Конспект открытого урока по математике 10 класса "Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы"

Урок с элементами исследования "Применение производной для исследования функций

на монотонность и экстремумы"

Тип урока: Урок изучения нового материала с элементами исследования.

Форма урока: Урок-исследование.

Цель урока: Организация деятельности учащихся, направленная на овладение системой математических знаний и умений по теме «Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы», необходимых для решения задач ЕГЭ, применения в практической деятельности, продолжения образования.

Задачи:

1. Дать представление о связи свойств функции с её производной, учить чтению и анализу графиков функций.

2. Развивать умение анализировать, сопоставлять, сравнивать, формулировать выводы по результатам собственной деятельности.

3. Развивать навыки использования компьютера и мультимедийных учебных программ для организации собственной познавательной и исследовательской деятельности.

4. Развивать такие качества личности, как ясность и точность мысли, логическое мышление, алгоритмическая культура, интуиция, критичность.

5. Воспитывать средствами математики культуру личности: умения выслушать и принимать во внимание взгляды других людей, умение справляться с неопределённостью и сложностью.

Время реализации занятия: 40 мин.

Знания, умения, навыки, которые актуализируют,/приобретут,/закрепят/др. ученики в ходе урока:

1. Систематизации знаний табличных производных.

2. Формирование умений применять табличные производные;

3. умение извлекать необходимую информацию;

   • навыки пользоваться правилами дифференцирования;

   • умение работать в группе.

Необходимое оборудование и материалы: Доска, мультимедийная разработка урока, бланки листов для проведения контроля, звуковое сопровождение, проектор, презентация.

Дидактическое обеспечение мероприятия:

1. планы работы;

2. карточки с заданиями для групп.

Ход урока

1. Оргмомент

- Ребята, здравствуйте, садитесь!

- Сегодня у нас необычный урок, к нам приехали гости, посмотрите на них и улыбнитесь. Посмотрите друг на друга и тоже улыбнитесь, ведь веселому человеку легче добиться успеха. А успех нам необходим.

- И так начнем? Перед вами 3 карточки.

- Оцените, пожалуйста, своё психологическое и эмоциональное состояние в начале урока. Для этого поднимите карточку с одним из цветов.

• Красная – испытываете напряжение, тревогу, дискомфорт

• Жёлтая – неуверенность, что-то смущает.

• Зелёная – испытываете спокойствие, уверенность, вам комфортно.

Зелёный цвет: Влияет на сердечно-сосудистую и вегетативную нервную системы, сердцебиение, аритмию, снижает артериальное давление. Устраняет возбуждение, беспокойство, снимает эмоциональное напряжение. При отсутствии зелёного цвета повышается возбудимость, нервозность, раздражительность, усиливается злость, гнев, подозрительность.

Восточные мудрецы определяли его как символ юности и гармонии Природы.

– Мне нравится, что сегодня у Вас хорошее психологическое и эмоциональное состояние. Соберёмся с силами. В четыре приёма глубоко вдохнём воздух через нос и в пять приёмов с силой выдохнем, задувая воображаемую свечу.

Я бы хотела познакомить вас с тем, что нам предстоит сегодня выполнить:

1. Проверка домашнего задания

2. Устная работа

3. Изучение нового материала (исследовательская работа)

4. Обсуждение результатов (защита исследований)

5. Закрепление

6. Итог урока

7. Домашнее задание

2. Объявление темы и цели урока

- Ребята ни для кого не секрет, что каждая наука оперирует своей лексикой. Увлекшись изучением с вами последней темы по алгебре, я в беседе с учителем истории сказала: «Неважно сколько ученик знает, но важно, чтобы у него была положительная производная». Коллега не поняла меня. А вы можете прояснить мою фразу? (Это означает важно, чтобы скорость приращения знаний у ученика была положительна – это залог того, что его знания возрастут).

- Скажите на данный момент у вас положительная производная?

- Вот мы изучаем производную. Вы не задумывались над тем, а так ли это важно в жизни?

- Зачем она нужна?

- Где мы встречаемся с производной и используем её?

- Можно ли без неё обойтись в математике и не только?

- Как вы думаете, какова тема нашего урока? (изучить применение производной)

Откроем тетради, запишем число и тему сегодняшнего урока.
Тема урока «Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы»

Выдающийся русский математик и кораблестроитель академик Алексей Николаевич Крылов (1863-1945г.) однажды заметил, человек обращается к математике « не затем, чтобы любоваться неисчислимыми сокровищами, ему прежде всего нужно ознакомиться со столетиями испытанными инструментами и научиться ими правильно и искусно владеть».
С одним из таких инструментов мы уже знакомы – это производная. Мы сегодня сформируем начальное представление о приложениях производной в математике и в жизни, «откроем» зависимость между свойствами монотонности функции, экстремумами и значениями её производной; и рассмотрим применение производной для решения задач В8, В14 из материалов ЕГЭ.

1. Проверка домашнего задания

№ 777 Найдите значение производной функции в точке х₀

а) 2

б) -2

в) -2

г) 3 корень из 2

№ 823 Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х=а. Какие у вас получились уравнения касательных?

а) у =6х-9

б) у = - х + 2

в) у = 3х – 2

г) у = - 5х - 1

Карточки.

1. Укажите количество промежутков монотонности функции

(10)

1. На графике функции найдите промежутки убывания и в ответе укажите сумму длин этих промежутков (12)

1. На графике найдите промежутки возрастания и в ответе укажите сумму длин этих промежутков (11)

1. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=3t²+2t+27, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=2c. (14)

(10, 12, 11, 14)

- Расположите их в порядке возрастания: 10, 11, 12, 14

Меньшее из них 10 – является временем наибольшей работоспособности, а большее из них – 14- временем наибольшего утомления.

Факт: Работоспособность человека во время бодрствования изменяется волнообразно. Поэтому у человека в день два пика наибольшей трудоспособности 10-12 часов и 16-18 часов и один момент наибольшего утомления. Работоспособность начинает снижаться в 13 часов и к 14 часам её уже невозможно компенсировать волевым усилием. В течение недели так же отмечаются три этапа: понедельник – врабатывание; вторник, среда, четверг – устойчивая работоспособность; пятница, суббота – утомление (демонстрируется кривая работоспособности)

1. Устная работа. Так как у нас сейчас 10 часов, время наивысшей работоспособности, так используем его с пользой, получим знания, чтобы ваша производная была положительной всегда, и покажем истинную вашу красоту, не только внешнюю, но и внутреннюю.

2. Изучение нового материала

а) Постановка проблемы

(Задание В8 ЕГЭ по математике) По графику функции y=f ´(x) ответьте на вопросы: Сколько точек максимума имеет эта функция? Назовите точки минимума функции. Сколько промежутков возрастания у этой функции? Найдите длину большего промежутка убывания этой функции.

(По результатам работы на данном этапе урока учащиеся констатируют: задание для них является невыполнимым).

б) Включение в деятельность

- Перед нами возникает проблема (задача). Мы не можем ответить на данные вопросы. -Что же делать, как нам выполнить это задание? (нам нужно разработать правило, с помощью которого мы сможем указать промежутки возрастания и убывания, а также узнать, что такое точки экстремума и как их определять, используя график производной функции).

в) Предварительная работа

Посмотрите на слайд, здесь представлен график некоторой возрастающей дифференцируемой функции. Проведем касательные к графику функции в точках х₁ и х₂.

- Что общего у построенных прямых? (острый угол образуется с осью х, то есть у прямых положительный угловой коэффициент).

- Чему равен угловой коэффициент касательной? (значению производной в точке х₀ или в абсциссе точки касания)

- Таким образом, f ‘ (x₁)0 и , f ‘ (x₂)0.

- Как вы думаете, чему равна производная в точке х₃? (=0)

(Слайд) Получаем: В любой точке х из области определения возрастающей дифференцируемой функции:

f ’ (x) ≥ 0

- Рассмотрим ещё один график, но убывающей дифференцируемой функции. Проведём касательные к графику в точках х₁ и х₂.

- Что общего у построенных прямых? (тупой угол образуется с осью х, то есть у прямых отрицательный угловой коэффициент).

- Чему равен угловой коэффициент касательной? (значению производной в точке х₀ или в абсциссе точки касания)

- Таким образом, f ‘ (x₁)f ‘ (x₂)

- Как вы думаете, чему равна производная в точке х₃? (=0)

Таким образом, получаем: В любой точке х из области определения убывающей дифференцируемой функции:

f ’ (x) ≤ 0.

- Эти рассуждения говорят о том, что между характером монотонности функции и знаком её производной есть какая-то определенная связь.

- Попробуем установить или предсказать связь между характером монотонности функции, точками экстремума и знаками её производной, как например поэт Андрей Белый предсказал вступление в атомный век!

«Мир – рвался в опытах Кюри
Атомной, лопнувшею бомбой
На электронные струи
Невоплощённой гекатобомбой ...»

- Знакомы ли вам эти строки? Эти строки в 1921 году написал Андрей Белый. Это всего за пятнадцать лет до того, как учёные начали работать над созданием бомбы!

- Для этого проведём исследование.

г) Исследовательская работа

«Начинать исследования можно по-разному... Все равно начало почти всегда оказывается весьма несовершенной, нередко безуспешной попыткой. Есть истины, как страны, наиболее удобный путь, к которым становится известным лишь после того, как мы испробуем все пути. Кому-то приходится, рискуя собой, сходить с проторенной дороги, чтобы указать другим правильный путь... На пути к истине мы почти всегда обречены, совершать ошибки» так говорил французский философ-материалист, атеист Дени Дидро (1713 – 1784) – современник Декарта, Лейбница, личный библиотекарь Екатерины Великой.

-Нам нужно создать 3 группы, которые составят так называемые «математические портреты» функции и её производной, то есть «откроют» зависимость между свойствами монотонности функции, экстремумами и знаками производной.

(рассадить за компьютеры)

Для каждой группы предложен план проведения практической работы и каждая группа по окончанию должна сделать выводы по своему вопросу и нам всем объяснить материал так, чтобы все его поняли.

1 группа.

Установите зависимость между свойствами монотонности функции и знаками производной (укажите промежутки монотонности (возрастание, убывание))

1 группа
функция	производная
y=x4-2x2-3

1. Откройте программу Графер.

2. Постройте график функции.

3. Найдите производную данной функции.

4. Создайте новый документ и в нем постройте график производной этой функции.

5. Рассмотрите внимательно графики, сформулируйте гипотезу о связи между характером монотонности функции и знаком её производной.

6. Для этого ответьте на следующие вопросы:

а) укажите промежутки убывания функции;

б) названные промежутки рассмотрите на графике производной функции;

в) где они расположены выше или ниже оси х;

г) укажите промежутки возрастания функции;

д) названные промежутки рассмотрите на графике производной;

е) где они расположены выше или ниже оси х?

1. Сделайте вывод: попробуйте описать этот факт, используя математические термины:

Вывод: 1) Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f’(x)≥0, то функция y = f(x) возрастает на промежутке Х.

2) Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f’(x)≤0, то функция y = f(x) убывает на промежутке Х.

2 группа.

На графике функции и графике производной функции установите связь между промежутками монотонности и знаками производной, укажите точки экстремума(точки минимума и максимума)

2 группа
Функция	Производная
y=x3+3x2-1

1. Откройте программу Графер.

2. Постройте график функции.

3. Найдите производную данной функции.

4. Создайте новый документ и в нем постройте график производной этой функции.

5. Рассмотрите график, попытайтесь сформулировать гипотезу о точках экстремума графика производной функции.

Используя тот факт, что на промежутке (-∞; -1) и (0;+∞) график производной функции возрастает, то есть f ’(x)0, он расположен выше оси х.

На промежутке (-1; 0) график производной функции убывает, то есть f ’(x)

1. Попробуйте описать тот факт, какие точки называются точками максимума и минимума, и как на графике производной определить точки максимума и минимума, используя математические термины.

2. Для этого ответьте на следующие вопросы:

а) в какой точке х функция имеет максимальное значение?

б) Изменяется ли характер монотонности графика функции при переходе через точку х= -2?

в) что происходит с графиком функции слева от точки -2, справа от точки -2? (возрастает, убывает)

Проверьте, выполняется ли условие, что f(x)f(x₀) на этом промежутке. Если условие выполняется, то точка называется точкой максимума

г) найдите эту точку на графике производной функции

д) Изменяется ли характер монотонности графика функции при переходе через эту точку? (да)

е) Изменяются ли знаки производной при переходе через эту точку?(да)

ж) Какой знак имеет производная слева от этой точки?(+)

з) Какой знак имеет производная справа от этой точки?(-)

Вывод: Если в точке х_о производная меняет знак с плюса на минус, то х_о является точкой максимума.

Таким образом, точка х= -2 является точкой максимума функции.

а) в какой точке х функция имеет минимальное значение

б) Изменяется ли характер монотонности графика функции при переходе через эту точку?

в) что происходит с графиком функции слева от точки 0, справа от точки 0?(убывает, возрастает)

Проверьте, выполняется ли условие, что f(x)f(x₀) на этом промежутке. Если условие выполняется, то точка называется точкой минимума.

г) найдите эту точку на графике производной функции

д) Изменяется ли характер монотонности графика функции при переходе через эту точку? (да)

е) Изменяются ли знаки производной при переходе через эту точку?(да)

ж) Какой знак имеет производная слева от этой точки?(-)

з) Какой знак имеет производная справа от этой точки?(+)

Вывод: Если в точке х_о производная меняет знак с - на +, то х_о является точкой минимума.

Таким образом, точка х= 0 является точкой минимума функции

д) Есть ли еще промежутки на графике, где производная меняет знак с + на – или с – на +?

Вывод: больше нет точек максимума и минимума

е) Точки максимума и минимума называются точками экстремума, экстремум в переводе означает «крайний»

Вывод: 1) точка х= -2 является точкой максимума функции - при переходе через неё меняется знак производной с + на -, это крайняя точка из промежутка возрастания.

2) точка х= 0 является точкой минимума функции и при переходе через неё меняется знак производной с - на +, это крайняя точка из промежутка убывания.

1. Сделайте вывод: попробуйте описать этот факт, используя математические термины:

Если слева от точки f’(x) или крайняя точка из промежутка убывания является точкой минимума.

Если слева от точки f ’(x)0, то эта точка является точкой максимума или крайняя точка из промежутка возрастания является точкой максимума.

3 группа.

С помощью производной исследуйте функцию на монотонность (возрастания и убывания) и экстремумы (точки минимума и максимума)

3 группа
Функция	Производная
Y=x3 – 9x

1. Откройте программу Графер.

2. Постройте график функции.

3. Найдите производную данной функции.

4. В этой же системе координат постройте график производной данной функции.

5. Рассмотрите внимательно графики, попытайтесь назвать промежутки возрастания и убывания функции, назовите точки экстремума.

На промежутке (-∞; ≈-1,7) и (приблизительно 1,7;+∞) график функции возрастает.

Соответственно на этих же промежутках возрастает функция на графике производной, то есть f ’(x)0, он расположен выше оси х.

На промежутке (≈ -1,7; ≈1,7) график функции убывает.

Соответственно на этом же промежутке убывает и график производной функции, то есть f ’(x)

Точки, в которых производная меняет знак с + на – являются точками максимума, а точки, в которых производная меняет знак с – на + являются точками минимума.

Таким образом: На промежутке (-∞; ≈-1,7) и (≈1,7;+∞) функция возрастает, а на промежутке (≈-1,7; ≈1,7) функция убывает.

Точка максимума ≈ -1,7

Точка минимума ≈ 1,7

Был предложен алгоритм нахождения точек экстремума и промежутков возрастания, но расписан не по порядку, ваша задача была составить его в правильном порядке (напечатать на листах отдельно и по одному шагу по порядку крепить на доске):

1. Сделать выводы о монотонности функции и о её точках экстремума.

2. Найти точки, в которых производная равна 0 (стационарные).

3. Найти производную функции y=f(x).

4. Отметить эти точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.

6.Обсуждение результатов деятельности учащихся (защита результатов исследований) - На доске запишите решение вашей задачи аналитическим методом.

Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции y=x³ – 9x.

1. Найти производную функции y=f(x).

2. Найти точки, в которых производная функции равна 0.

3. Отметить эти точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.

4. Сделать выводы о монотонности функции и о её точках экстремума.

Точки, в которых f ’(x)=0 или не существует, называются критическими для функции f(x).

ФИЗМИНУТКА

- Знаете ли вы, что такое «царственная осанка»?

- Попробуем принять царственную позу: спина прямая, мышцы головы без напряжения, выражение лица очень значительное: ведь вы знаете такое количество табличных производных, правила дифференцирования, умеете составлять уравнения касательных, которое не по силам даже царственным особам. Очень быстро активизируем свой мозг. Для этого интенсивно промассажируем межбровную точку: указательным пальцем правой руки делаем 5 круговых движений в одну сторону и в другую. Повторим это 3 раза

- Каждая группа у доски защищает свой результат исследования.– это задание В8 материалов ЕГЭ. (1, 2 группа защищают свои результаты)

- В задании В14 материалов ЕГЭ нужно найти точки экстремума, но графика функции не предлагается. Как мы их будем искать? Об этом нам расскажет 3 группа.

Группа учащихся пришла к выводу, что промежутки монотонности и точки экстремума не всегда можно определить точно, используя графический метод. Разрешить проблему можно, применяя аналитический метод и используя производную. Найдем точки экстремума предложенной функции аналитическим методом, используя производную.

- Для того, чтобы исследовать функцию на монотонность и экстремумы, необязательно строить график производной, достаточно определить знаки производной на промежутках, на которые стационарные точки разбивают область определения функции. Использование аналитического способа поможет вам быть точными.

7. Закрепление

Откроем учебник на странице 135 № 865 (в).(Один человек у доски, а остальные в тетрадях, по алгоритму)

Каждый сегодня на уроке занимался исследовательской деятельностью, создавая свой интеллектуальный продукт. Дома Ира дополнительно занималась исследованием, выясняла, где можно ещё применять производную кроме уроков математики? Удалось ли Ире убедиться в том, что производную можно применить не только на уроках математики? Ира, пожалуйста, убеди нас всех в этом. (защита исследовательской работы).

Скажите, скорость приращения знаний у вас сегодня на уроке положительна? Чтобы приращение ваших знаний по теме было положительным, постарайтесь выполнять максимально посильную для себя работу.

8.Итог урока

Итак: наш урок подходит к концу Сегодня на уроке мы учились определять промежутки монотонности и точки экстремума функции по графику функции и графику её производной. Сделали вывод о том, что не всегда удобно использовать графический метод для нахождения промежутков монотонности и точек экстремума. Вывели алгоритм, при помощи которого можно находить промежутки возрастания и убывания функции и точки максимума и минимума аналитически. У каждого человека есть определенный кругозор. Когда этот кругозор сужается до бесконечности малого, то он обращается в точку. Тогда человек говорит, что это есть его точка зрения. Выскажите, пожалуйста, свою точку зрения по нашему сегодняшнему уроку:

- понравился ли вам сегодняшний урок?

- какой момент был самым интересным на уроке?

- какой момент был самым трудным?

- все ли поняли тему урока?

Каждый прикрепите к доске звезду такого цвета, которая соответствует вашим сегодняшним знаниям на уроке. (Отлично изучил тему. Были пробелы, но я их решил самостоятельно. Были пробелы, но я их решил с помощью группы. Проблемы не решены.)

- Однажды Морис Клайн американский математик сказал:

«Музыка может возвышать или умиротворять душу,

живопись – радовать глаз,

поэзия – пробуждать чувства,

философия – удовлетворять потребности разума,

инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,

а математика способна достичь всех этих целей!»

9.Домашнее задание

1. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники, и вы выбирая область деятельности будете знать, что можно применить производную для решения какого-то вопроса. Подготовить сообщение о применении производной в географии и химии. (2 человека)

2. На сайте школы на странице Выпускникам выложены материалы для подготовки к ЕГЭ. Ваша задача – выполнить Задание В8 из Рабочей тетради применение производной (ФГОС) - 5 любых задач.

3. На сайте http://mathege.ru/ открытый банк заданий по математике просмотреть все задания В8 с применением производной, и выяснить какие задания вызывают затруднения и их выписать.

4. Стр 182 параграф 35, 867, 883, опорный конспект

5. Задания по выбору: на оценку 3, 4, 5:

Бланк №1.(оценка 3)

1. Найдите промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции .

Бланк №2. (оценка 4) Заполните таблицу

у .

1. D(f)=R, f(x) непрерывна на D(f).

2. D() = D(f) = R

3. Критические точки: х = -1, х = 0, х = 1.

4. Таблица

x
f’(x)
f(x)

Бланк №3. (оценка 5) Исследуйте функцию

1. D(f)=

2.

3. Критические точки:

4. Таблица

x
f’(x)
f(x)