Иррациональные уравнения

Тема урока:

«Иррациональные уравнения».

Цели урока

Образовательная: формирование у обучающихся понятия иррациональных уравнений, умения решать иррациональные уравнения.

Развивающая: развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить, интеллектуальных умений и мыслительных операций – анализ, синтез, сравнение и обобщение; развитие навыков исследовательской деятельности.

Воспитательная: воспитание познавательного интереса к предмету, самостоятельности при решении учебных задач, воли и упорства для достижения конечных результатов.

Планируемые результаты:

1) предметные: знать определение иррационального уравнения, корней иррационального уравнения, постороннего корня уравнения, метода возведения в квадрат; уметь решать иррациональные уравнения методом возведения в квадрат.

2) метапредметные: формирование умений работать по алгоритму, использовать иррациональные уравнения для решения практических задач.

3) личностные: формирование умений вести диалог, формулировать собственное мнение, аргументировать свою точку зрения, работать в группах и парах.

Тип урока: урок открытия новых знаний.

Средства методического обеспечения урока: компьютер, мультимедийный проектор, презентация, модель яблока, вырезанная из ватмана, маркеры, листки бумаги.

Используемые методы и приемы:

репродуктивный: воспроизведение полученных ранее знаний, воспроизведение знаний при выполнении заданий;

частично-поисковый: поиск собственных вариантов ответа, отбор информации по заданной теме;

вербальный: словесное общение на протяжении всего урока.

Используемые технологии:

информационно-коммуникативные технологии,

технологии проблемного обучения,

технологии коллективного взаимодействия.

Ход урока.

1) Мотивация

- Здравствуйте ребята! Как настроение? Готовы к изучению нового, «неразумного»? Тогда приступим. Эпиграфом сегодняшнего урока станут слова  великого ученого:«Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».  Так сказал великий ученый имя которого зашифровано в ребусе. (На экране презентация. Учащиеся разгадывают ребус – правильный ответ Энштейн)

- Как вы думаете, почему именно эти слова я выбрала эпиграфом урока? Чем мы сегодня будем заниматься? (Учащиеся сами формулируют цель урока).

- Верно, сегодня мы начнем изучать новый тип уравнений – «неразумные». Цель урока состоит в том, чтобы познакомить вас с новым типом уравнений и научить их решать.

2) Актуализация знаний и фиксация затруднений в пробном действии.

- Иногда при решении задач с помощью уравнений можно столкнуться с такой ситуацией. Пример: периметр прямоугольного треугольника равен 48 см, один катет на 4 см больше другого. Чему равны стороны треугольника? (Дети кратко записывают решение задачи).

- Пусть х см – меньший катет, тогда (х+4) см больший катет. По теореме Пифагора гипотенуза равна . Составим и решим уравнение: х+х+4+=48, откуда =44-2х. С таким уравнением мы еще не сталкивались! Как его решать? В чем основная трудность? (Переменная находится под знаком корня).

- На доске написаны уравнения. Посмотрите на них внимательно. Распределите их на четыре группы. (Учащиеся работают в группах по 4 человека).

-3х+6=0

3

7х+4=8х-22

х²+5х+6=0

1. х²-2√3х+3=0

I группа

-3х+6=0

7х+4=8х-22

II группа

х²+5х+6=0

х²-2√3х+3=0

III группа

IV группа

3

-Как называются уравнения I группы? Как решаются? (линейные; все с неизвестными перенести в левую часть уравнения, все числа в правую, привести подобные слагаемые, найти неизвестный множитель)

- Как называются уравнения II группы? Как решаются? (квадратные; выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему, обратную т. Виета, графический).

- Как называются уравнения III группы? Как решаются? (дробно-рациональные; приведение к ОЗ, приравнивание числителя к нулю, проверка, чтобы знаменатель в ноль не обращался)

- Как называются уравнения IV группы? (?).

-Что общего у уравнений IV группы? (Переменная содержится под знаком квадратного корня.)

- Уравнения, в которых переменная содержится под знаком квадратного корня, называются иррациональными уравнениями.

- Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке?

- Сформулируйте тему урока. (Иррациональные уравнения).

- Хочу предложить вам следующее: перед вами плод древа познания – яблоко. Давайте разделим его на части и запишем, с какими трудностями нам придется сегодня столкнуться. (На доску крепится символическое яблоко из ватмана, вместе с учениками записываем вероятные трудности: усвоение понятия иррационального уравнения, понятие корней иррационального уравнения, понимания метода решений таких уравнений, получу плохую отметку и т.д.)

- А сейчас мы повторим основной теоретический материал, который понадобится нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

1. Что такое уравнение? (равенство с переменной или переменными)

2. Что значит решить уравнение? (найти все его корни или убедиться, что их нет)

3. Что такое корень уравнения? (значение переменной, которое при подстановке его в исходное равенство обращает его в верное числовое равенство)

4. Дайте определение квадратного корня из неотрицательного числа. (квадратным корнем из неотрицательного числа а называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен а. на доске =b, b≥0 и b²=a, свойство корня =а).

3) Построение проекта выхода из затруднения.

- Итак, мы все очень хорошо повторили, а теперь вернемся к теме урока. Сможете ли вы теперь из множества всех уравнений выделить иррациональные уравнения?

-Что будет отличать их от остальных уравнений?

Я вам более того скажу, эта тема настолько важная, что ее изучают и в старшей школе, и иррациональные уравнения вынесены на ЕГЭ.

Решить в тетрадях и на доске уравнение № 1

1. 3- 6=0,

=2,

х=2² ,(по определению квадратного корня)

х=4.

Ответ: 4

-Какое иррациональное уравнение можно попробовать решить, используя определение квадратного корня?

1. , по определению квадратного корня получим:

2х+1=3²;

- Как мы избавились от знака корня?

(Возвели обе части в квадрат).

2х=8;

х=4.

Ответ: 4.

-Давайте убедимся, что полученное число действий является корнем уравнения. Как это сделать? (выполнить проверку)

Проверка:,

=3;

3=3 – верно.

Ответ: 4.

4) Реализация проекта.

Теперь попытайтесь решить уравнение № 3.

;

= ;

2х-5 = 4х-7;

-2х = -2;

х=1.

Проверка: х=1;

;

- не имеет смысла.

-В подобных случаях говорят, что х=1 – посторонний корень. Поэтому уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

- Метод, который мы использовали, называется возведением в квадрат обеих частей уравнения. Это основной метод решения иррациональных уравнений. Он не сложен, но иногда приводит к неприятностям, как в предыдущем примере. Поэтому проверку выполнять обязательно.

Фактически решая примеры № 1- № 3 мы применяли этот метод.

Попробуйте сформулировать правило решения иррациональных уравнений, которые мы изучили сегодня на уроке. (Дети пробуют самостоятельно сформулировать правило:

1. Возведи в квадрат обе части уравнения.

2. Сделай проверку.)

1. Первичное закрепление нового материала.

Устная работа.

1. Решить уравнения:

= 5; 2) = 5; 3) = 5.

1. Найти ошибку.

1. =2;

=2²;

3х-7=2;

3х=9;

х=3.

Ответ: 3.

1. =1;

=1²;

=1;

=0;

х₁ =5; х₂ =-4 – посторонний корень.

Ответ: 5.

1. Контроль с первичной проверкой.

Самостоятельно решить уравнения с взаимопроверкой в парах.

I вариант II вариант

№ 30.1 – 30.3 (а) № 30.1 – 30.3 (в)

Учащиеся выполняют самостоятельно. Затем проверка по парам.

1027 а

=

= х²+2х+1

х²+х=0

х(х+1)=0

Проверка:

1) х = 0: 

= 1

1 = 1 - верно.

2) х = -1:

0 = 0 – верно.

Ответ: -1; 0.

№ 1026 б

х²+3х+2=0

(по теореме обратной

т. Виета)

Проверка:

1)х = -2: 

= - верно.

2) х = -1:

= – не имеет смысла.

Ответ: -2.

7) Включение в систему знаний.

- Вернемся к началу урока и решим уравнение, полученное в задаче про треугольник.

=44-2х;

2х² - 184х + 1920 = 0;

х² - 92х + 960 = 0;

Д= 8464 - 3840 = 4624;

х₁ = (92-68):2 = 12; х₂ = (92+68):2 = 80. Нам по условию подходит корень 12. Значит, стороны треугольника 12, 16, 20.

1. Подведение итогов урока.

- Подведем итоги урока. Вернемся к нашему «яблоку» и выясним, удалось ли нам преодолеть все трудности, возникновение которых мы предполагали. У вас на столах лежат зеленые и желтые стикеры. Наклейте на яблоко желтый стикер, если трудность преодолена, или зеленый, если вопросы еще остались. (Учащиеся наклеивают стикеры, далее делаем выводы, какое получилось яблоко: желтое – трудности преодолели, тема усвоена, зеленое – вопросы остались, над темой надо поработать).

8) Рефлексия.

Предложить ученикам составить синквейн по теме урока на листах.

Пример синквейна.

1. Уравнения.

2. Иррациональные новые.

3. Возводим, решаем, проверяем.

4. Умение решать пригодится на ЕГЭ.

5. Здорово!

9) Домашнее задание.

На доске: п. 30, N 30.1-30.3 (в, г)

Вернуться к эпиграфу урока.

Всем спасибо! Урок закончен.