kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

"Некоторые способы решения квадратных уравнений"

Нажмите, чтобы узнать подробности

Можно применять на уроках алгебры в 9 классе. Пользоваться можно при подготовке к ОГЭ

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«"Некоторые способы решения квадратных уравнений"»

Некоторые способы решения  квадратных уравнений

Некоторые способы решения квадратных уравнений

Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт» У. Сойер

Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт»

У. Сойер

Теория уравнений в школьном курсе алгебры занимает ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Это связано с тем, что большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений.  В учебнике алгебры для 8 класса учащиеся знакомятся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатывают их решение по формулам. Для облегчения работы, возникает вопрос-«Существуют ли другие методы решения квадратных уравнений?

Теория уравнений в школьном курсе алгебры занимает ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Это связано с тем, что большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений. В учебнике алгебры для 8 класса учащиеся знакомятся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатывают их решение по формулам. Для облегчения работы, возникает вопрос-«Существуют ли другие методы решения квадратных уравнений?

Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики очень часто учащиеся встречаются с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может пригодится при решении более сложных задач, в том числе и в 9 классе при сдаче ОГЭ.  Цель работы: научиться решать квадратные уравнения, изучить различные методы их решения. Исходя из данной цели, были поставлены следующие задачи:  - изучить историю развития квадратных уравнений; - рассмотреть стандартные и нестандартные методы решения квадратных уравнений;  - выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений;  - научиться решать квадратные уравнения различными способами.

Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики очень часто учащиеся встречаются с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может пригодится при решении более сложных задач, в том числе и в 9 классе при сдаче ОГЭ.

Цель работы: научиться решать квадратные уравнения, изучить различные методы их решения.

Исходя из данной цели, были поставлены следующие задачи:

- изучить историю развития квадратных уравнений; - рассмотреть стандартные и нестандартные методы решения квадратных уравнений;

- выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений;

- научиться решать квадратные уравнения различными способами.

История развития квадратных уравнений. 1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.  Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

История развития квадратных уравнений.

1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются вот такие квадратные уравнения: X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5 Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются вот такие квадратные уравнения:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

2. Квадратные уравнения в Греции или как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.  В «Арифметике» Диофанта нет изложения алгебры в системе, однако в ней содержится системный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные. Например: «Найти два числа, зная, что их сумма равна 40, а произведение - 300»

2. Квадратные уравнения в Греции или как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

В «Арифметике» Диофанта нет изложения алгебры в системе, однако в ней содержится системный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Например: «Найти два числа, зная, что их сумма равна 40, а произведение - 300»

Диофант рассуждает: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 300, а 400. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 20 + х , другое же меньше, т.е. 20 - х . Разность между ними 2х . Получает: (20 + х)(20 - х) = 300 400 - х 2 = 300  х 2 - 100 = 0   Отсюда х = 10 . Одно из искомых чисел равно 30 , другое 10 . Решение х = -10 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Диофант рассуждает: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 300, а 400. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 20 + х , другое же меньше, т.е. 20 - х . Разность между ними . Получает: (20 + х)(20 - х) = 300

400 - х 2 = 300 х 2 - 100 = 0 Отсюда х = 10 . Одно из искомых чисел равно 30 , другое 10 . Решение х = -10 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв.  Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал - Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду: х 2 + bx = с, было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал - Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду: х 2 + bx = с,

было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

О теореме Виета Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B + D , умноженное на A - A 2 , равно BD , то A равно В и равно D ». Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А , как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х ), гласные же В, D - коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры: (а + b)х - х 2 = ab, т.е. х 2 - (а + b)х + аb = 0, то х 1 = а, х 2 = b.

О теореме Виета

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B + D , умноженное на A - A 2 , равно BD , то A равно В и равно D ». Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А , как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х ), гласные же В, D - коэффициенты при неизвестном.

На языке современной алгебры: (а + b)х - х 2 = ab, т.е.

х 2 - (а + b)х + аb = 0, то

х 1 = а, х 2 = b.

II. Способы решения квадратных уравнений    Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры.  В школе изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения.

II. Способы решения квадратных уравнений

 

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры.

В школе изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения.

Разложение левой части уравнения на множители. Решим уравнение х 2 + 10х - 24 = 0 . 1. Разложим левую часть на множители: х 2 + 10х - 24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2). Следовательно, уравнение можно переписать так: (х + 12)(х - 2) = 0 Произведение множителей равно нулю, если по крайней мере, один из его множителей равен нулю. х + 12= 0 или х – 2=0 х=-12 х=2  Ответ: -12; 2.

Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение х 2 + 10х - 24 = 0 .

1. Разложим левую часть на множители:

х 2 + 10х - 24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х - 2) = 0

Произведение множителей равно нулю, если по крайней мере, один из его множителей равен нулю.

х + 12= 0 или х – 2=0

х=-12 х=2 Ответ: -12; 2.

Метод выделения полного квадрата. Решим уравнение х 2 + 6х - 7 = 0 . Выделим в левой части полный квадрат: х 2 + 6х - 7 = х 2 + 2• х • 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (х + 3) 2 - 9 - 7 = (х + 3) 2 - 16. тогда, данное уравнение можно записать так:   (х + 3) 2 - 16 =0,    (х + 3) 2 = 16.     х + 3=4 или х + 3 = -4     х 1 = 1 х 2 = -7  Ответ: 1; -7.

Метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение х 2 + 6х - 7 = 0 .

Выделим в левой части полный квадрат:

х 2 + 6х - 7 = х 2 + 2• х • 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (х + 3) 2 - 9 - 7 = (х + 3) 2 - 16.

тогда, данное уравнение можно записать так:

(х + 3) 2 - 16 =0,

(х + 3) 2 = 16.

х + 3=4 или х + 3 = -4

х 1 = 1 х 2 = -7 Ответ: 1; -7.

Решение квадратных уравнений по формулам .

Решение квадратных уравнений по формулам .

Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Решение уравнений с использованием теоремы Виета.


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Алгебра

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 9 класс.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
"Некоторые способы решения квадратных уравнений"

Автор: Изибаева Альбина Михайловна

Дата: 02.06.2023

Номер свидетельства: 632974

Похожие файлы

object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(166) "Способы решения квадратного уравнения. Использование частных соотношений коэффициентов. "
    ["seo_title"] => string(99) "sposoby-rieshieniia-kvadratnogho-uravnieniia-ispol-zovaniie-chastnykh-sootnoshienii-koeffitsiientov"
    ["file_id"] => string(6) "170527"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1423567054"
  }
}
object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(59) "«Решение квадратных уравнений» "
    ["seo_title"] => string(36) "rieshieniie-kvadratnykh-uravnienii-1"
    ["file_id"] => string(6) "168159"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1423201858"
  }
}
object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(123) "Конспект урока на тему "Графическое решение  квадратных уравнений" "
    ["seo_title"] => string(74) "konspiekt-uroka-na-tiemu-grafichieskoie-rieshieniie-kvadratnykh-uravnienii"
    ["file_id"] => string(6) "163970"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1422553243"
  }
}
object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(69) "Решение квадратных уравнений. 8 класс."
    ["seo_title"] => string(42) "rieshieniie-kvadratnykh-uravnienii-8-klass"
    ["file_id"] => string(6) "255009"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1447852536"
  }
}
object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(75) "Презентация урока "Квадратные уравнения""
    ["seo_title"] => string(42) "priezientatsiiaurokakvadratnyieuravnieniia"
    ["file_id"] => string(6) "320254"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1461054026"
  }
}


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства