kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

ДИДАКТИЧЕСКИЙ ПРОЕКТ УРОКА МАТЕМАТИКИ по теме "Применение производной в различных областях науки"

Нажмите, чтобы узнать подробности

Тема урока: Применение производной в различных областях науки

Цели урока. В конце урока ученики будут способны:

Ц1: применять алгоритмы дифференцирования при решении задач;

Ц2: применять механический и геометрический смыслы производной при решении задач из различных областей;

Ц3: применять средства ИКТ;

Ц4: выявлять, в процессе решения задач, преимущества, предоставляемые математикой при рассмотрении, уяснении и решении некоторых практических задач или жизненных ситуаций;

Ц5: проявлять любознательность и воображение в выборе стратегий решения проблем.

Тип урока:  Урок формирования способностей применения знаний

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Применение производной в различных областях науки»

ДИДАКТИЧЕСКИЙ ПРОЕКТ

УРОКА МАТЕМАТИКИ

Учитель: Матвеева О.В.

Класс: 11

Тема урока: Применение производной в различных областях науки

Цели урока. В конце урока ученики будут способны:

Ц1: применять алгоритмы дифференцирования при решении задач;

Ц2: применять механический и геометрический смыслы производной при решении задач из различных областей;

Ц3: применять средства ИКТ;

Ц4: выявлять, в процессе решения задач, преимущества, предоставляемые математикой при рассмотрении, уяснении и решении некоторых практических задач или жизненных ситуаций;

Ц5: проявлять любознательность и воображение в выборе стратегий решения проблем.

Тип урока: Урок формирования способностей применения знаний

Дидактические технологии:

а) формы:

– фронтальная;

– работа в парах;

– работа в группах;

в) методы:

–беседа;

– метод упражнений;

с) средства обучения:

компьютер, проектор, компьютерные презентации Power Point, доска, раздаточный материал.

Оценивание: самооценивание, текущая, письменные и устные вопросы и ответы.

Замечание. За 1,5 недели до урока класс разделен на 3 группы и назначены консультанты. В группу вошли учащиеся с разными учебными возможностями. Каждая группа получила задание приготовить презентацию «Применение производной для решения задач из различных областей науки».

I группа - «Применение производной при решении физических задач»;

II группа - «Решение химических и биологических задач с помощью производной»;

III группа - «Решение задач с географическим, экономическим содержанием».

На подготовительном периоде и в ходе урока консультанты руководят работой группы: распределяют обязанности между учениками, организуют консультации с учителями предметниками.


Ход урока


№п/п


Этап урока

Время

(мин.)

Цели

Метод

Деятельность учителя

Деятельность уч-ся

Оценивание

1

Организация класса

2


Беседа

Приветствует учащихся, формулирует тему и цели

Приветствуют учителя, готовят к работе ПК

Визуальная проверка готовности класса


2


Повторение





7












2




























5


Ц1

Ц2



Самоконтроль знаний формул и правил дифференцирования
























Устный опрос (фронт.)











Вспомни!

Ф.И. ________________

Функция

Производная

kx+m



2x

C, c-const


 , x≠0



 , x0

xn, n≠0



sin x



1

ctg x



- sin x

k*f(x)



f (x)+g (x)

f(x)*g(x)



f(kx+m)





1. Найдите производные указанных функций:

  1. y=x2-7x+12

  2. y=3x5-2x2

  3. y=tg2xctg2x

  4. y=sin2x

  5. y=3(2x+4)2

  6. y=2sinx cosx

2. Верно ли, что ускорение тела происходит по линейному закону:

  1. s(t)=2t4-3t3-5t2+t-8

  2. s(t)=-3t3-8t-15

3. На рисунке изображён график функции f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции в точке.

4. На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале (-6;8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=x-5 или совпадает с ней.


Заполняют таблицу, по окончанию работы выполняют самопроверку по “Таблице производных”.
























Формулируются ответы




























Самооценка





























Вербальная оценка






















3


Формирование способностей



29


4
















5




















3
















1







4














4














4







4



Ц3








Ц1

Ц2

Ц4

Ц5
















Ц1

Ц2

Ц4

Ц5




















Ц1

Ц2

Ц4

Ц5










Ц3








Ц1

Ц2

Ц4

Ц5
















Ц3








Ц1

Ц2

Ц4

Ц5



Беседа








Работа в группах


















Работа в парах




















Устная работа










Беседа








Работа в группе
















Беседа








Работа в группе



Предлагается просмотреть презентацию, подготовленную в качестве домашнего задания I группой учащихся «Применение производной при решении физических задач».




Решить самостоятельно задачи и обсудить решения в группе.


Задание 1. Автомобиль приближается к мосту со скоростью 72 км/ч. У моста висит дорожный знак "36км/ч". За 7 сек до въезда на мост, водитель нажал на тормозную педаль. С разрешаемой ли скоростью автомобиль въехал на мост, если тормозной путь определяется формулой s=20t-t²


Задание 2. Высота ракеты меняется

по закону S=100ln(t2+1). Найдите кинетическую энергию ракеты через 10 секунд после старта, если масса ракеты 10 тонн.


Выполнить задание своего варианта, обменяться тетрадями и проверить работу соседа, заполняя лист оценивания. Два человека показывают решения у доски.


1 вариант.
Задание 3. Заряд, протекающий через проводник , меняется по закону q(t)=sin(2t-10). Найти силу тока в момент времени t=5 cек.


2 вариант.

Задание 3. Сила тока в цепи переменного тока изменяется в зависимости от времени по закону I=0,2sin t. Найдите скорость изме-

нения силы тока в конце десятой секунды (I - в амперах, t - в секундах).


Задание 4:

Пусть Q (t) количество теплоты, которое необходимо для нагревания тела массой 1 кг от 00С до температуры t0 (по Цельсию), известно, что в диапазоне 00 - 950, формула Q (t) = 0,396t+2,08110-3t2-5,02410-7t3 дает хорошее приближение к истинному значению. Найдите, как зависит теплоёмкость воды от t.


Предлагается просмотреть презентацию, подготовленную в качестве домашнего задания II группой учащихся «Решение химических и биологических задач с помощью производной».




Задание 5. Царь зовет к себе Стрельца - удалого молодца. И дает ему поручение государственного значения: "Принеси-ка мне Стрелец 20 моль того - сего, сам не знаю я чего! Ночь даю тебе подумать, утром буду ждать доклад! Не смогешь - кого винить? Должен я тебя казнить. Запиши себе заданье, чтоб со страху не забыть". Сколько времени потребуется для получения 20 моль "того - сего, сам не знаю я чего" и чему будет равна скорость реакции в этот момент времени, если концентрация продукта реакции меняется по закону C=20e2-0,2t?


Предлагается просмотреть презентацию, подготовленную в качестве домашнего задания III группой учащихся «Решение задач с географическим, экономическим содержанием с помощью производной».

З адание 6. Объем продукции V, произведенный бригадой рабочих, задается уравнением

,

1 ≤ t ≤ 8, где t – рабочее время в часах. Вычислить производительность труда через час после начала работы и за час до ее оконч.ания.







Показывают, смотрят и комментируют презентацию. Записывают тему презентации и основные формулы в тетрадь


Все решают задачи в тетрадях, затем обсуждают решения в группе.


Ответ к Заданию 1:

Да, т.к. скорость через 7 сек. будет равна 6м/с (21,6 км/ч).





Ответ к Заданию 2:

Кинетическая энергия равна ≈2 000 000 Дж.

(1960592 Дж)



Решают задание своего варианта, затем проверяют работу соседа, заполняя лист оценивания. Два человека показывают решения у доски.


Ответ к Заданию 3(1 вариант): Сила тока равна 2 А



Ответ к Заданию 3(2 вариант): 0,01A/c







Формулируют ответ. Ответ к Заданию 4:

C (t) = Q / (t) = 0,396 + 4,16210 -3 t – 15,07210 -7 t2







Показывают, смотрят и комментируют презентацию. Записывают тему презентации и основные формулы в тетрадь


Все решают задачу в тетрадях, затем обсуждают решения в группе.


Ответ к Заданию 5:

Потребуется 10 сек., скорость будет равна -4 моль/сек.









Показывают, смотрят и комментируют презентацию. Записывают тему презентации и основные формулы в тетрадь


Все решают задачу в тетрадях, затем обсуждают решения в группе.

Решение: Производительность труда выражается формулой П(t)=V (t),



П(t) =


(ед/ч).
В заданные моменты времени
t1=1 и t2 = 8-1 = 7 имеем:
П(1) = 112,5 (ед/ч) и П(7) = 82,5 (ед/ч).
Итак, к концу рабочего дня производительность
существенно снижается.



Поощрительные высказывания







Оцениваются полученные результаты

















Оцениваются полученные результаты



















Вербальная оценка











Поощрительные высказывания







Оцениваются полученные результаты















Поощрительные высказывания







Оцениваются полученные результаты




4

Домашнее задание


2



Раздается в печатном виде




5


Итоги урока



3


Ц2







Предлагает подвести итоги.

Акцент на умениях, приобретенных за время изучения темы


Согласовывает и выставляет отметки




Участвуют в обсуждении итогов, подсчитывают свою отметку по листу самооценивания
















Просмотр содержимого документа
«приложение»

Вспомни!


Ф.И. ________________________________

Функция

Производная

kx+m



2x

C, c-const


 , x≠0



 , x0

xn, n≠0



sin x



1

ctg x



- sin x

kf(x)



f  (x)+g (x)

f(x)g(x)



f(kx+m)


Вспомни!


Ф.И. ________________________________

Функция

Производная

kx+m



2x

C, c-const


 , x≠0



 , x0

xn, n≠0



sin x



1

ctg x



- sin x

kf(x)



f  (x)+g (x)

f(x)g(x)



f(kx+m)






ДОМАШНЯЯ РАБОТА

1. Известно, что тело массой 5 кг движется прямолинейно по закону S(t)= t2+2. Найдите кинетическую энергию тела через 2 с после начала движения. (E=mv2/2).

2. Найдите силу F, действующую на материальную точку с массой 10 кг, движущуюся прямолинейно по закону S(t) = 2t3- t2 при t = 2с. (F=ma)

3. Маховик вращается вокруг оси по закону (t) = t4 – 1. Найдите его угловую скорость  в момент времени t и t=2 с.

4. При вращении проволочной рамки в однородном магнитном поле пронизывающий рамку магнитный поток изменяется в зависимости от времени по закону Ф = 10-2cos 10t. Написать формулу зависимости ЭДС (электродвижущая сила) от времени ε= ε(t).

5. Заряд q на пластинах конденсатора изменяется по закону

q(t) = 10 - 6cos 10 4t. Записать закон зависимости силы тока от времени I= I(t).





_____________________________________________________________________________________



ДОМАШНЯЯ РАБОТА

1. Известно, что тело массой 5 кг движется прямолинейно по закону S(t)= t2+2. Найдите кинетическую энергию тела через 2 с после начала движения. (E=mv2/2).

2. Найдите силу F, действующую на материальную точку с массой 10 кг, движущуюся прямолинейно по закону S(t) = 2t3- t2 при t = 2с. (F=ma)

3. Маховик вращается вокруг оси по закону (t) = t4 – 1. Найдите его угловую скорость  в момент времени t и t=2 с.

4. При вращении проволочной рамки в однородном магнитном поле пронизывающий рамку магнитный поток изменяется в зависимости от времени по закону Ф = 10-2cos 10t. Написать формулу зависимости ЭДС (электродвижущая сила) от времени ε= ε(t).

5. Заряд q на пластинах конденсатора изменяется по закону

q(t) = 10 - 6cos 10 4t. Записать закон зависимости силы тока от времени I= I(t).

- Найдите производные указанных функций:

  1. y=x2-7x+12

  2. y=3x5-2x2

  3. y=tg2xctg2x

  4. y=sin2x

  5. y=3(2x+4)2

  6. y=2sinx cosx

- Верно ли, что ускорение тела происходит по линейному закону:

  1. s(t)=2t4-3t3-5t2+t-8

  2. s(t)=-3t3-8t-15

- На рисунке изображён график функции f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции в точке.

- На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале (-6;8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=x-5 или совпадает с ней.

















Задание 1. Автомобиль приближается к мосту со скоростью 72 км/ч. У моста висит дорожный знак "36км/ч". За 7 сек до въезда на мост, водитель нажал на тормозную педаль. С разрешаемой ли скоростью автомобиль въехал на мост, если тормозной путь определяется формулой s=20t-t²

Задание 2. Высота ракеты меняется по закону S=100ln(t2+1). Найдите кинетическую энергию ракеты через 10 секунд после старта ,если масса ракеты 10 тонн.



1вариант.

Задание 3. Заряд, протекающий через проводник , меняется по закону q(t)=sin(2t-10). Найти силу тока в момент времени t=5 cек.


2 вариант.

Задание 3. Сила тока в цепи переменного тока изменяется в зависимости от времени по закону I=0,2sin  t . Найдите скорость изменения силы тока в конце десятой секунды (i - в амперах, t - в секундах).

__________________________________________________________________________________________________

Задание 4. Пусть Q (t) количество теплоты, которое необходимо для нагревания тела массой 1 кг от 00С до температуры t0 (по Цельсию), известно, что в диапазоне 00 до 950, формула Q (t) = 0,396t+2,08110-3t2-5,02410-7t3 дает хорошее приближение к истинному значению. Найдите, как зависит теплоёмкость воды от t.

___________________________________________________________________________


Задание 5. Царь зовет к себе Стрельца - удалого молодца. И дает ему поручение государственного значения: "Принеси-ка мне Стрелец 20 моль того - сего, сам не знаю я чего! Ночь даю тебе подумать, утром буду ждать доклад! Не смогешь - кого винить? Должен я тебя казнить. Запиши себе заданье, чтоб со страху не забыть". Сколько времени потребуется для получения 20 моль "того - сего, сам не знаю я чего" и чему будет равна скорость реакции в этот момент времени, если концентрация продукта реакции меняется по закону C=20e2-0,2t?


_________________________________________________________________________


Задание 6. Объем продукции V, произведенный бригадой рабочих, задается



уравнением , 1 ≤ t ≤ 8, где t – рабочее время в часах. Вычислить производительность труда через час после начала работы и за час до ее окончания.



Просмотр содержимого презентации
«Применение производной»

«…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…»  Н.И. Лобачевский

«…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…»

Н.И. Лобачевский

Мы изучаем производную. А так ли это важно в жизни?  «Дифференциальное исчисление- это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники.»

Мы изучаем производную. А так ли это важно в жизни?

«Дифференциальное исчисление- это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники.»

Применение производной  при решении  физических задач

Применение производной при решении физических задач

Рассмотрим два примера применения производной в физических задачах:

Рассмотрим два примера применения производной в физических задачах:

  • Механическое движение
  • Производная в электротехнике
Механическое движение Механическое движение - это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени .   Основной характеристикой механического движения служит скорость.

Механическое движение

Механическое движение - это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени .

Основной характеристикой механического движения служит скорость.

Пусть закон движения тела задан уравнением s = s (t). Скорость неравномерного движения  тела в данный момент времени равна производной пути по времени, т.е.   v=S ’ (t)

Пусть закон движения тела задан уравнением s = s (t). Скорость неравномерного движения тела в данный момент времени равна производной пути по времени, т.е. v=S (t)

Ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента.  a=S ’’ (t)

Ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента. a=S ’’ (t)

Производная в электротехнике В наших домах, на транспорте, на заводах: всюду работает электрический ток. Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц Количественной характеристикой электрического тока является сила тока

Производная в электротехнике

В наших домах, на транспорте, на заводах: всюду работает электрический ток.

Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц

Количественной характеристикой электрического тока является сила тока

В цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени  I = q  ’ ( t) В электротехнике в основном используется работа переменного тока Электрический ток, изменяющийся со временем, называют переменным Получение переменного электрического тока основано на законе электромагнитной индукции, формулировка которого содержит производную магнитного потока

В цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени

I = q ( t)

В электротехнике в основном используется работа переменного тока

Электрический ток, изменяющийся со временем, называют переменным

Получение переменного электрического тока основано на законе электромагнитной индукции, формулировка которого содержит производную магнитного потока

Применение производной при решении  физических задач

Применение производной при решении физических задач

Задача 4   Пусть Q (t) количество теплоты, которое необходимо для нагревания тела массой 1 кг от 0 0 С до температуры t 0 (по Цельсию), известно, что в диапазоне от 0 0 до 95 0 , формула  Q(t)=0,396t+2,081  10 -3 t 2 -5,024  10 -7 t 3   дает хорошее приближение к истинному значению. Найдите, как зависит теплоёмкость воды от t. Решение: C(t)=Q  (t)=0,396+4,162  10 -3 t-15,072  10 -7 t 2

Задача 4

Пусть Q (t) количество теплоты, которое необходимо для нагревания тела массой 1 кг от 0 0 С до температуры t 0 (по Цельсию), известно, что в диапазоне от 0 0 до 95 0 , формула

Q(t)=0,396t+2,081 10 -3 t 2 -5,024 10 -7 t 3 дает хорошее приближение к истинному значению. Найдите, как зависит теплоёмкость воды от t.

Решение:

C(t)=Q (t)=0,396+4,162 10 -3 t-15,072  10 -7 t 2

Применение производной в химии и биологии

Применение производной в химии и биологии

Введение  Одним из важнейших понятий математического анализа является производная функции. Производная характеризует скорость изменения функции по отношению к изменению независимой переменной. В геометрии производная характеризует крутизну графика, в механике – скорость неравномерного прямолинейного движения, в биологии – скорость размножения колонии микроорганизмов, в экономике – отзывчивость производственной функции (выход продукта на единицу затрат), в химии – скорость химической реакции.

Введение

Одним из важнейших понятий математического анализа является производная функции. Производная характеризует скорость изменения функции по отношению к изменению независимой переменной. В геометрии производная характеризует крутизну графика, в механике – скорость неравномерного прямолинейного движения, в биологии – скорость размножения колонии микроорганизмов, в экономике – отзывчивость производственной функции (выход продукта на единицу затрат), в химии – скорость химической реакции.

Биологический смысл производной  Пусть зависимость между числом особей популяции микроорганизмов у и временем t её размножения задана уравнением:  у = x ( t ). Пусть ∆ t - промежуток времени от некоторого начального значения t до t +∆ t . Тогда ∆ y=x ( t +∆ t )- x ( t ) - изменение числа особей организмов  за промежуток времени ∆ t . Отношение ∆ y /∆ t является средней скоростью размножения или, как принято говорить, средней производительностью жизнедеятельности популяции. Вычисляя производную, получаем y ‘= P ( t ) = x ‘( t ), или производительность жизнедеятельности популяции в момент времени t .

Биологический смысл производной

Пусть зависимость между числом особей популяции микроорганизмов у и временем t её размножения задана уравнением: у = x ( t ). Пусть ∆ t - промежуток времени от некоторого начального значения t до t +∆ t . Тогда ∆ y=x ( t +∆ t )- x ( t ) - изменение числа особей организмов за промежуток времени ∆ t . Отношение ∆ y /∆ t является средней скоростью размножения или, как принято говорить, средней производительностью жизнедеятельности популяции. Вычисляя производную, получаем y ‘= P ( t ) = x ‘( t ), или производительность жизнедеятельности популяции в момент времени t .

Что же такое популяция?  Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью  изолированных от других популяций, а также является элементарной  единицей эволюции.

Что же такое популяция?

Популяция это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.

Пример Пусть популяция бактерий в момент t (с) насчитывает x(t ) особей. x(t )=3000+100 t 2  . Найти скорость роста популяции:  а) в произвольный момент t ,  б) в момент t = 1 c .  Решение:   P = x’(t) = 200t;  P(1) = 200 ( ос/с).  Ответ: 200 ос/с.

Пример

Пусть популяция бактерий в момент t (с) насчитывает x(t ) особей. x(t )=3000+100 t 2 . Найти скорость роста популяции: а) в произвольный момент t , б) в момент t = 1 c .

Решение:

P = x’(t) = 200t;

P(1) = 200 ( ос/с).

Ответ: 200 ос/с.

Химический смысл производной  Пусть дана функция C = C ( t ),где C -количество некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию в момент времени t . Приращению времени ∆ t будет соответствовать приращение ∆ C величины C . Отношение ∆ C /∆ t - есть средняя скорость химической реакции за промежуток времени ∆ t . Предел этого отношения при стремлении ∆ t к нулю - есть скорость химической реакции в данный момент времени .   v (t) = C’ (t)

Химический смысл производной

Пусть дана функция C = C ( t ),где C -количество некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию в момент времени t . Приращению времени ∆ t будет соответствовать приращение ∆ C величины C . Отношение ∆ C /∆ t - есть средняя скорость химической реакции за промежуток времени ∆ t . Предел этого отношения при стремлении ∆ t к нулю - есть скорость химической реакции в данный момент времени .

v (t) = C’ (t)

Скорость химической  реакции – один из решающих  факторов, который нужно  учитывать во многих областях   научно-производственной деятельности. Например, инженерам-технологам при определении эффективности химических производств, химикам, разрабатывающим препараты для медицины и сельского хозяйства, а также врачам и агрономам, использующим эти препараты для лечения людей и для внесения их в почву. Одни реакции проходят практически мгновенно, другие идут очень медленно. В реальной жизни для решения производственных задач, в медицинской, сельскохозяйственной и химической промышленности важно знать скорости реакций химических веществ.

Скорость химической реакции – один из решающих факторов, который нужно учитывать во многих областях научно-производственной деятельности. Например, инженерам-технологам при определении эффективности химических производств, химикам, разрабатывающим препараты для медицины и сельского хозяйства, а также врачам и агрономам, использующим эти препараты для лечения людей и для внесения их в почву. Одни реакции проходят практически мгновенно, другие идут очень медленно. В реальной жизни для решения производственных задач, в медицинской, сельскохозяйственной и химической промышленности важно знать скорости реакций химических веществ.

Применение производной в химии и биологии v (t) = C’ (t)  Скорость химической реакции в данный момент времени есть производная концентрации реагирующего вещества по времени.   P ( t ) = x ‘( t ) Производительность жизнедеятельности популяции в момент времени t есть производная численности популяции по времени.

Применение производной в химии и биологии

v (t) = C’ (t) Скорость химической реакции в данный момент времени есть производная концентрации реагирующего вещества по времени.

P ( t ) = x ‘( t ) Производительность жизнедеятельности популяции в момент времени t есть производная численности популяции по времени.

ЗАДАНИЕ 5 Царь зовет к себе Стрельца - удалого молодца И дает ему поручение государственного значения: « Принеси-ка мне Стрелец 20 моль того – сего,  сам не знаю я чего! Ночь даю тебе подумать, утром буду ждать доклад! Не смогешь – кого винить? Должен я тебя казнить. Запиши себе заданье, чтоб со страху не забыть».

ЗАДАНИЕ 5

Царь зовет к себе Стрельца - удалого молодца

И дает ему поручение государственного значения:

« Принеси-ка мне Стрелец 20 моль того – сего,

сам не знаю я чего!

Ночь даю тебе подумать, утром буду ждать доклад!

Не смогешь – кого винить?

Должен я тебя казнить.

Запиши себе заданье, чтоб со

страху не забыть».

Сколько времени потребуется для получения 20 моль « того - сего, сам не знаю я чего »  и чему будет равна скорость реакции в этот момент времени , если концентрация продукта реакции меняется по закону       C =20 e 0,2 t-2 ?

Сколько времени потребуется для получения 20 моль

« того - сего, сам не знаю я чего » и чему будет равна скорость реакции в этот момент времени , если концентрация продукта реакции меняется по закону

C =20 e 0,2 t-2 ?

Применение производных в географии и экономике.

Применение производных в географии и экономике.

Производная в экономике.

Производная в экономике.

Производные применяются в экономике для получения так называемых предельных издержек, предельной выручки, предельной прибыли и т.п. Слово «предельный» в этих терминах означает производную, или скорость изменения. Следовательно, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) с течением времени или относительно другого исследуемого фактора.

Производные применяются в экономике для получения так называемых предельных издержек, предельной выручки, предельной прибыли и т.п. Слово «предельный» в этих терминах означает производную, или скорость изменения. Следовательно, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) с течением времени или относительно другого исследуемого фактора.

Экономический смысл производной. Пусть функция V = V(t)  выражает количество произведенной продукции V за время t . Найдем производительность труда в момент времени t o . За период времени от t o  до t o + Δ t  количество произведенной продукции изменится от значения V o =V( t o )  до значения V o + Δ V  = V( t o + Δ t) ; тогда средняя производительность труда за этот период времени  П ср = Δ V/ Δ t . Очевидно, что производительность труда в момент t o можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от t o  до   t o + Δ t  при Δ t→ 0 , т.е. П( t)=  .  Таким образом, экономический смысл производной заключается в том, что производная объема  произведенной продукции по времени V ’ (t)   есть производительность труда в момент t o :  П ( t ) = V ’ ( t )

Экономический смысл производной.

Пусть функция V = V(t) выражает количество произведенной продукции V за время t . Найдем производительность труда в момент времени t o . За период времени от t o до t o + Δ t количество произведенной продукции изменится от значения V o =V( t o ) до значения V o + Δ V = V( t o + Δ t) ; тогда средняя производительность труда за этот период времени

П ср = Δ V/ Δ t . Очевидно, что производительность труда в момент t o можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от t o до

t o + Δ t при Δ t→ 0 , т.е. П( t)= .

Таким образом, экономический смысл производной заключается в том, что производная объема произведенной продукции по времени V (t) есть производительность труда в момент t o :

П ( t ) = V ( t )

Таким образом, можно сделать вывод о том, что производная, являясь важным инструментом экономического анализа, позволяет нам:

Таким образом, можно сделать вывод о том, что производная, являясь важным инструментом экономического анализа, позволяет нам:

  • углубить геометрический и математический смысл экономических понятий;
  • выразить ряд экономических законов с помощью математических формул;
  •   расширить круг рассматриваемых при решении задач функций;
  •   решать многочисленные задачи по экономической теории.
Производная в географии.

Производная в географии.

Теория Томаса Мальтуса. Идея социологической модели Томаса Мальтуса состоит в том, что прирост населения пропорционален числу населения N(t) в данный момент времени t, N ’ (t)=kN(t) . Модель Мальтуса неплохо действовала для описания численности населения США с 1790 по 1860 годы. Ныне эта модель в большинстве стран не действует.

Теория Томаса Мальтуса.

Идея социологической модели Томаса Мальтуса состоит в том, что прирост населения пропорционален числу населения N(t) в данный момент времени t, N (t)=kN(t) . Модель Мальтуса неплохо действовала для описания численности населения США с 1790 по 1860 годы. Ныне эта модель в большинстве стран не действует.

Рост численности населения. Выведем формулу для вычисления прироста численности населения на ограниченной территории в момент времени t . Решение: 1) Пусть у=у( t ) - численность населения. 2) Рассмотрим прирост населения за  t=t-t 0 .  3)  y=ky  t , где к=к р – к с –коэффициент прироста (кр – коэффициент рождаемости, кс – коэффициент смертности). 4)  y/  t=ky . 5) При  t  0 получим lim  y/  t= у ’ .  у ’ =ку

Рост численности населения.

Выведем формулу для вычисления прироста численности населения на ограниченной территории в момент времени t .

Решение:

1) Пусть у=у( t ) - численность населения.

2) Рассмотрим прирост населения за t=t-t 0 .

3) y=ky t , где к=к р – к с –коэффициент прироста (кр – коэффициент рождаемости, кс – коэффициент смертности).

4) y/ t=ky .

5) При t 0 получим lim y/ t= у .

у =ку

Применение производных в географии и экономике. у ’ ( t )=ку (t) П ( t ) = V ’ ( t )  П рирост численности населения на ограниченной территории в момент времени t пропорционален  числу населения у=у( t )  .  Производительность труда в момент  t o есть производная объема  произведенной продукции по времени  V ’ (t) .

Применение производных в географии и экономике.

  • у ( t )=ку (t)
  • П ( t ) = V ( t )

П рирост численности населения на ограниченной территории в момент времени t пропорционален числу населения у=у( t ) .

Производительность труда в момент t o есть производная объема произведенной продукции по времени V (t) .

Задача 6  Объем продукции V , произведенный бригадой   рабочих, задается уравнением ,  1  ≤ t ≤ 8 , где t – рабочее время в часах. Вычислить производительность труда через час после начала работы и за час до ее окончания.    Решение: Производительность труда выражается формулой  П ( t ) = V ’ ( t ) , П( t) =-2.5t 2 +15t+100 (ед. / ч).   В заданные моменты времени t 1 =1 и t 2 = 8-1 = 7 имеем:  П(1) = 112,5 (ед.ч) и П(7) = 82,5 (ед.ч).  Итак, к концу рабочего дня производительность  существенно снижается.

Задача 6

Объем продукции V , произведенный бригадой рабочих, задается уравнением ,

1 ≤ t ≤ 8 , где t – рабочее время в часах. Вычислить производительность труда через час после начала работы и за час до ее окончания.

Решение: Производительность труда выражается формулой

П ( t ) = V ( t ) , П( t) =-2.5t 2 +15t+100 (ед. / ч). В заданные моменты времени t 1 =1 и t 2 = 8-1 = 7 имеем: П(1) = 112,5 (ед.ч) и П(7) = 82,5 (ед.ч). Итак, к концу рабочего дня производительность существенно снижается.

“ Музыка может возвышать или умиротворять        душу,  Живопись – радовать глаз,  Поэзия – пробуждать чувства,  Философия – удовлетворять потребности разума,  Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,  А математика способна достичь всех этих целей”. М орис Клайн.

“ Музыка может возвышать или умиротворять

душу,

Живопись – радовать глаз, Поэзия – пробуждать чувства, Философия – удовлетворять потребности разума, Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей, А математика способна достичь всех этих целей”.

М орис Клайн.

ЗАДАНИЕ   Старая сказка на новый лад      Укусила лиса сыр и …сломала клык. Обозлилась лиса и бросила кусок сыра в ворону: «Чтоб тебе!..» . Попала ли лиса в  ворону, если высота сыра,  брошенного вертикально вверх ,   меняется по закону     а ворона сидит на высоте 7метров?

ЗАДАНИЕ Старая сказка на новый лад Укусила лиса сыр и …сломала клык. Обозлилась лиса и бросила кусок сыра в ворону: «Чтоб тебе!..» . Попала ли лиса в ворону, если высота сыра, брошенного вертикально вверх , меняется по закону а ворона сидит на высоте 7метров?


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 11 класс

Автор: Матвеева Ольга Владиславовна

Дата: 01.02.2022

Номер свидетельства: 599347

Похожие файлы

object(ArrayObject)#863 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(166) "Проектная деятельность на уроках математики как средство саморазвития личности учащихся "
    ["seo_title"] => string(102) "proiektnaia-dieiatiel-nost-na-urokakh-matiematiki-kak-sriedstvo-samorazvitiia-lichnosti-uchashchikhsia"
    ["file_id"] => string(6) "239511"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "meropriyatia"
    ["date"] => string(10) "1444811930"
  }
}
object(ArrayObject)#885 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(88) "Информационныетехнологии на уроках математики "
    ["seo_title"] => string(52) "informatsionnyietiekhnologhii-na-urokakh-matiematiki"
    ["file_id"] => string(6) "211577"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1431632800"
  }
}
object(ArrayObject)#863 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(95) "Конспект урока по теме "Производная" с презентацией "
    ["seo_title"] => string(57) "konspiekt-uroka-po-tiemie-proizvodnaia-s-priezientatsiiei"
    ["file_id"] => string(6) "143009"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1418405746"
  }
}
object(ArrayObject)#885 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(111) "Информационная карта инновационного педагогического опыта "
    ["seo_title"] => string(67) "informatsionnaia-karta-innovatsionnogho-piedaghoghichieskogho-opyta"
    ["file_id"] => string(6) "175714"
    ["category_seo"] => string(13) "vsemUchitelam"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1424293732"
  }
}


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства