Производная и её практическое применение

Тема урока: «Производная и её практическое применение»

Цели урока:

Обучающие: обобщение и систематизация знаний учащихся по теме «Производная» (основные формулы и правила дифференцирования, применение производной к исследованию функции, нахождению наибольшего и наименьшего значения функции, физический и геометрический смысл производной).

Развивающие: содействовать развитию мыслительных операций: анализ, синтез, обобщение, развитие умений применять знания на практике, находить оптимальные решения, развитие уверенности в своих силах, настойчивости, умения преодолевать трудности, добиваться намеченной цели, умения работать в коллективе, умения самооценки и взаимооценки.

Воспитательные: воспитание познавательного интереса к математике, собираться с мыслями и принимать решения, содействовать формированию творческой деятельности учащихся, воспитывать чувство ответственности за качество и результат выполняемой работы, воспитание умения не растеряться в проблемных ситуациях.

Задачи урока:

• возбуждение и поддержание интереса к предмету;

• воспитание ответственного отношения к учению;

• вовлечение учащихся в творческую, поисковую деятельность.

Тип урока: урок обобщения, систематизации знаний, умений и навыков.

Вид урока: деловая игра

Формы обучения: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Метод обучения – исследовательский метод.

Оборудование:

Мультимедийный проектор, презентация с заданиями, карточки для индивидуальной работы, конверты с заданиями для групп.

Межпредметные связи: физика, ПДД, литература

Структура урока:

1. Организационный этап: проверка готовности к уроку.

2. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности обучающихся. Эпиграфом нашего урока я выбрала слова

Н.И. Лобачевский: «… нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…».

3. Актуализация прежних знаний.

4. Работа в группах.

5. Защита учащимися групп у доски своих ответов и расчётов. Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция. В процессе ответа у доски учащиеся отвечают на вопросы учащихся других групп.

6. Рефлексия (подведение итогов занятия). Домашнее задание.

7. Анализ и содержание итогов работы, формирование выводов по изученному материалу.

Ход урока

1. Организационный этап: проверка готовности к уроку.

Вступительное слово учителя:

Друзья мои! Я очень рада

Войти в приветливый ваш класс.

И для меня уже награда

Вниманье ваших умных глаз.

Я знаю: каждый в группе гений.

Но без труда, талант не в прок.

Скрестите шпаги ваших мнений,

Мы вместе проведём урок!

Мои соавторы и судьи,

Оценкой Вас не накажу.

За странный слог не обессудьте,

А дальше прозой я скажу

1. Постановка целей и задач урока

Нам всем кажется, что в повседневной жизни мы великолепно обходимся без математики. Не правда, ли? Но это совсем не так. Сегодня на уроке мы убедимся в этом.

Начинаем деловую игру по теме «Производная и её практическое применение». Сегодня Ваша группа – научно-расчётный центр. Вы сотрудники этого центра. Центр имеет 3 отдела: отдел транспорта, отдел экономики, поисковый отдел. Вам предстоит защитить теоретические знания по теме «Производная», показать умения и навыки применять теоретические знания к решению практических задач.

В научно-расчётный центр пришли письма от различных организаций, которые хотят получить ответы и расчёты на интересующие их вопросы. Вы должны дать полные, обоснованные ответы и расчёты, которые потом будут отправлены заказчикам. Выступающим можно задавать вопросы по теме, помогать искать наилучшие варианты ответов.

Прежде чем раздать Вам письма, давайте вспомним:

1. Актуализация знаний

• Чему равна производная суммы?

• Чему равна производная степенной функции у = х³ ?

• В чем заключается механический смысл производной?

• Производная от скорости по времени есть…?

• В каком случае функция возрастает на некотором промежутке?

• В каком случае функция убывает на некотором промежутке?

• Если в точке х₀ производная меняет знак с плюса на минус, то х₀ есть точка…?

• Если в точке х₀ производная меняет знак с минуса на плюс, то х₀ есть точка…?

1. Работа в группах.

Сейчас я раздам письма, которые Вы проработаете в своем отделе, после чего представитель от каждого отдела у доски даст расчёты и ответы на вопросы в письмах.

Отдел транспорта.

Уважаемые сотрудники научно-расчётного центра!

На трассе Кокшетау-Атбасар произошла авария. Для выяснения степени виновности водителя нам необходимо знать:

а) в течении какого времени осуществлялось торможение до полной остановки машины?

б) сколько метров двигалась машина с начала торможения?

в) чему равно ускорение в любой момент времени?

Нами установлено, что тормозной путь определяется по формуле: S (t) =120t-10t³, где t (c), S (м)

С уважением сотрудники транспортной полиции г. Атбасар

Отдел экономики.

Уважаемые сотрудники научно-расчётного центра!

Хозяину дачного участка необходимо вырыть бассейн объёмом 13,5 м³ с квадратным основанием. Какими должны быть размеры бассейна, чтобы на его облицовку понадобилось наименьшее количество кафеля?

С уважением сотрудники по изготовлению кафеля.

Отдел поиска.

Уважаемые сотрудники научно-расчётного центра!

Исследователи поверхности суши и подводного пространства океана запустили ракету, которая перемещалась по закону у(х) =3х-х³. Чтобы сделать необходимые выводы, нам надо знать:

а) траекторию движения ракеты;

б) где ракета летит под водой;

в) где ракета летит над водой;

г) в какой точке ракета достигает максимальной высоты и чему она равна;

д) в какой точке ракета погружается на максимальную глубину и чему она равна;

е) в каких точках ракета входит и выходит из воды.

В нашей просьбе просим не отказать.

V. Работа с группой учащихся

VI. Защита учащимися у доски своих ответов и расчётов.

Отдел транспорта.

Ответ:

Воспользуемся механическим смыслом производной: производная от координаты по времени есть скорость, то есть S’(t)= V(t)=(120t-10t³)’ = 120-30t².

Так как машина остановилась, то V(t)=0. Имеем:

120-30t² =0; t=±2 (с). t=-2 не удовлетворяет условию задачи, значит в течение 2 секунд осуществлялось торможение до полной остановки машины.

Найдём путь, пройденный машиной за 2 с.:

S (t) = 120t — 10t³; S (2) =120*2-10*2³ =160 (м), значит, с начала торможения машина двигалась 160 м.

Производная от скорости по времени есть ускорение, значит:

a (t)=(120-30t²)’= — 60*t

Отдел экономики.

Ответ: Пусть сторона квадрата основания будет х дм. х€(0;+∞)

V=x²h, следовательно h= V/ x²

S_пол = S_бок+S_осн = 4xh+x² 

Отдел поиска.

Ответ:

Нас просят найти траекторию движения ракеты. Для этого надо построить график функции у (х) =3х-х³.

Проведём исследование данной функции:

D (у) = R, так как у — многочлен.

у’ (х) = (3х-х³)’=3-3х

у’ (х) =0; х=±1

VII. Рефлексия (подведение итогов занятия). Выставление оценок.

VIII. Анализ и содержание итогов работы, формирование выводов по изученному материалу.

Сегодня мы выяснили, зачем нужно изучать производную, где можно использовать знания, связанные с производной в жизни. Не зря Н.И. Лобачевский сказал: «… нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…».

С помощью производной можно находить:

• скорость, ускорение;

• исследовать функции на монотонность и экстремумы и строить их графики;

• находить наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке;

• решать задачи на нахождение наибольших и наименьших значений величин.