| Практическое применение производной |
В данной работе я рассмотрю применения производной в различных науках и
отраслях. Работа разбита на главы, в каждой из которых рассматривается одна
из сторон дифференциального исчисления (геометрический, физический смысл и
т. д.)
1. Понятие производной
1-1. Исторические сведения
Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17
столетия на основе двух задач:
1) о разыскании касательной к произвольной линии
2) о разыскании скорости при произвольном законе движения
Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского
математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в
ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается
наибольшая дальность полета снаряда.
В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась
кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться
в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого
Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли
Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.
1-2. Понятие производной
Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в
промежутке (a; b), и пусть х0 - произвольная точка этого промежутка
Дадим аргументу x приращение ?x, тогда функция y = f(x) получит приращение
?y = f(x + ?x) - f(x). Предел, к которому стремится отношение ?y / ?x при
?x 0, называется производной от функции f(x).
y'(x)=[pic]
1-3. Правила дифференцирования и таблица производных
|C' = 0 |(xn) = nxn-1 |(sin x)' = cos x |
|x' = 1 |(1 / x)' = -1 / x2|(cos x)' = -sin x |
|(Cu)'=Cu' |(?x)' = 1 / 2?x |(tg x)' = 1 / cos2 x |
|(uv)' = u'v + uv' |(ax)' = ax ln x |(ctg x)' = 1 / sin2 x |
|(u / v)'=(u'v - uv') |(ex)' = ex |(arcsin x)' = 1 / ? (1-|
|/ v2 | |x2) |
| |(logax)' = (logae)|(arccos x)' = -1 / ? |
| |/ x |(1- x2) |
| |(ln x)' = 1 / x |(arctg x)' = 1 / ? (1+ |
| | |x2) |
| | |(arcctg x)' = -1 / ? |
| | |(1+ x2) |
2. Геометрический смысл производной
2-1. Касательная к кривой
Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку M и точку N. Касательной к
точке M называется прямая, положение которой стремится занять хорда MN,
если точку N неограниченно приближать по кривой к M.
Рассмотрим функцию f(x) и соответствующую этой функции кривую y = f(x). При
некотором значении x функция имеет значение y = f(x). Этим значениям на
кривой соответствует точка M(x0, y0). Введем новый аргумент x0 + ?x, его
значению соответствует значение функции y0 + ?y = f(x0 + ?x).
Соответствующая точка - N(x0 + ?x, y0 + ?y). Проведем секущую MN и
обозначим ? угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox.
Из рисунка видно, что ?y / ?x = tg ?. Если теперь ?x будет приближаться к
0, то точка N будет перемещаться вдоль кривой , секущая MN - поворачиваться
вокруг точки M, а угол ? - меняться. Если при ?x 0 угол ? стремится к
некоторому ?, то прямая, проходящая через M и составляющая с положительным
направлением оси абсцисс угол ?, будет искомой касательной. При этом, ее
угловой коэффициент:
[pic]
То есть, значение производной f '(x) при данном значении аргумента x равно
тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ox
касательной к графику функции f(x) в точке M(x, f(x)).
Касательная к пространственной линии имеет определение, аналогичное
определению касательной к плоской кривой. В этом случае, если функция
задана уравнением z = f(x, y), угловые коэффициенты при осях OX и OY будут
равны частным производным f по x и y.
2-2. Касательная плоскость к поверхности
Касательной плоскостью к поверхности в точке M называется плоскость,
содержащая касательные ко всем пространственным кривым поверхности,
проходящим через M - точку касания.
Возьмем поверхность, заданную уравнением F(x, y, z) = 0 и какую-либо
обыкновенную точку M(x0, y0, z0) на ней. Рассмотрим на поверхности
некоторую кривую L, проходящую через M. Пусть кривая задана уравнениями
x = ?(t); y = ?(t); z = ?(t).
Подставим в уравнение поверхности эти выражения. Уравнение превратится в
тождество, т. к. кривая целиком лежит на поверхности. Используя свойство
инвариантности формы дифференциала, продифференцируем полученное уравнение
по t:
[pic]
Уравнения касательной к кривой L в точке M имеют вид:
[pic]
Т. к. разности x - x0, y - y0, z - z0 пропорциональны соответствующим
дифференциалам, то окончательное уравнение плоскости выглядит так:
F'x(x - x0) + F'y(y - y0) + F'z(z - z0)=0
и для частного случая z = f(x, y):
Z - z0 = F'x(x - x0) + F'y(y - y0)
Пример: Найти уравнение касательной плоскости в точке (2a; a; 1,5a)
гиперболического параболоида
[pic]
Решение:
Z'x = x / a = 2; Z'y = -y / a = -1
Уравнение искомой плоскости:
Z - 1.5a = 2(x - 2a) - (Y - a) или Z = 2x - y - 1.5a
3. Использование производной в физике
3-1. Скорость материальной точки
Пусть зависимость пути s от времени t в данном прямолинейном движении
материальной точки выражается уравнением s = f(t) и t0 -некоторый момент
времени. Рассмотрим другой момент времени t, обозначим ?t = t - t0 и
вычислим приращение пути: ?s = f(t0 + ?t) - f(t0). Отношение ?s / ?t
называют средней скоростью движения за время ?t, протекшее от исходного
момента t0. Скоростью называют предел этого отношения при ?t 0.
Среднее ускорение неравномерного движения в интервале (t; t + ?t) - это
величина =?v / ?t. Мгновенным ускорением материальной точки в момент
времени t будет предел среднего ускорения:
[pic]
То есть первая производная по времени (v'(t)).
Пример: Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s
= A + Bt + Ct2 +Dt3 (C = 0,1 м/с, D = 0,03 м/с2). Определить время после
начала движения, через которое ускорение тела будет равно 2 м/с2.
Решение:
v(t) = s'(t) = B + 2Ct + 3Dt2; a(t) = v'(t) = 2C + 6Dt = 0,2 + 0,18t =
2;
1,8 = 0,18t; t = 10 c
3-2. Теплоемкость вещества при данной температуре
Для повышения различных температур T на одно и то же значение, равное T1 -
T, на 1 кг. данного вещества необходимо разное количество теплоты Q1 - Q,
причем отношение
[pic]
для данного вещества не является постоянным. Таким образом, для данного
вещества количество теплоты Q есть нелинейная функция температуры T: Q =
f(T). Тогда ?Q = f(t + ?T) - f(T). Отношение
[pic]
называется средней теплоемкостью на отрезке [T; T + ?T], а предел этого
выражения при ?T 0 называется теплоемкостью данного вещества при
температуре T.
3-3. Мощность
Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на
него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс
обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится
понятие работы силы. Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы,
вводят понятие мощности:[pic].
4. Дифференциальное исчисление в экономике
4-1. Исследование функций
Дифференциальное исчисление - широко применяемый для экономического анализа
математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является
изучение связей экономических величин, записанных в виде функций. В каком
направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при
введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при
повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное
оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных
задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных,
которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления. В
экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение
показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль,
максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель
представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким
образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению
экстремума функции.
По теореме Ферма, если точка является экстремумом функции, то производная в
ней либо не существует, либо равна 0. Тип экстремума можно определить по
одному из достаточных условий экстремума:
1) Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0.
Если производная f '(x) при переходе через точку x0 меняет знак с + на -,
то x0 - точка максимума, если с - на +, то x0 - точка минимума, если не
меняет знак, то в этой точке нет экстремума.
2) Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки
x0, причем f '(x0) = 0, f ''(x0) ? 0, то в точке x0 функция f(x0) имеет
максимум, если f ''(x0) 0.
Кроме того, вторая производная характеризует выпуклость функции (график
функции называется выпуклым вверх [вниз] на интервале (a, b), если он на
этом интервале расположен не выше [не ниже] любой своей касательной).
Пример: выбрать оптимальный объем производства фирмой, функция прибыли
которой может быть смоделирована зависимостью:
?(q) = R(q) - C(q) = q2 - 8q + 10
Решение:
?'(q) = R'(q) - C'(q) = 2q - 8 = 0 qextr = 4
При q ?'(q)
При q qextr = 4 ?'(q) 0 и прибыль возрастает
При q = 4 прибыль принимает минимальное значение.
Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы? Если фирма не может
производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (p(q = 8) =
p(q = 0) = 10), то оптимальным решением будет вообще ничего не производить,
а получать доход от сдачи в аренду помещений и / или оборудования. Если же
фирма способна производить больше 8 единиц, то оптимальным для фирмы будет
выпуск на пределе своих производственных мощностей.
4-2. Эластичность спроса
Эластичностью функции f(x) в точке x0 называют предел
[pic]
Спрос - это количество товара, востребованное покупателем. Ценовая
эластичность спроса ED - это величина, характеризующая то, как спрос
реагирует на изменение цены. Если |ED|1, то спрос называется эластичным,
если |ED|
неэластичным, т. е. изменение цены не приводит ни к какому изменению
спроса. Напротив, если самое малое снижение цены побуждает покупателя
увеличить покупки от 0 до предела своих возможностей, говорят, что спрос
является совершенно эластичным. В зависимости от текущей эластичности
спроса, предприниматель принимает решения о снижении или повышении цен на
продукцию.
4-3. Предельный анализ
Важный раздел методов дифференциального исчисления, используемых в
экономике - методы предельного анализа, т. е. совокупность приемов
исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменениях
объемов производства, потребления и т. п. на основе анализа их предельных
значений. Предельный показатель (показатели) функции - это ее производная
(в случае функции одной переменной) или частные производные (в случае
функции нескольких переменных)
В экономике часто используются средние величины: средняя производительность
труда, средние издержки, средний доход, средняя прибыль и т. д. Но часто
требуется узнать, на какую величину вырастет результат, если будут
увеличены затраты или наоборот, насколько уменьшится результат, если
затраты сократятся. С помощью средних величин ответ на этот вопрос получить
невозможно. В подобных задачах требуется определить предел отношения
приростов результата и затрат, т. е. найти предельный эффект.
Следовательно, для их решения необходимо применение методов
дифференциального исчисление.
5. Производная в приближенных вычислениях
5-1. Интерполяция
Интерполяцией называется приближенное вычисление значений функции по
нескольким данным ее значениям. Интерполяция широко используется в
картографии, геологии, экономике и других науках. Самым простым вариантом
интерполяции является форма Лагранжа, но когда узловых точек много и
интервалы между ними велики, либо требуется получить функцию, кривизна
которой минимальна то прибегают к сплайн-интерполяции, дающей бульшую
точность.
Пусть Kn - система узловых точек a = x0
называется сплайн-функцией Sk(x) степени k?0 на Kn, если
а) Sk(x) є Ck-1([a, b])
б) Sk(x) - многочлен степени не большей k
Сплайн-функция ?k(x) є Sk(Kn) называется интерполирующей сплайн-функцией,
если ?k(xj) = f(xj) для j = 0,1,…,n
В приложениях часто бывает достаточно выбрать k=3 и применить т. н.
кубическую интерполяцию.
[pic]
Т. к. s(x) на каждом частичном интервале есть многочлен третьей степени, то
для x є [xj-1 ,xj]
Здесь s2j, cj1, cj0 неизвестны для j = 1, 2, …, n
Последние исключаются в силу требования s(xj) = yj:
[pic][pic]Дифференцируя эту функцию и учитывая, что s'(x) на всем интервале
и, следовательно, в частности, в узлах должна быть непрерывна, окончательно
получаем систему уравнений:
[pic]
относительно n+1 неизвестных s20, s21,…, s2n. Для однозначного их
определения в зависимости от задачи добавляются еще два уравнения:
Нормальный случай(N):
Периодический случай(P) (т. е. f(x+(xn-x0))=f(x)):
Заданное сглаживание на границах:
Пример: сплайн-интерполяция функции f(x)=sin x, n=4.
Функция периодическая, поэтому используем случай P.
|j |xj |yj |hj |yj-yj-1 |
|0 |0 |0 |?/2 |1 |
|1 |?/2 |1 |?/2 |-1 |
|2 |? |0 |?/2 |-1 |
|3 |3?/2 |-1 |?/2 |1 |
|4 |2? |0 | | |
[pic]
Сплайн-функция получается такая:
[pic]
5-2. Формула Тейлора
Разложение функций в бесконечные ряды позволяет получить значение функции в
данной точке с любой точностью. Этот прием широко используется в
программировании и других дисциплинах
Говорят, что функция разлагается на данном промежутке в степенной ряд,
если существует такой степенной ряд a0 + a1(x - a) + a2(x - a)2 + … + an(x
- a)n + …, который на этом промежутке сходится к данной функции. Можно
доказать, что это разложение единственно:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в точке a. Степенной ряд вида
[pic]
называется рядом Тейлора для функции f(x), записанным по степеням разности
(x - a). Вообще, чтобы ряд Тейлора сходился к f(x) необходимо и достаточно,
чтобы остаточный член ряда стремился к 0. При a = 0 ряд Тейлора обычно
называют рядом Маклорена.
С помощью ряда Маклорена можно получить простые разложения элементарных
функций:
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] | |
5-3. Приближенные вычисления
Часто бывает, что функцию f(x) и ее производную легко вычислить при x = a,
а для значений x, близких к a, непосредственное вычисление функции
затруднительно. Тогда пользуются приближенной формулой, полученной с
помощью формулы Тейлора:
[pic]
Пример: Извлечь квадратный корень из 3654
Решение: [pic], x0=3654. Легко вычисляются значения f(x) и [pic] при x =
3600. Формула при a = 3600, b=54 дает:
[pic]
С помощью этой формулы можно получить несколько удобных формул для
приближенных вычислений:
|[pic] |[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |
Заключение
Применение производной довольно широко и его сложно полностью охватить в
работе такого типа, однако я попытался раскрыть основные, базовые моменты.
В наше время, в связи с научно-техническим прогрессом, в частности с
быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление
становится все более актуальным в решении как простых, так и сверхсложных
задач.
Литература
|М. Я. Выгодский |Справочник по высшей математике |
|И. Н. Бронштейн, |Справочник по математике для инженеров и |
|К. А. Семендяев |учащихся ВТУЗов |
|И. М. Уваренков, |Курс математического анализа,т.1 |
|М. З. Маллер | |
|В. А. Дударенко, |Математический анализ |
|А.А. Дадаян | |
|Н. С. Пискунов |Дифференциальное и интегральное исчисления|
|Т. И. Трофимова |Курс физики |
|О. О. Замков |Математические методы в экономике |
|А. В. Толстопятенко | |
|Ю. Н. Черемных | |
|А. С. Солодовников |Математика в экономике |
|В. А. Бабайцев | |
|А. В. Браилов | |
|И .Г. Шандра | |
Содержание:
Введение
1. Понятие производной
1-1. Исторические сведения
1-2. Понятие производной
1-3. Правила дифференцирования и таблица производных
2. Геометрический смысл производной
2-1. Касательная к кривой
2-2. Касательная плоскость к поверхности
3. Использование производной в физике
3-1. Скорость материальной точки
3-2. Теплоемкость при данной температуре
3-3. Мощность
4. Дифференциальное исчисление в экономике
4-1. Исследование функций
4-2. Эластичность спроса
4-3. Предельный анализ
5. Производная в приближенных вычислениях
5-1. Интерполяция
5-2. Формула Тейлора
5-3. Приближенные вычисления
Заключение
Список использованной литературы
-----------------------
