Алгебра 10 класс, Тема урока: «Решение уравнений методами, основанными на свойствах функций»

Алгебра 10 класс

Тема урока: «Решение уравнений методами, основанными на свойствах функций»

Цели урока:

• систематизировать теоретические знания учащихся;

• научить узнавать уравнения, которые можно решать методом, основанном на свойстве ограниченности функций;

• научить узнавать уравнения, которые можно решать, используя монотонность функций;

• научить решать уравнения методом оценки;

• научить решать уравнения используя монотонность функций;

• помочь учащимся в подготовке к ЕГЭ

План – конспект урока:

На этом уроке мы с вами рассмотрим решение уравнений. И постараемся научиться выбирать наиболее рациональный способ для решения уравнений, а в некоторых случаях и единственный способ, что поможет вам сэкономить время при сдаче ЕГЭ.

Постановка проблемы:

Рассмотрим решение иррационального уравнения:

.

??????

Я думаю, что концу урока вы научитесь решать подобные уравнения, но другим методом.

Сегодня на уроке мы рассмотрим нестандартные приемы решения уравнений, основанные на простых и хорошо известных вам свойствах и характеристиках функций.

Тема сегодняшнего урока: «Решение уравнений методами, основанными на свойствах функций»

Задачи:

1. Выясним как можно использовать свойства функций при решений уравнении, на сколько эффективно это применение?

2. Научиться узнавать уравнения, которые можно решать методами, основанном на свойствах функций;

3. Научиться решать уравнения методами, основанными на свойствах функций.

Свойства функций:

• Область определения функции;

• Множество значений функции;

• Непрерывность функции;

• Промежутки знакопостоянства;

• Четность – нечетность функции;

• Монотонность;

• Ограниченность;

• Периодичность;

• Нули функции;

• Наибольшее – наименьшее значения функции.

Решать уравнения можно, используя:

1. область определения функций;

2. ограниченность функций;

3. монотонность функций;

4. графики функций;

5. метод интервалов для непрерывных функций

Из множества свойств функций на этом уроке для решения уравнений мы будем использовать монотонность и ограниченность.

1. Решение уравнений, используя свойство монотонности функций

• Функцию называют возрастающей на множестве , если для любых точек х₁ и х₂ множества Х, таких что , выполняется неравенство . (Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции)

• Функцию называют убывающей на множестве , если для любых точек х₁ и х₂ множества Х, таких что , выполняется неравенство . (Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции).

Выясним:

1. Можно ли использовать свойство монотонности функций при решении уравнений?

2. Если да, то на сколько эффективно это применение?

Вот основополагающие вопросы, на которые мы должны получить ответ.

При изучении монотонности функций, мы рассматривали с вами свойства монотонных функций:

1. Если каждая из двух функций возрастает на промежутке Х, то и их сумма также возрастает на этом промежутке;

2. Если каждая из двух функций убывает на промежутке Х, то и их сумма также убывает на этом промежутке

Вопрос:

Как решается графически уравнение вида ?

Ответ:

Строятся графики функций и , находятся абсциссы точек пересечения графиков.

1. Если функция возрастает или убывает на промежутке Х, то уравнение не может иметь более одного корня на Х;

2. Если функция возрастает, а функция убывает на промежутке Х, то уравнение не может иметь более одного корня на Х.

Приведите примеры известных вам функций, возрастающих на всей совей области определения, убывающих на всей своей области определения.

Из предложенных уравнений выберите те, которые можно попробовать решить, используя свойство монотонности функций.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. .

Решения уравнений:

1. 

Решение: ОДЗ:

- возрастающая функция на ОДЗ уравнения.

- убывающая функция на ОДЗ уравнения.

В силу теоремы о корне, уравнение имеет не более одного решения.

Подбором находим x=4.

Ответ: 4.

1. 

Решение: ОДЗ:

- возрастающая функция на ОДЗ уравнения (как сумма возрастающих функций).

Найдем подбором корень уравнения, х=1. В силу теоремы о корне, имеем, что он единственный.

Ответ: 1.

1. 

Решение:

ОДЗ:

-возрастающая функция (как сумма возрастающих функций).

В правой части уравнения постоянная. В силу теоремы о корне, уравнение имеет не более одного решения. Подбором находим, что х=2 – корень.

Ответ: х=2.

1. 

Решение:

Функция f(x)=x⁵+x³+2x-4 возрастает как сумма трех возрастающих функций y=x⁵, y=x³ и y=2x-4 на R.

Тогда уравнение f(x)=0 имеет не более одного корня. Испытывая делители свободного члена, находим, что x=1.

Ответ: 1.

1. .

Решение:

ОДЗ:

- возрастающая функция на ОДЗ уравнения.

- убывающая функция на ОДЗ уравнения.

В силу теоремы о корне, уравнение имеет не более одного решения.

Подбором находим x=1.

Ответ: 1.

Вывод:

Метод, основанный на свойстве монотонности функций можно использовать для следующих типов уравнений:

• Уравнения, в обеих частях которых стоят функции разного вида;

• Уравнения, в одной части которых убывающая, а в другой - возрастающая на данном промежутке функции;

• Уравнения, одна часть которых – возрастающая или убывающая функция, а вторая – число.

Примерная схема решения уравнений методом, основанном на свойстве монотонности функции:

• Свести уравнение к виду: .

• Найти ОДЗ уравнения.

• Доказать, что одна из функций является монотонно убывающей, а другая – монотонно возрастающей на области допустимых значений данного уравнения.

• Подбором находим корень уравнения. Если он найден, то это и будет единственный корень уравнения.

1. Решение уравнений, используя ограниченность функции

(Метод оценки).

Вопрос:

Какие функции называются ограниченными сверху (снизу)?

Ответ:

• Функцию называют ограниченной сверху на множестве , если все значения этой функции меньше некоторого числа. Иными словами, если существует такое число М, что для любого значения выполняется неравенство .

• Функцию называют ограниченной снизу на множестве , если все значения этой функции больше некоторого числа. Иными словами, если существует такое число m, что для любого значения выполняется неравенство .

Вопрос:

Приведите примеры ограниченных функций.

Ответ:

1) y = ax2 + bx + c ;	4)
2) y =	5) y = sin x ;
3) y = f 2n(x).	6) y = cos x.

Метод оценки используется при решении уравнений вида , где и - ограниченнее функции.

Мы с вами доказывали теорему (задачу 8.51):

Если и определены на множестве Х и наибольшее значение одной из этих функций на множестве Х, совпадает с наименьшим значением другой функции на этом множестве, то уравнение равносильно на множестве Х системе уравнений: .

Выберите из предложенных уравнений те, которые можно попробовать решить методом оценки:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

Вывод:

Уравнения следует решать методом оценки, если:

• В уравнении присутствуют функции разной природы (тригонометрические, квадратичные, содержащие модули и корни и т.п.);

• Эти функции ограничены;

• На области допустимых значений наибольшее значение одной из них равно наименьшему значению другой

Примерная схема решения уравнений методом оценки:

• Свести уравнение к виду ;

• Найти ОДЗ уравнения;

• Найти множества значений данных функций на ОДЗ уравнения;

• Если наибольшее значение одной их них равно А и равно наименьшему значению другой, то составить и решить систему уравнений:

• Решить наиболее простое уравнение и подставить полученные корни во второе уравнение. Те значения переменной х. которые являются корнями двух уравнений одновременно и будут решениями исходного уравнения.

Рефлексия

Вот теперь можно расслабиться, окинуть мысленно всю свою работу на уроке.

Итак,

- можно ли применять свойства функций при решении уравнений?

- эффективно ли применение свойства монотонности и свойства ограниченности функций при решении уравнений? (да, некоторые уравнения просто не смогли бы решить другими методами)

- Что нового вы узнали на этом уроке?

- Какие задачи из предложенных вам понравились?

- Чувствуете ли вы уверенность в данный момент перед нестандартными уравнениями?

• Надо же как все просто.

• Как научиться ходить.

Потом ты начинаешь удивляться,

что в этом было такого сложного.

Р.Бах «Иллюзии»

Домашнее задание.

8