Презентация к уроку алгебры на тему "Решение вероятностных задач с помощью комбинаторики"

Решение задач с помощью комбинаторики.

Комбинаторика.

• Комбинаторика – это раздел математики , посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого множетва в соответствии с заданными правилами.

Правила комбинаторики.

• Правило суммы.

Если элемент A можно выбрать m способами, а элемент B – n способами, то выбор “ либо A, либо В ” можно сделать n + m способами.

Пример:

На тарелке лежат 5 яблок и 6 груш.Сколькими способами можно выбрать один плод?

Решение:

m + n = 5 + 6 = 11 (способами).

Правила комбинаторики.

• Правило произведения.

Если элемент A можно выбрать m способами, а элемент B можно выбрать n способами, то пару “ A и В ” можно выбрать n x m

способами.

Пример:

Есть 2 разных конверта и 3 разные марки. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку?

Решение:

m * n = 2 * 3 = 6 (способами).

Примеры задач с решением.

Брошены две монеты. Какова вероятность того, что появятся: 1) два орла; 2) орел и решка?

1-я монета

2-я монета

О

О

ОО

Р

Р

РО

ОР

РР

Решение: n = 2 x 2 = 4

• Событию A – появлению двух орлов благоприятствует один исход (ОО), m = 1, поэтому P(A) = =
• Событию B – появлению орла и решки благоприятствуют 2 исхода (ОР и РО),

m = 2, поэтому P(B) = = =

Ответ: 1) ; 2) .

Примеры задач с решением.

Брошены две игральные кости: одна белая, другая красного цвета.Какова вероятность того, что: 1) на белой кости выпадет 6 очков , а на красной выпадет четное число очков; 2) на одной кости выпадет 6 очков, а на другой – нечетное число очков?

Белая кость

Красная кость

1

1

11

2

2

21

12

3

3

13

31

4

4

22

41

32

23

14

5

5

33

15

51

6

24

6

42

61

52

34

25

16

43

35

53

62

26

44

54

36

63

45

55

46

64

56

65

66

• Решение:

1)Исходы, благоприятствующие событию А, выделены в последней строчке таблицы. Их 3, m = 3. Таким образом, P(A) =

2) Исходы, благоприятствующие событию В, выделены в таблице исходов. Их 6,

m = 6. Таким образом, P(B) =

Ответ: 1)

Примеры задач с решением.

В ящике имеется 3 одинаковых по размеру кубика: красный (к), черный (ч) и белый (б).Вытаскивая наугад, кладем три кубика на стол один за другим. Какова вероятность того, что последовательность будет “ч б к”?

б

к

чкб

ч

к

чбк

б

кчб

б

ч

исходы

к

ч

б

кбч

бкч

к

ч

б

к

ч

бчк

• Решение:

Общее число n исходов расстановки в ряд вытянутых из ящика 3 кубиков равно 3 x 2 x 1 = 6 n = 6. Только один из этих исходов является благоприятствующим событию “ч б к” m = 1.

Таким образом, вероятность интересующего нас обытия P(A) =

Ответ:

Задачи для решения.

№ 352.

Бросают две монеты.Какова вероятность того, что: 1) выпадут две решки; 2) выпадут орел и решка?

Решение:

n = 2 x 2 = 4

• m = 1, P(A) = ;
• m = 2, P(A) =

Ответ: 1) ; 2) .

1-я монета

2-я монета

о

о

оо

р

р

ор

ро

рр

Задачи для решения.

№ 353.

Бросают две монеты – копека и пятак.Какова вероятность того, что: 1) выпадут две решки; 2) на копейке появится орел, а на пятаке – решка?

Решение:

n = 2 x 2 = 4

• m = 1, P(A) = ;
• m = 1, P(A) =

Ответ: 1) ; 2) .

копейка

пятак

о

о

оо

р

р

ор

ро

рр

Задачи для решения.

№ 354.

Бросают две игральные кости – желтая и зеленая. Какова вероятность того, что появятся:

1) На желтой кости 2 очка, на зеленой 3 очка; 2) на одной кости 2 очка, а на другой 3 очка; 3) на желтой кости 5 очков; 4) на желтой кости четное число очков; 5) на обеих костях четные очки; 6) на желтой кости число очков, кратное 3, а на зеленой – четное число очков; 7) на обеих костях одинаковые очки; 8) очки, сумма которых равна 3; 9) очки, сумма которых не больше 3; 10) очки сумму которых равна 11; 11) очки, сумма которых равна 10; 12) очки, сумма которых не меньше 10?

• Решение:

n = 6 x 6 = 36

1) m = 1, P(A) =

2) m = 2, P(A) = = ;

3) m = 6, P(A) = = ;

4) m = 18, P(A) = = ;

5) m = 9, P(A) = = ;

6) m = 6, P(A) = = ;

7) m = 6, P(A) = = ; 10) m = 2, P(A) = = ;

8) m = 2, P(A) = = ; 11) m = 3, P(A) = = ;

9) m = 3, P(A) = = ; 12) m = 6, P(A) = = ;

желтая кость

зеленая кость

1

1

2

11

2

3

12

21

3

4

13

4

31

22

41

5

32

23

14

5

42

24

6

33

51

15

6

61

52

43

34

16

25

62

44

53

26

35

54

63

45

36

64

46

55

56

65

56

Задачи для решения.

№ 356.

На трех карточках написаны цифры 1, 2 и 3 (на каждой карточке по одной цифре).Случайным образом из этого набора выбирают последовательно по одной карточке и кладут в ряд, образуя трехзначное число. Какова вероятность того, что образуется число 1) 321 ; 2) 231 ?

Решение:

n = 3 x 2 x 1 = 6

1) m = 1, P(A) = = ;

2) m = 1, P(A) = = ;

Ответ: 1) ; 2)

Задачи для решения.

№ 361.

В ящике лежат 1 белый и 3 черных шара. Наугад вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что вынуты: 1) 2 черных шара; 2) белый и черный ?

Решение:

n = 6

• m = 3; P(A) = = = ;
• m = 3; P(A) = = =

Ответ: 1) ; 2)

Задачи для решения.

На четырех карточках написаны буквы о, т, к, р.

Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад последовательно одну за другой эти карточки и положили их в ряд. Какова вероятность того, что получится слово “крот”.

Решение:

n = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

m = 1, P(A) = =

Ответ:

Задачи для решения.

Набирая номер телефона, состоящий из 7 цифр, абонент забыл, в какой последовательности идут три последние цифры. Помня лишь, что это цифры 1, 5 и 9, он набрал первые четыре цифры, которые знал, и наугад комбинацию цифр 1, 5 и 9. Какова вероятность того, что абонет набрал верный номер?

Решение:

n = 3 х 2 х 1 = 6

m = 1, P(A) = =

Ответ:

Задачи для решения.

Чтобы открыть сейф, надо набрать в определенной последовательности пять цифр (без их повторения): 1, 2, 3, 4 и 5. Какова вероятность того, что если набрать цифры в произвольном порядке, то сейф откроется ?

Решение:

n = 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 120

m = 1, P(A) = =

Ответ:

Задачи для решения.

В клетке квадратной таблицы 2х2 произвольно ставят крестики и нолики. Найдите вероятность того, что:

а) будет поставлен ровно один крестик

б) будут поставлены ровно два нолика;

в) в левой нижней клетке будет стоять крестик;

г) в верхней левой и нижней правой клетках будут разные знаки.

Решение:

n = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

• m = 4, P(A) = = = ;
• m = 4, P(A) = = = ;
• m = 1, P(A) = = ;
• m = 1, P(A) = =

Задачи для решения.

На бильярдном столе – шары от №1 до №15 и еще шар “крест”.

Бить можно любым шаром по любому. Найдите вероятность того, что при случайном выборе:

• Ударят шаром №7 по какому-то другому шару;
• Ударят шаром №7 по шару с меньшим номером;
• Ударят “крестом” по шару №7 ;
• Ударят “крестом” по шару с двузназным номером

Решение:

n = 16 x 15 = 240

• m = 15, P(A) = = = ;
• m = 6, P(A) = = = ;
• m = 1, P(A) = = ;
• m = 5, P(A) = = = ;