Презентация к уроку "Квадратичная функция, ее свойства и график"

Определение квадратичной функции

Квадратичной функцией называется функция , которую можно задать формулой вида :

y= ax 2 +bx + c

где: a, b, c – числа

Х – независимая переменная

а 0

А ТЕПЕРЬ НЕБОЛЬШОЙ ТЕСТ

• А ТЕПЕРЬ НЕБОЛЬШОЙ ТЕСТ

Определить, какие из данных функций являются квадратичными :

у = 6х 2 – 1

у = 3х 2 + 8х

у = -2х + 5

у = -(3х + 2) 2 + 5

у = 14х 3 + 3х 2 - 4

у= 2х 2 + 3х - 5

у = х 2 – 7х + 2

у = -3х 4 + 5х 2 - 8

График любой квадратичной функции – парабола.

1. Найти координаты вершины параболы, построить на координатной плоскости соответствующую точку, провести ось симметрии.

2. Определить направление ветвей параболы.

3. Найти координаты еще нескольких точек, принадлежащих искомому графику ( в частности, координаты точки пересечения параболы с осью у и нули функции, если они существуют).

4. Отметить на координатной плоскости найденные точки и соединить их плавной линией.

у

х

Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена ах 2 + bх + с

ах 2 + bx + с = а (х 2 + x ) + с =

= а + с =

= а + с = а

• Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена ах 2 + bх + с ах 2 + bx + с = а (х 2 + x ) + с = = а + с = = а + с = а
• Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена ах 2 + bх + с ах 2 + bx + с = а (х 2 + x ) + с = = а + с = = а + с = а
• Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена ах 2 + bх + с ах 2 + bx + с = а (х 2 + x ) + с = = а + с = = а + с = а

5

Нам удалось преобразовать квадратный трехчлен к приведенному виду у = а ( х – x 0 ) 2 + y 0 ,

Теперь если , то получаем ,

чтобы построить график функции у = ах 2 + bx + с ,

надо выполнить параллельный перенос параболы у = ах 2 , чтобы вершина оказалась в точке ( x 0 ; y 0 )

-

Графиком квадратичной функции

у = ах 2 + b х + с является парабола , которая получается из параболы

у = ах 2 параллельным переносом .

.

Вершина параболы - ( х 0 ; у о ) ,

где : х о = - у 0 =

Осью параболы будет прямая

х = -

5

0 - Множество значений при a Многие свойства квадратичной функции зависят от значения дискриминанта ." width="640"

Функция непрерывна

Множество значений при a0 -

Множество значений при a

Многие свойства квадратичной функции зависят от значения дискриминанта .

Дискриминантом квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 называется выражение

b 2 – 4ac

Его обозначают буквой D , т.е. D= b 2 – 4ac .

Возможны три случая:

• D  0
• D  0
• D  0

• если дискриминант больше нуля, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках,

• если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси абсцисс,

• если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось абсцисс,
• абсцисса вершины параболы равна

-

ветви параболы направлены вверх ,

При

у

у

При

ветви параболы направлены вниз

f(x 0 )

х

х

0 при х 4 f(x)

Ось симметрии

Функция возрастает в промежутке [ +3; + )

Функция убывает в промежутке ( - ;+3]

Наименьшее значение функции равно -1

Наибольшего значения функции не существует

f(x) 0 при х 4

f(x)