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверка домашнего задания (выборочно).

III. Актуализация знаний учащихся.

Теоретический опрос.

– Что такое событие?

– Какие события называются:

1) достоверными;

2) случайными;

3) невозможными?

– Какие события называются:

1) совместными;

2) несовместными;

- Как найти вероятность (Р(А) = )

Карточка

1. На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Саша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

Ответ: 0,3.

2. В пакете лежит 15 шариков, 9 из которых фиолетового цвета, а остальные белые. Какова вероятность вытащить из пакета один белый шарик?

Ответ: 6/15

3.На конкурсе выступают 11 участников из Казани, 6 участников из Нижнего Новгорода, 3 участника из Москвы и 7 участников из Твери. Порядок выступления в конкурсе определяется жеребьевкой. Какова вероятность того, что последним будем выступать конкурсант из Нижнего Новгорода? Результат округлите до сотых.

Ответ

4.  Наудачу выбрано двузначное число. Какова вероятность того, что оно окажется кратно 9?

Решение:

Двузначных чисел 90, среди них 10 (18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99). Число всех равновозможных исходов 90. Число благоприятствующих исходов 10.

Р(А) = .

IV. Практикум по решению задач.

Задача с использованием таблицы

Петя подбросил два игральных кубика. Какова вероятность того, что в сумме выпадет не менее 9 очков.

Решение. Вот в таких задачах удобнее всего построить таблицу. По горизонтали мы размещаем очки, которые могут выпасть на первом кубике, т.е. числа от 1 до 6. А по вертикали мы размещаем числа, которые могут выпасть на втором кубике, т.е. также числа от 1 до 6. Начертим таблицу:

Далее заполняем таблицу. Для этого мы вписываем сумму чисел, которые находятся на пересечении этой ячейки. Например, заполним первую строку. В ячейке на пересечении двух единиц у нас получится 1+1 = 2, далее пересекаются 2 и 1 получаем 2 +1 = 3, далее 3 + 1=4 и т.д

Таким образом m = 10

А общее количество возможных вариантов выпадения значений кубиков: n = 6 * 6 = 36

Следовательно, вероятность того, что выпадет тот вариант, который нас устроит, равна:

Ответ: 0,27

№ 293

Решение:
Рассмотрим возможные варианты выпадения орла и решки на копейке и пятаке.
Это будут следующие варианты:
1) орел на пятаке и на копейке;
2) орел на пятаке и решка на копейке;
3) решка и на пятаке и на копейке;
4) решка на пятаке и орел на копейке.
Следовательно, вероятность того, что на обеих монетах появится орел, будет равна 1 к 4 или 1/4 или 0,25.
И вероятности появления на копейке орла, а на пятаке - решки (одновременно), будет также равна 0,25.
Ответ: вероятность в обоих случаях равна 0,25.

№295

Решение: Кидаются 2 игральные кости.

1) произведение должно быть 5

Рассмотрим все варианты, чтобы произведение было = 5

1) 1*5

2) 5*1

Есть 2 варианта. Сколько же всего возможных комбинаций может выпасть? При первом броске может выпасть 1, 2, 3, 4, 5, 6 т.е. 6 вариантов.

При втором столько же вариантов - 6. Следовательно всего может быть 36 вариантов выпадаения игральных костей.

2/36 = (примерно) 0.06. или можно записать как 1/18

2) Произведение 4

1) 1*4

2) 4*1

3) 2*2

3 таких варианта. 3/36 = (примерно) 0.083 или можно записать как 1/12

3) Произведение 10

1) 2*5

2) 5*2

2 таких варианта. 2/36= (примерно) 0.06. или можно записать как 1/18

4) Произведение 12

1) 6*2

2) 2*6

3) 3*4

4) 4*3

4 таких варианта. 4/36 = 0.11 или можно записать как 1/9.

Маше нужно выбрать из 8 книг 2 книги. Сколькими способами она может это сделать?

Мы понимаем, что здесь может быть большое количество вариантов сочетаний книг. Чтобы вычислить их количество нужно знать формулу числа сочетаний из n по m:  где С – это число сочетаний

n – количество элементов, из которого нужно выбрать

m – количество элементов, которое нужно выбрать

В формуле присутствует факториал. Записывается факториал следующим образом: n!, 5!, 7! Напомним, что это такое.

Факториал – это произведение всех натуральных чисел от 1 до основания факториала. Основание факториала – это число, которое стоит перед знаком «!». Т.е. факториал 5! имеет основание 5 и найти его можно следующим образом:

5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5

А факториал n! имеет основание n:

n! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * … * n

Часто ученики путают, что в ставить внизу, а что наверху, т.е. меняют n и m местами. Применительно к нашей задаче можно перепутать, что ставить наверху: 2 или 8. Запомнить, что ставить наверху, а что внизу – легко. Сверху всегда стоит наименьшее число, т.е. в нашем случае – это 2.

Давайте вернемся к нашей задаче. Применяем формулу и получаем:  Обратите внимание, что не нужно умножать в числителе все натуральные числа от 1 до 8, у вас это отнимет очень много времени. Достаточно подробно расписать числитель и знаменатель, сделать сокращение и все легко считается.

Итак, Маша может выбрать книги 28 способами.

Ответ: 28

Из 15 школьников нужно отправить 2 учеников на дежурство. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. Применяем нашу формулу:

Ответ: 105 способов

V. Итог урока.

Оценка работы учащихся.

Домашнее задание.

№301

Всего у нас 4 * 3 : 2 = 6 способов выбрать шары.
Из них 3 * 2 : 2 = 3 способа выбрать два чёрных шара. И ещё три способа выбрать белый и чёрный шары.
Ответ: 50% вытянуть белый и чёрный, 50% вытянуть два чёрных.