Наглядные материалы для урока "Квадратичная функция"

Квадратичная функция , её свойства и график

Парабола – график квадратичной функции

Вершина параболы – точка с координатой (0 ; 0)

Ось симметрии параболы – ось ординат (ось Оу)

k 0 ⇒ ветви параболы направлены вверх

k ⇒ ветви параболы направлены вниз

График функции симметричен графику функции относительно оси абсцисс (оси Ох)

Свойства квадратичной функции

Квадратичная функция , её свойства и график

Парабола – график квадратичной функции

Вершина параболы – точка с координатой (0 ; 0)

Ось симметрии параболы – ось ординат (ось Оу)

k 0 ⇒ ветви параболы направлены вверх

k ⇒ ветви параболы направлены вниз

График функции симметричен графику функции относительно оси абсцисс (оси Ох)

Свойства квадратичной функции

Квадратичная функция y = kx 2 , её свойства и график

Автор: учитель математики Д.И. Мотырев

y = 0,5 x 2

y = 2 x 2

4

-4

2

2

-1

-1

1,5

-2

-2

1

1

-1,5

0

0

x

x

y

y

8

2

8

2

0,5

0,5

8

4,5

2

8

2

4,5

0

0

y

y

8

8

y = 0,5 x 2

y = 2 x 2

4,5

2

2

0,5

x

x

-1,5

1,5

0

0

2

2

-2

-2

-1

-4

-1

1

1

4

y = 2 x 2

y = 0,5 x 2

у = kx 2 – квадратичная функция, график - парабола

Как зависит парабола от коэффициента k?

y = 10 x 2

y = 2 x 2

y = 0,5 x 2

y = 0,1 x 2

2

2

-1

-1

1,5

-2

-2

1

1

-1,5

0

0

x

y

y = -2 x 2

-8

-2

-4,5

-8

-2

-4,5

0

0

y

Вывод:

график функции

y= - f(x) симметричен

графику функции

y= f(x) относительно

оси абсцисс

y = 2 x 2

0

-1

1

2

-2

x

-2

-4,5

y = -2 x 2

-8

0 ⇒ ветви параболы направлены вверх x y k ⇒ ветви параболы направлены вниз x" width="640"

y

k 0 ⇒ ветви параболы

направлены вверх

x

y

k ⇒ ветви параболы

направлены вниз

x

0 y y x x D(y) = ( - ∞; +∞ )" width="640"

Свойства функции y = kx 2

1. Область определения

k 0

k 0

y

y

x

x

D(y) = ( - ∞; +∞ )

0 y y x x Функция непрерывна" width="640"

Свойства функции y = kx 2

2. Непрерывность функции

k 0

k 0

y

y

x

x

Функция непрерывна

0 y y 0 x 0 x Функция убывает при х  0 Функция возрастает при х  0 Функция возрастает при х  0 Функция убывает при х  0" width="640"

Свойства функции y = kx 2

3. Монотонность функции

k 0

k 0

y

y

0

x

0

x

Функция убывает при х  0

Функция возрастает при х  0

Функция возрастает при х  0

Функция убывает при х  0

0 y y x x Функция ограничена снизу Функция не ограничена снизу и не ограничена сверху и ограничена сверху" width="640"

Свойства функции y = kx 2

4. Ограниченность функции

k 0

k 0

y

y

x

x

Функция ограничена снизу

Функция не ограничена снизу

и не ограничена сверху

и ограничена сверху

0 y y x x у наиб не существует у наиб = 0 у наим = 0 у наим не существует" width="640"

Свойства функции y = kx 2

5. Наибольшее и наименьшие

значения функции

k 0

k 0

y

y

x

x

у наиб не существует

у наиб = 0

у наим = 0

у наим не существует

0 y y 0 x x 0 Е(y) = ( -∞; 0] Е(y) = [ 0; +∞)" width="640"

Свойства функции y = kx 2

6. Область значений функции

k 0

k 0

y

y

0

x

x

0

Е(y) = ( -∞; 0]

Е(y) = [ 0; +∞)

0 y y 0 x график выше отрезка график выше отрезка график ниже отрезка график ниже отрезка x 0 Функция выпукла вверх Функция выпукла вниз" width="640"

Свойства функции y = kx 2

7. Выпуклость функции

k 0

k 0

y

y

0

x

график выше

отрезка

график выше

отрезка

график ниже

отрезка

график ниже

отрезка

x

0

Функция выпукла вверх

Функция выпукла вниз

Решение:

-4  [ -4 ; 0 ] ⇒ f (-4) = -0,5 ∙ (-4) 2 = -0,5 ∙ 16 = - 8

-2  [ -4 ; 0 ] ⇒ f (-2) = -0,5 ∙ (-2) 2 = -0,5 ∙ 4 = - 2

0  [ -4 ; 0 ] ⇒ f (0) = -0,5 ∙ 0 2 = -0,5 ∙ 0 = 0

 ( 0 ; 1 ] ⇒ f ( ) = + 1 = 1,5

 ( 1 ; 2 ] ⇒ f ( ) = 2 ∙ = 2 ∙ 2 = 4

2  ( 1 ; 2 ] ⇒ f (2) = 2 ∙ 2 2 = 2 ∙ 4 = 8

3  D ( f ) ⇒ f (3) нельзя вычислить (задание некорректно)

y

8

2

1

-4

-2

x

0

1

2

-2

-8

Свойства функции:

y

1. Область определения

7. Выпуклость функции

8

D( f ) = [ - 4 ; 2 ]

При х  [ - 4 ; 0 ] функция

выпукла вверх

2. Непрерывность функции

При х  ( 0 ; 1 ] функция

не выпукла

Функция имеет разрыв при х = 0

3. Монотонность функции

2

При х  [ 1 ; 2 ] функция

выпукла вниз

Функция возрастает на D( f )

1

4. Ограниченность функции

x

-4

0

1

2

Функция ограничена снизу и сверху

5. Наибольшее и наименьшее

значения функции

= - 8

у min = у(-4)

у max = у(2)

= 8

6. Область значений функции

E( f ) = [ - 8 ; 0 ]  ( 1 ; 8 ]

-8