kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Презентация на тему "Определение производной"

Нажмите, чтобы узнать подробности

Данная презентация рассказывает на примерах понятие производной функции.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Презентация на тему "Определение производной"»

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ   1. Задачи, приводящие к понятию производной

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

1. Задачи, приводящие к понятию производной

∆ f = f(x 0 +∆x)-f(x 0 ) (2) Приращение функции и приращение аргумента y приращение аргумента: y=f(x) ∆ х = х - х 0  (1) f(x)=f(x 0 + ∆x) Приращение функции : ∆ f f(x 0 ) ∆ f = f(x)-f(x 0 ) (3) x =x 0 + ∆x x 0 x Дана функция f(x) ∆ x значение х равно х 0 +∆х

f = f(x 0 +∆x)-f(x 0 ) (2)

Приращение функции и приращение аргумента

y

приращение аргумента:

y=f(x)

х = х - х 0 (1)

f(x)=f(x 0 + ∆x)

Приращение функции :

f

f(x 0 )

f = f(x)-f(x 0 ) (3)

x

=x 0 + ∆x

x 0

x

Дана функция f(x)

x

значение х равно х 0 +∆х

Задача 1 (о скорости движения).

Задача 1 (о скорости движения).

  • По прямой, на которой заданы начало отсчета, единица измерения (метр) и направление, движется некоторое тело (материальная точка).
  • Закон движения задан формулой s=s (t), где t — время (в секундах), s (t) — положение тела на прямой (координата движущейся материальной точки) в момент времени t по отношению к началу отсчета (в метрах).
  • Найти скорость движения тела в момент времени t (в м/с).
Предположим, что в момент времени t тело находилось в точке М пройдя путь от начала движения ОМ = s{t). Дадим аргументу t приращение ∆t и рассмотрим момент времени t+∆t Координата материальной точки стала другой, тело в этот момент будет находиться в точке P : OP=s(t+∆t) Значит, за ∆t секунд тело переместилось из точки М в точку Р, т.е. прошло путь МР. Имеем: MP=OP-OM=s(t+∆t)-s(t)=∆s  Полученную разность мы назвали приращением функции. Путь ∆s тело прошло за ∆t секунд.  Нетрудно найти среднюю скорость движения тела за промежуток времени [t;t+∆t] :    =  А что такое скорость v (t) в момент времени t (ее называют иногда мгновенной скоростью)? Можно сказать так: это средняя скорость движения  за промежуток времени [t;t+∆t] при условии , что ∆t выбирается все меньше и меньше; точнее: иными словами, при условии, что ∆t→0.Это значит , что    Подводя итог решению задачи 1, получаем:

Предположим, что в момент времени t тело находилось в точке М

пройдя путь от начала движения ОМ = s{t). Дадим аргументу t

приращение ∆t и рассмотрим момент времени t+∆t Координата

материальной точки стала другой, тело в этот момент будет

находиться в точке P : OP=s(t+∆t) Значит, за ∆t секунд тело переместилось из точки М в точку Р, т.е. прошло путь МР. Имеем:

MP=OP-OM=s(t+∆t)-s(t)=∆s Полученную разность мы назвали приращением функции.

Путь ∆s тело прошло за ∆t секунд.

Нетрудно найти среднюю скорость движения тела за промежуток времени [t;t+∆t] :

=

А что такое скорость v (t) в момент времени t (ее называют иногда

мгновенной скоростью)? Можно сказать так: это средняя скорость движения

за промежуток времени [t;t+∆t] при условии , что ∆t выбирается все меньше и

меньше; точнее: иными словами, при условии, что ∆t→0.Это значит , что

Подводя итог решению задачи 1, получаем:

Задача 2 Поднимем камешек и затем из состояния покоя отпустим его. Движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v постепенно возрастает. Но как именно выглядит зависимость v(t) ?

Задача 2

Поднимем камешек и затем из состояния покоя отпустим его. Движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v постепенно возрастает. Но как именно выглядит зависимость v(t) ?

Фиксируем момент t , в который мы хотим знать значение скорости v(t) . Пусть h – небольшой промежуток времени, прошедший от момента t . За это время падающее тело пройдёт путь, равный s(t+h)-s(t). Если промежуток времени h очень мал, то приближённо  s(t+h)-s(t) ≈v(t)∙h, или , причём  последнее приближённое равенство тем точнее, чем меньше h . Значит величину v(t) скорости в момент t можно рассматривать как предел , к которому стремится отношение, выражающее среднюю скорость на интервале времени от момента t до момента t+h . Сказанное записывают в виде

Фиксируем момент t , в который мы хотим знать значение скорости v(t) . Пусть h – небольшой промежуток времени, прошедший от момента t . За это время падающее тело пройдёт путь, равный s(t+h)-s(t).

Если промежуток времени h очень мал, то приближённо

s(t+h)-s(t) ≈v(t)∙h, или , причём

последнее приближённое равенство тем точнее, чем меньше h . Значит величину v(t) скорости в момент t можно рассматривать как предел , к которому стремится отношение, выражающее среднюю скорость на интервале времени от момента t до момента t+h .

Сказанное записывают в виде

Тема: Задача, приводимая к понятию “производная” Прямая, проходящая через точку М 0 (х 0; f(х 0 )), с отрезком  которой почти сливается график функции f(х),называют  касательной к графику в точке х 0     y M 0 f(x 0 ) X 0 x 0

Тема: Задача, приводимая к понятию “производная”

Прямая, проходящая через точку М 0 0; f(х 0 )), с отрезком которой почти сливается график функции f(х),называют касательной к графику в точке х 0

y

M 0

f(x 0 )

X

0

x 0

Задача: Определить положение касательной (tg φ) Пусть дан график функции f(х) и касательная, проходящая через точку М 0 ,которая образует с положительным направлением оси ОХ угол φ у Будем перемещать точку М вдоль графика, приближая её к точке М 0. Соответственно будет меняться положение секущей ММ 0 Отметим точку М, координаты которой рассмотрим как приращение координат точки М 0 f(x) =f(x 0 +∆x) М Через точки М и М 0 проведём секущую, которая образует с осью ОХ угол  А  к какому углу  будет стремиться угол  ? К чему будет стремиться приращение аргумента? При этом координата х точки М будет стремиться к х 0 ∆ f М 0 f(x 0 )  х φ х 0 0 х =x 0 + ∆x ∆ x Секущая , поворачиваясь вокруг точки М0, приближается к положению касательной  Предельным положением секущей МоМ, когда М неограниченно приближается к Мо, является касательная

Задача: Определить положение касательной (tg φ)

Пусть дан график функции f(х) и касательная, проходящая через точку М 0 ,которая образует с положительным направлением оси ОХ угол φ

у

Будем перемещать точку М вдоль графика, приближая её к точке М 0. Соответственно будет меняться положение секущей ММ 0

Отметим точку М, координаты которой рассмотрим как приращение координат точки М 0

f(x)

=f(x 0 +∆x)

М

Через точки М и М 0 проведём секущую, которая образует с осью ОХ угол

А к какому углу будет стремиться угол ?

К чему будет стремиться приращение аргумента?

При этом координата х точки М будет стремиться к х 0

f

М 0

f(x 0 )

х

φ

х 0

0

х

=x 0 + ∆x

x

Секущая , поворачиваясь вокруг точки М0,

приближается к положению касательной

Предельным положением секущей МоМ,

когда М неограниченно приближается к Мо, является касательная

Задача о касательной к графику функции y А В y = f(x) М(х ,у) ∆ f(x) = f(x) - f(x 0 ) М 0 (х 0 ,у 0 ) С ∆ х=х-х 0 β α x 0 x x

Задача о касательной к графику функции

y

А

В

y = f(x)

М(х ,у)

f(x) = f(x) - f(x 0 )

М 0 0 0 )

С

х=х-х 0

β

α

x 0

x

x

Задача о мгновенной величине тока Обозначим через q = q(t) количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время t . Пусть Δt – некоторый промежуток времени, Δq = q(t+Δt) – q(t) – количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени от момента t до момента t + Δt. Тогда отношение  называют средней силой тока. Мгновенной силой тока в момент времени t называется предел отношения приращения количества электричества Δq ко времени Δt , при условии, что Δt→0 .

Задача о мгновенной величине тока

Обозначим через q = q(t) количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время t .

Пусть Δt – некоторый промежуток времени, Δq = q(t+Δt) – q(t) – количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени от момента t до момента t + Δt. Тогда отношение называют средней силой тока.

Мгновенной силой тока в момент времени t называется предел отношения приращения количества электричества Δq ко времени Δt , при условии, что Δt→0 .

Выводы Различные задачи привели в процессе решения к одной и той же математической модели – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Значит, эту математическую модель надо специально изучить, т.е.:

Выводы

Различные задачи привели в процессе решения к одной и той же математической модели – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Значит, эту математическую модель надо специально изучить, т.е.:

  • Присвоить ей новый термин.
  • Ввести для неё обозначение.
  • Исследовать свойства новой модели.
  • Определить возможности применения нового понятия - производная
Задача о скорости химической реакции Средняя скорость растворения соли в воде за промежуток времени [t 0 ;t 1 ] (масса соли, растворившейся в воде изменяется по закону х = f(t)) определяется по формуле . Скорость растворения в данный момент времени

Задача о скорости химической реакции

Средняя скорость растворения соли в воде за промежуток времени [t 0 ;t 1 ] (масса соли, растворившейся в воде изменяется по закону х = f(t)) определяется по формуле .

Скорость растворения в данный момент времени

Определение производной  Производной функции f в точке х 0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при последнем стремящимся к нулю:

Определение производной

Производной функции f в точке х 0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при последнем стремящимся к нулю:

Возвращаясь к рассмотренным задачам, важно подчеркнуть следующее: а) мгновенная скорость неравномерного движения есть производная от пути по времени; б) угловой  коэффициент касательной к графику функции в точке (x 0 ; f(x)) есть производная функции f(x) в точке х = х 0 ; в) мгновенная сила тока  I(t) в момент t есть производная от количества электричества q(t) по времени; Г) скорость химической реакции в данный момент времени t есть производная от количества вещества у(t), участвующего в реакции, по времени t.

Возвращаясь к рассмотренным задачам, важно подчеркнуть следующее:

а) мгновенная скорость неравномерного движения есть производная от пути по времени;

б) угловой коэффициент касательной к графику функции в точке (x 0 ; f(x)) есть производная функции f(x) в точке х = х 0 ;

в) мгновенная сила тока I(t) в момент t есть производная от количества электричества q(t) по времени;

Г) скорость химической реакции в данный момент времени t есть производная от количества вещества у(t), участвующего в реакции, по времени t.

А л г о р и т м 1) ∆x = x – x 0 2) ∆f = f(x+x 0 ) – f(x 0 ) 3)  4) 9

А л г о р и т м

1) ∆x = x – x 0

2) ∆f = f(x+x 0 ) – f(x 0 )

3)

4)

9

А это значит: «…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» Н.И. Лобачевский

А это значит:

«…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» Н.И. Лобачевский

  • Аппарат производной можно использовать при решении геометрических задач, задач из естественных и гуманитарных наук, экономических задач оптимизационного характера.
  • И, конечно, не обойтись без производной при исследовании функции и построении графиков, решении уравнений и неравенств
Основные формулы Средняя скорость  =

Основные формулы

  • Средняя скорость

=

  • Мгновенная скорость
  • или
  • Скорость изменения функции
  • Значение производной в точке
  • =


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Алгебра

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 11 класс.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
Презентация на тему "Определение производной"

Автор: Чинякова Юлия Ивановна

Дата: 18.11.2021

Номер свидетельства: 591820

Похожие файлы

object(ArrayObject)#871 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(95) "Презентация для урока "Производная сложной функций""
    ["seo_title"] => string(57) "priezientatsiia-dlia-uroka-proizvodnaia-slozhnoi-funktsii"
    ["file_id"] => string(6) "256299"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1448112122"
  }
}
object(ArrayObject)#893 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(131) "Презентация для урока математики по теме "Понятие производной функции" "
    ["seo_title"] => string(79) "priezientatsiia-dlia-uroka-matiematiki-po-tiemie-poniatiie-proizvodnoi-funktsii"
    ["file_id"] => string(6) "209014"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1430998173"
  }
}
object(ArrayObject)#871 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(59) "Правила нахождения производной "
    ["seo_title"] => string(34) "pravila-nakhozhdieniia-proizvodnoi"
    ["file_id"] => string(6) "143650"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1418566838"
  }
}
object(ArrayObject)#893 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(83) "Открытый урок по теме "Производная" в 10 классе"
    ["seo_title"] => string(49) "otkrytyi-urok-po-tiemie-proizvodnaia-v-10-klassie"
    ["file_id"] => string(6) "282638"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1453720101"
  }
}
object(ArrayObject)#871 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(151) "Презентация к открытому уроку по математике "Производная и правила ее вычисления" "
    ["seo_title"] => string(91) "priezientatsiia-k-otkrytomu-uroku-po-matiematikie-proizvodnaia-i-pravila-ieie-vychislieniia"
    ["file_id"] => string(6) "101241"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1402411624"
  }
}


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства