Вычисление площади криволинейной трапеции

Тема «Применение определенного интеграла к вычислению площади плоской фигуры»

Найдем площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x) , осью Ох и двумя прямыми х = а и х = в, где а,f(x). (см. рис.)

Так как дифференциал переменной площади S есть площадь прямоугольника с основанием dx и высотой f(x), т. е. dS = f(x) dx, то, интегрируя это равенство в пределах от а до в, получим S = (1)

Если криволинейная трапеция прилегает к оси Оу так, что c, х = (см. рис.), то дифференциал переменной площади S равенdS = f(у) dу, откудаS = (2)

В том случае, когда криволинейная трапеция ограниченная кривой y = f(x) , осью Ох и прямыми х = а и х = в, лежит под осью Ох (см. рис.), то площадь находится по формуле S = (3)

Если фигура, ограниченная кривойf(у), осью Ох и прямыми х = а и х = в, расположена по обе стороны от оси Ох (см. рис.), то S = + (4)

Пусть, наконец, фигура S ограничена двум пересекающимися кривыми y = f₁(x) и y = f₂(x) и прямыми х = а и х = в, где а, и f₁(x)f₂(x) (см. рис.). Тогда её площадь находится по формуле

S = (5)

Пример1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:х + 2у – 4 = 0, у = 0, х = -3, и х = 2

Выполним построение фигуры (см. рис.) Строим прямую х + 2у – 4 = 0 по двум точкам А(4;0) и В(0;2). Выразив у через х, получим у = -0,5х + 2. По формуле (1), где f(x) = -0,5х + 2, а = -3, в = 2, находим

S = = [-0,25=11,25 кв. ед

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:х – 2у + 4 = 0, х + у – 5 = 0 и у = 0.

Решение. Выполним построение фигуры.

Построим прямую х – 2у + 4 = 0: у = 0, х = - 4, А(-4; 0); х = 0, у = 2, В(0; 2).

Построим прямую х + у – 5 = 0: у = 0, х = 5, С(5; 0), х = 0, у = 5, D(0; 5).

Найдем точку пересечения прямых, решив систему уравнений:

х = 2, у = 3; М(2; 3).

Для вычисления искомой площади разобьем треугольник АМС на два треугольника АМN и NМС, так как при изменении х от А до N площадь ограничена прямой , а при изменении х от N до С - прямой

Для треугольника АМN имеем: ; у = 0,5х + 2, т. е. f(x) = 0,5х + 2, a = - 4, b = 2.

Для треугольника NМС имеем: y = - x + 5, т. е. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Вычислив площадь каждого из треугольников и сложив результаты, находим:

кв. ед.

кв. ед.

= 9 + 4, 5 = 13,5 кв. ед. Проверка: = 0,5АС = 0,5 кв. ед.

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x², y = 0, x = 2, x = 3.

В данном случае требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой y = x², прямыми x = 2 и x = 3и осью Ох(см. рис.) По формуле (1) находим площадь криволинейной трапеции

= = 6кв. ед.

Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = - x² + 4 и у = 0

Выполним построение фигуры. Искомая площадь заключена между параболой у = - x² + 4 и осью Ох.

Найдем точки пересечения параболы с осью Ох. Полагая у = 0, найдем х = Так как данная фигура симметрична относительно оси Оу, то вычислим площадь фигуры, расположенной справа от оси Оу, и полученный результат удвоим: = +4x]кв. ед. 2 = 2 кв. ед.

Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y² = x, yx = 1, x = 4

Здесь требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной верхней ветвью параболыy² = x, осью Ох и прямыми x = 1иx = 4 (см. рис.)

По формуле (1), где f(x) = a = 1 и b = 4 имеем = ( = кв. ед.

Пример 6.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Искомая площадь ограничена полуволной синусоиды и осью Ох (см. рис.).

Имеем - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 кв. ед.

Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = - 6х, у = 0 и х = 4.

Фигура расположена под осью Ох (см. рис.).

Следовательно, её площадь находим по формуле (3)

= =

Пример 8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:y = и х = 2. Кривую y = построим по точкам (см. рис.). Таким образом, площадь фигуры находим по формуле (4 )

+ = = + = 1

Пример 9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

х² + у² = r².

Здесь требуется вычислить площадь, ограниченную окружностью х² + у² = r², т. е. площадь круга радиуса r с центром в начале координат. Найдем четвертую часть этой площади, взяв пределы интегрирования от 0

доr; имеем: ₁ = = [

Следовательно, ₁ =

Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у= х² и у = 2х

Данная фигура ограничена параболой у= х² и прямой у = 2х (см. рис.) Для определения точек пересечения заданных линий решим систему уравнений:х² – 2х = 0 х = 0 и х = 2

Используя для нахождения площади формулу (5), получим

= [x² - =

Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: 7x² – 9y + 9 = 0 и 5x² – 9y + 27 = 0.

Запишем уравнения парабол в виде у =

Построим эти параболы.

Для нахождения точек их пересечения решим систему.Так как фигура симметрична относительно оси Оу, то найдем половину её площади, взяв пределы интегрирования от 0 до 3, и результат удвоим:₁ = = = 4₁ = 8

Задания для самостоятельной работы

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

1. у = х+ 3х и у = 0 2. у = 6х – х и у = х + 4

3.y = x; y = ; y = 0; x = 2; 4.у = хи у = -3х 5. y = x² – 6x +9; y = x² + 4x + 4; y = 0;

Группа 2.

1. у = х- 4х + 3 и у = 0

2. у = 4 - хи у = х + 2

3. y = y = 2x; y = ;

4. у = х+ 2 и у = 6

5. y = x² – 6x +9; y = x² + 4x + 4; y = 0;

Группа 3.

1. у = 8х - 4х и у = 0

2. у = хи у = 4х – 3

3. у = хи у = -3х

4. y =x; y = ; y = 0; x = 2;

5. y = x² – 6x +9; y = x² + 4x + 4; y = 0;

Группа4.

1. у = х- 6х + 5 и у = 0

2. у = х+ 1 и у = 3 – х

3. у = х и у = 2х

4. у = ; у = 0,5х

5. y = y = 2x; y = ;