«…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…»
Н.И. Лобачевский
Мы изучаем производную. А так ли это важно в жизни?
«Дифференциальное исчисление- это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники.»
Применение производной при решении физических задач
Рассмотрим два примера применения производной в физических задачах:
- Производная в электротехнике
Механическое движение
Механическое движение - это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени .
Основной характеристикой механического движения служит скорость.
Пусть закон движения тела задан уравнением s = s (t). Скорость неравномерного движения тела в данный момент времени равна производной пути по времени, т.е. v=S ’ (t)
Ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента. a=S ’’ (t)
Производная в электротехнике
В наших домах, на транспорте, на заводах: всюду работает электрический ток.
Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц
Количественной характеристикой электрического тока является сила тока
В цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени
I = q ’ ( t)
В электротехнике в основном используется работа переменного тока
Электрический ток, изменяющийся со временем, называют переменным
Получение переменного электрического тока основано на законе электромагнитной индукции, формулировка которого содержит производную магнитного потока
Применение производной при решении физических задач
Задача 4
Пусть Q (t) количество теплоты, которое необходимо для нагревания тела массой 1 кг от 0 0 С до температуры t 0 (по Цельсию), известно, что в диапазоне от 0 0 до 95 0 , формула
Q(t)=0,396t+2,081 10 -3 t 2 -5,024 10 -7 t 3 дает хорошее приближение к истинному значению. Найдите, как зависит теплоёмкость воды от t.
Решение:
C(t)=Q (t)=0,396+4,162 10 -3 t-15,072 10 -7 t 2
Применение производной в химии и биологии
Введение
Одним из важнейших понятий математического анализа является производная функции. Производная характеризует скорость изменения функции по отношению к изменению независимой переменной. В геометрии производная характеризует крутизну графика, в механике – скорость неравномерного прямолинейного движения, в биологии – скорость размножения колонии микроорганизмов, в экономике – отзывчивость производственной функции (выход продукта на единицу затрат), в химии – скорость химической реакции.
Биологический смысл производной
Пусть зависимость между числом особей популяции микроорганизмов у и временем t её размножения задана уравнением: у = x ( t ). Пусть ∆ t - промежуток времени от некоторого начального значения t до t +∆ t . Тогда ∆ y=x ( t +∆ t )- x ( t ) - изменение числа особей организмов за промежуток времени ∆ t . Отношение ∆ y /∆ t является средней скоростью размножения или, как принято говорить, средней производительностью жизнедеятельности популяции. Вычисляя производную, получаем y ‘= P ( t ) = x ‘( t ), или производительность жизнедеятельности популяции в момент времени t .
Что же такое популяция?
Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.
Пример
Пусть популяция бактерий в момент t (с) насчитывает x(t ) особей. x(t )=3000+100 t 2 . Найти скорость роста популяции: а) в произвольный момент t , б) в момент t = 1 c .
Решение:
P = x’(t) = 200t;
P(1) = 200 ( ос/с).
Ответ: 200 ос/с.
Химический смысл производной
Пусть дана функция C = C ( t ),где C -количество некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию в момент времени t . Приращению времени ∆ t будет соответствовать приращение ∆ C величины C . Отношение ∆ C /∆ t - есть средняя скорость химической реакции за промежуток времени ∆ t . Предел этого отношения при стремлении ∆ t к нулю - есть скорость химической реакции в данный момент времени .
v (t) = C’ (t)
Скорость химической реакции – один из решающих факторов, который нужно учитывать во многих областях научно-производственной деятельности. Например, инженерам-технологам при определении эффективности химических производств, химикам, разрабатывающим препараты для медицины и сельского хозяйства, а также врачам и агрономам, использующим эти препараты для лечения людей и для внесения их в почву. Одни реакции проходят практически мгновенно, другие идут очень медленно. В реальной жизни для решения производственных задач, в медицинской, сельскохозяйственной и химической промышленности важно знать скорости реакций химических веществ.
Применение производной в химии и биологии
v (t) = C’ (t) Скорость химической реакции в данный момент времени есть производная концентрации реагирующего вещества по времени.
P ( t ) = x ‘( t ) Производительность жизнедеятельности популяции в момент времени t есть производная численности популяции по времени.
ЗАДАНИЕ 5
Царь зовет к себе Стрельца - удалого молодца
И дает ему поручение государственного значения:
« Принеси-ка мне Стрелец 20 моль того – сего,
сам не знаю я чего!
Ночь даю тебе подумать, утром буду ждать доклад!
Не смогешь – кого винить?
Должен я тебя казнить.
Запиши себе заданье, чтоб со
страху не забыть».
Сколько времени потребуется для получения 20 моль
« того - сего, сам не знаю я чего » и чему будет равна скорость реакции в этот момент времени , если концентрация продукта реакции меняется по закону
C =20 e 0,2 t-2 ?
Применение производных в географии и экономике.
Производная в экономике.
Производные применяются в экономике для получения так называемых предельных издержек, предельной выручки, предельной прибыли и т.п. Слово «предельный» в этих терминах означает производную, или скорость изменения. Следовательно, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) с течением времени или относительно другого исследуемого фактора.
Экономический смысл производной.
Пусть функция V = V(t) выражает количество произведенной продукции V за время t . Найдем производительность труда в момент времени t o . За период времени от t o до t o + Δ t количество произведенной продукции изменится от значения V o =V( t o ) до значения V o + Δ V = V( t o + Δ t) ; тогда средняя производительность труда за этот период времени
П ср = Δ V/ Δ t . Очевидно, что производительность труда в момент t o можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от t o до
t o + Δ t при Δ t→ 0 , т.е. П( t)= .
Таким образом, экономический смысл производной заключается в том, что производная объема произведенной продукции по времени V ’ (t) есть производительность труда в момент t o :
П ( t ) = V ’ ( t )
Таким образом, можно сделать вывод о том, что производная, являясь важным инструментом экономического анализа, позволяет нам:
- углубить геометрический и математический смысл экономических понятий;
- выразить ряд экономических законов с помощью математических формул;
- расширить круг рассматриваемых при решении задач функций;
- решать многочисленные задачи по экономической теории.
Производная в географии.
Теория Томаса Мальтуса.
Идея социологической модели Томаса Мальтуса состоит в том, что прирост населения пропорционален числу населения N(t) в данный момент времени t, N ’ (t)=kN(t) . Модель Мальтуса неплохо действовала для описания численности населения США с 1790 по 1860 годы. Ныне эта модель в большинстве стран не действует.
Рост численности населения.
Выведем формулу для вычисления прироста численности населения на ограниченной территории в момент времени t .
Решение:
1) Пусть у=у( t ) - численность населения.
2) Рассмотрим прирост населения за t=t-t 0 .
3) y=ky t , где к=к р – к с –коэффициент прироста (кр – коэффициент рождаемости, кс – коэффициент смертности).
4) y/ t=ky .
5) При t 0 получим lim y/ t= у ’ .
у ’ =ку
Применение производных в географии и экономике.
П рирост численности населения на ограниченной территории в момент времени t пропорционален числу населения у=у( t ) .
Производительность труда в момент t o есть производная объема произведенной продукции по времени V ’ (t) .
Задача 6
Объем продукции V , произведенный бригадой рабочих, задается уравнением ,
1 ≤ t ≤ 8 , где t – рабочее время в часах. Вычислить производительность труда через час после начала работы и за час до ее окончания.
Решение: Производительность труда выражается формулой
П ( t ) = V ’ ( t ) , П( t) =-2.5t 2 +15t+100 (ед. / ч). В заданные моменты времени t 1 =1 и t 2 = 8-1 = 7 имеем: П(1) = 112,5 (ед.ч) и П(7) = 82,5 (ед.ч). Итак, к концу рабочего дня производительность существенно снижается.
“ Музыка может возвышать или умиротворять
душу,
Живопись – радовать глаз, Поэзия – пробуждать чувства, Философия – удовлетворять потребности разума, Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей, А математика способна достичь всех этих целей”.
М орис Клайн.
ЗАДАНИЕ Старая сказка на новый лад Укусила лиса сыр и …сломала клык. Обозлилась лиса и бросила кусок сыра в ворону: «Чтоб тебе!..» . Попала ли лиса в ворону, если высота сыра, брошенного вертикально вверх , меняется по закону а ворона сидит на высоте 7метров?
