kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Методы решения квадратных уравнений

Нажмите, чтобы узнать подробности

Рассматриваются различные методы решения квадратных уравнений. Данная презентация поможет учащимся самостоятельно освоить некоторые из  методов решения квадратных уравнений

Просмотр содержимого документа
«Методы решения квадратных уравнений»

Квадратные уравнения  (методы решения) 13.11.18

Квадратные уравнения (методы решения)

13.11.18

Рене Декарт  (французский математик)   «Для разыскания истины вещей – необходим метод» 13.11.18

Рене Декарт

(французский математик)

«Для разыскания истины вещей – необходим метод»

13.11.18

Цель урока обобщение и систематизация знаний по теме. ликвидация пробелов в знаниях учащихся. выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений  13.11.18

Цель урока

  • обобщение и систематизация знаний по теме.
  • ликвидация пробелов в знаниях учащихся.
  • выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений

13.11.18

Работаем устно 13.11.18

Работаем устно

13.11.18

0, 13.11.18" width="640"

Неполные квадратные уравнения:

1 метод

2

3

Если корней нет

Если 0,

13.11.18

0 13.11.18" width="640"

4 метод

D 0

Корней нет

D = 0

D 0

13.11.18

5 метод b = 2k ( четное число)  13.11.18

5 метод

b = 2k ( четное число)

13.11.18

Теорема Виета 6 метод x 1 и х 2  – корни уравнения x 1 и х 2  – корни уравнения 13.11.18

Теорема Виета

6 метод

x 1 и х 2 – корни уравнения

x 1 и х 2 – корни уравнения

13.11.18

Работа с карточкой Уравнение a x 2 - 7 x + 12 = 0 b c 5 5 x 2 = 15 x b 2 - 4ac - 7 x 1 -6 3 x 2 0 x 1 + x 2 -75 x 1 · x 2 13.11.18

Работа с карточкой

Уравнение

a

x 2 - 7 x + 12 = 0

b

c

5

5 x 2 = 15 x

b 2 - 4ac

- 7

x 1

-6

3

x 2

0

x 1 + x 2

-75

x 1 · x 2

13.11.18

Работа с карточкой Уравнение a x 2 - 7 x + 12 = 0 b 5 x 2 - 7 x - 6 = 0 1 c 5 5 x 2 = 15 x -7 b 2 - 4ac 5 - 7 12 3 x 2 - 75 = 0 x 1 1 -15 3 -6 x 2 0 0 169 4 x 1 + x 2 2 -75 3 225 x 1 · x 2 7 0 -0,6 900 1,4 5 12 3 -5 3 -1,2 0 0 -25 13.11.18

Работа с карточкой

Уравнение

a

x 2 - 7 x + 12 = 0

b

5 x 2 - 7 x - 6 = 0

1

c

5

5 x 2 = 15 x

-7

b 2 - 4ac

5

- 7

12

3 x 2 - 75 = 0

x 1

1

-15

3

-6

x 2

0

0

169

4

x 1 + x 2

2

-75

3

225

x 1 · x 2

7

0

-0,6

900

1,4

5

12

3

-5

3

-1,2

0

0

-25

13.11.18

Специальные методы: Метод выделения квадрата двучлена. Метод «переброски» старшего коэффициента На основании теорем: 13.11.18

Специальные методы:

  • Метод выделения квадрата двучлена.
  • Метод «переброски» старшего коэффициента
  • На основании теорем:

13.11.18

Метод выделения квадрата двучлена.   7 метод Цель: привести квадратное уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению.   Пример:    a 2 +2ab+b 2 =(a  +  b) 2  a 2 -b 2 =(a-b)(a  +  b) 13.11.18

Метод выделения квадрата двучлена.

7 метод

Цель: привести квадратное уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению.

Пример:

a 2 +2ab+b 2 =(a + b) 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a + b)

13.11.18

Метод выделения квадрата двучлена.   Пример:  х 2 + 6х – 7 = 0  Выделим в левой части полный квадрат. Запишем выражение  х 2 + 6х в следующем виде: х 2 + 6х = х 2 + 2· х ·3,  чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 , так как  х 2 + 2· х ·3 + 3 2 = (х + 3) 2  .  Преобразуем теперь левую часть уравнения х 2 + 6х – 7 = 0 , прибавляя  к ней и вычитая 3 2. Имеем:  х 2 + 6х – 7 = х 2 + 2· х ·3 + 3 2 – 3 2 – 7 = (х + 3) 2 –  9 – 7 = (х + 3) 2 – 16. Таким образом, данное уравнение можно записать так:   (х + 3) 2 –16 = 0 , т.е. (х + 3) 2 = 16. Следовательно, х +3 = 4, или х +3 = - 4 ,  х 1 = 1, х 2 = – 7.    13.11.18

Метод выделения квадрата двучлена.

Пример: х 2 + 6х – 7 = 0

Выделим в левой части полный квадрат.

Запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде: х 2 + 6х = х 2 + 2· х ·3,

чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 , так как

х 2 + 2· х ·3 + 3 2 = (х + 3) 2 .

Преобразуем теперь левую часть уравнения х 2 + 6х – 7 = 0 , прибавляя

к ней и вычитая 3 2. Имеем:

х 2 + 6х – 7 = х 2 + 2· х ·3 + 3 2 – 3 2 – 7 = (х + 3) 2 9 – 7 = (х + 3) 2 – 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3) 2 –16 = 0 , т.е. (х + 3) 2 = 16.

Следовательно, х +3 = 4, или х +3 = - 4 ,

х 1 = 1, х 2 = – 7.

13.11.18

Метод «переброски» старшего коэффициента. 8 метод Корни квадратных уравнений и связаны соотношениями и В некоторых случаях бывает удобно решать сначала не данное квадратное уравнение, а приведенное, полученное «переброской» коэффициента а . Пример:

Метод «переброски» старшего коэффициента.

8 метод

Корни квадратных уравнений

и

связаны соотношениями

и

В некоторых случаях бывает удобно решать сначала не данное квадратное уравнение, а приведенное, полученное «переброской» коэффициента а .

Пример:

= = Х 2 = 2,5 У 1 * У 2 = 30 У 2 = 5 Х 2 = Ответ : 3 и 2,5" width="640"

Метод «переброски» старшего коэффициента.

Пример:

«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у 2 – 11 y +30 = 0.

Согласно теореме Виета

У 1 2 =11 У 1 =6 Х 1 =

Х 1 =3

=

=

=

Х 2 = 2,5

У 1 * У 2 = 30 У 2 = 5 Х 2 =

Ответ : 3 и 2,5

На основании теорем: 9 метод Если в квадратном уравнении a+b+c=0 , то один из корней равен 1, а  второй по теореме Виета равен  10 метод Если в квадратном уравнении a+c=b ,  то один из корней равен -1,  а второй по теореме Виета равен Примеры :

На основании теорем:

9 метод

  • Если в квадратном уравнении a+b+c=0 , то один из корней равен 1, а

второй по теореме Виета равен

10 метод

  • Если в квадратном уравнении a+c=b , то один из корней равен -1,

а второй по теореме Виета равен

Примеры :

На основании теорем: Примеры : Решение. Так как а + b + с = 0 ( 345 – 137 – 208 = 0 ), то х 1 = 1, х 2 = . Ответ : 1 ; –  Решение.  Так как а- b +с = 0 ( 132 – 247 +115=0 ), то х 1 = - 1, х 2 = - Ответ: - 1; -

На основании теорем:

Примеры :

Решение.

Так как а + b + с = 0 ( 345 – 137 – 208 = 0 ), то х 1 = 1, х 2 =

.

Ответ : 1 ;

Решение.

Так как а- b +с = 0 ( 132 – 247 +115=0 ), то х 1 = - 1, х 2 = -

Ответ: - 1; -

Общие методы: Разложение на множители; Введение новой переменной; Графический метод .  13.11.18

Общие методы:

  • Разложение на множители;
  • Введение новой переменной;
  • Графический метод .

13.11.18

Метод разложения на множители 11 метод Цель: привести квадратное уравнение общего вида к виду А(х) · В(х)=0,  где А(х) и В(х) – многочлены относительно х. Способы: Вынесение общего множителя за скобки; Использование формул сокращенного умножения ; Способ группировки. Пример : х 2 + 10х – 24 = 0 13.11.18

Метод разложения на множители

11 метод

Цель:

привести квадратное уравнение общего вида к виду

А(х) · В(х)=0,

где А(х) и В(х) – многочлены относительно х.

Способы:

  • Вынесение общего множителя за скобки;
  • Использование формул сокращенного умножения ;
  • Способ группировки.

Пример :

х 2 + 10х – 24 = 0

13.11.18

Метод разложения на множители х 2 + 10х – 24 = 0 Пример : Разложим левую часть уравнения на множители: х 2 + 10х – 24 = х 2 + 12х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х +12) = = (х + 12)(х – 2).  Следовательно, уравнение можно переписать так:  (х + 12)(х – 2) = 0. Так как произведение равно нулю, то по крайне мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = - 12 .  Это означает, что 2 и – 12 являются корнями уравнения х 2 + 10х – 24 = 0. 13.11.18

Метод разложения на множители

х 2 + 10х – 24 = 0

Пример :

Разложим левую часть уравнения на множители:

х 2 + 10х – 24 = х 2 + 12х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х +12) = = (х + 12)(х – 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х – 2) = 0.

Так как произведение равно нулю, то по крайне мере один из его множителей равен нулю.

Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2,

а также при х = - 12 .

Это означает, что 2 и – 12 являются корнями уравнения х 2 + 10х – 24 = 0.

13.11.18

Введение новой переменной . 12 метод Умение удачно ввести новую переменную – важный элемент математической культуры. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной. Пример : 13.11.18

Введение новой переменной .

12 метод

Умение удачно ввести новую переменную – важный элемент математической культуры. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной.

Пример :

13.11.18

0) по теореме, обратной теореме Виета t 1 + t 2 =3 t 1 * t 2 =2 t 1 = 1, t 2 = 2 Произведем обратную замену и вернемся к переменной х Если t = 1 , то 5х+3=1 Если t = 2, то 5х+3=2 5х=1-3 5х=2-3 5х=-2 5х=-1 Х=-0,4 Х=-0,2 Ответ: -0,4; -0,2 13.11.18" width="640"

Введение новой переменной .

Пример :

Пусть: t = 5х + 3 Произведем замену переменной t 2 =3 t -2

Тогда t 2 -3 t +2=0

(Устно проверим условие D 0) по теореме, обратной теореме Виета

t 1 + t 2 =3

t 1 * t 2 =2 t 1 = 1, t 2 = 2

Произведем обратную замену и вернемся к переменной х

Если t = 1 , то 5х+3=1 Если t = 2, то 5х+3=2

5х=1-3 5х=2-3

5х=-2 5х=-1

Х=-0,4 Х=-0,2

Ответ: -0,4; -0,2

13.11.18

Графический метод. 13 метод  Для решения уравнения f ( x ) = g ( x ) необходимо построить графики функций y = f ( x ), y = g ( x ) и найти точки их пересечения; абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения.   Замечание : Графический метод часто применяют не для нахождения корней уравнения, а для определения их количества. Пример:   Х 2 -2х-3=0   13.11.18

Графический метод.

13 метод

Для решения уравнения f ( x ) = g ( x ) необходимо построить графики функций y = f ( x ), y = g ( x ) и найти точки их пересечения; абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения. Замечание : Графический метод часто применяют не для нахождения корней уравнения, а для определения их количества.

Пример: Х 2 -2х-3=0

13.11.18

Графический метод.   Пример:   Х 2 -2х-3=0  Представим уравнение в виде Х 2 =2х+3 Пусть  f(x)=x 2   и  g(x)=2x +3 Построим на одной  координатной плоскости  графики функций  y=x 2    и y= 2x + 3 Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой -1 3

Графический метод.

Пример: Х 2 -2х-3=0 Представим уравнение в виде Х 2 =2х+3

Пусть f(x)=x 2 и g(x)=2x +3

Построим на одной координатной плоскости графики функций

y=x 2 и y= 2x + 3

Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой

-1

3

Графический метод. Пример:   Х 2 -2х-3=0  Представим уравнение в виде Х 2 +3=2х  Пусть  f(x)=x 2 –3  и  g(x)=2x Построим на одной координатной плоскости  графики функций  y=x 2 –3 и   y =2x  -1 Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой 3

Графический метод.

Пример: Х 2 -2х-3=0 Представим уравнение в виде Х 2 +3=2х

Пусть f(x)=x 2 –3 и g(x)=2x

Построим на одной координатной плоскости графики функций

y=x 2 –3 и y =2x

-1

Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой

3

«Золотые мысли» Расставьте номера методов решения уравнений и расшифруйте высказывание № / № Уравнение 1 № метода  20 x 2 - 6x = 0 2  3x 2 - 5x + 4 = 0 3  100x 2 + 53x – 153 = 0 4  35x 2 – 8 = 0 5  7x 2 + 8x + 2 = 0 6  299x 2  + 300x + 1 = 0 7  4x 2 – 4x + 3 = 0 8  (x – 8) 2 – (3x + 1) 2 = 0 9  4(x – 1) 2 + 0,5(x – 1) – 1 = 0 10  12x 2 = 0  13.11.18

«Золотые мысли»

Расставьте номера методов решения уравнений и расшифруйте высказывание

/

Уравнение

1

метода

20 x 2 - 6x = 0

2

3x 2 - 5x + 4 = 0

3

100x 2 + 53x – 153 = 0

4

35x 2 – 8 = 0

5

7x 2 + 8x + 2 = 0

6

299x 2 + 300x + 1 = 0

7

4x 2 – 4x + 3 = 0

8

(x – 8) 2 – (3x + 1) 2 = 0

9

4(x – 1) 2 + 0,5(x – 1) – 1 = 0

10

12x 2 = 0

13.11.18

«Золотые мысли» Расставьте номера методов решения уравнений и расшифруйте высказывание № / № Уравнение 1 № метода  20 x 2 - 6x = 0 2  3x 2 - 5x + 4 = 0 3 2 4  100x 2 + 53x – 153 = 0 4  35x 2 – 8 = 0 9 5 3  7x 2 + 8x + 2 = 0 6  299x 2  + 300x + 1 = 0 5 7  4x 2 – 4x + 3 = 0 8 10  (x – 8) 2 – (3x + 1) 2 = 0 7 9 11  4(x – 1) 2 + 0,5(x – 1) – 1 = 0 10  12x 2 = 0 12 1  13.11.18

«Золотые мысли»

Расставьте номера методов решения уравнений и расшифруйте высказывание

/

Уравнение

1

метода

20 x 2 - 6x = 0

2

3x 2 - 5x + 4 = 0

3

2

4

100x 2 + 53x – 153 = 0

4

35x 2 – 8 = 0

9

5

3

7x 2 + 8x + 2 = 0

6

299x 2 + 300x + 1 = 0

5

7

4x 2 – 4x + 3 = 0

8

10

(x – 8) 2 – (3x + 1) 2 = 0

7

9

11

4(x – 1) 2 + 0,5(x – 1) – 1 = 0

10

12x 2 = 0

12

1

13.11.18

«Золотые мысли» № метода 1 КО 2 ТЬСЯ 3 ИН 4 У 5 6 ЛЕГ 7 АН НО 8 ЗА 9 НЕ 10 РЕС 11 ЧИ 12 ТЕ 13 ВА КЛЮЧ  13.11.18

«Золотые мысли»

№ метода

1

КО

2

ТЬСЯ

3

ИН

4

У

5

6

ЛЕГ

7

АН

НО

8

ЗА

9

НЕ

10

РЕС

11

ЧИ

12

ТЕ

13

ВА

КЛЮЧ

13.11.18

«Золотые мысли» № уравнения 2 8 1 3 5 10 7 , 4 9 6 7 Ян Амос Коменский (1592-1670), чешский педагог, писатель.  13.11.18

«Золотые мысли»

уравнения

2

8

1

3

5

10

7

,

4

9

6

7

Ян Амос Коменский (1592-1670),

чешский педагог, писатель.

13.11.18

Домашнее задание Решите уравнение х 2 +6х-16=0 по формуле, выделением квадрата двучлена и графическим методом Решите уравнение 3х 2 +5х+2=0  пятью способами. Решите уравнение (х 2 -х) 2 - 14(х 2 -х)+24=0 методом введения новой переменной.  13.11.18

Домашнее задание

  • Решите уравнение х 2 +6х-16=0 по формуле, выделением квадрата двучлена и графическим методом
  • Решите уравнение 2 +5х+2=0 пятью способами.
  • Решите уравнение 2 -х) 2 - 14(х 2 -х)+24=0 методом введения новой переменной.

13.11.18


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Алгебра

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 8 класс

Скачать
Методы решения квадратных уравнений

Автор: Полторанина Ольга Анатольевна

Дата: 13.11.2018

Номер свидетельства: 485427

Похожие файлы

object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(93) "Рациональные методы решения квадратных уравнений "
    ["seo_title"] => string(57) "ratsional-nyie-mietody-rieshieniia-kvadratnykh-uravnienii"
    ["file_id"] => string(6) "193835"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1427701481"
  }
}
object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(99) "Конспект урока на тему "Решение квадратных уравнений" "
    ["seo_title"] => string(59) "konspiekt-uroka-na-tiemu-rieshieniie-kvadratnykh-uravnienii"
    ["file_id"] => string(6) "112739"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1408881806"
  }
}
object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(136) "Конспект урока математики по теме " Способы решения квадратных уравнений" "
    ["seo_title"] => string(80) "konspiekt-uroka-matiematiki-po-tiemie-sposoby-rieshieniia-kvadratnykh-uravnienii"
    ["file_id"] => string(6) "107740"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1403426564"
  }
}
object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(184) "Методическая разработка для 8 класса "Решение квадратного уравнения х2 - 2х - 3 = 0 различными методами." "
    ["seo_title"] => string(112) "mietodichieskaia-razrabotka-dlia-8-klassa-rieshieniie-kvadratnogho-uravnieniia-kh2-2kh-3-0-razlichnymi-mietodami"
    ["file_id"] => string(6) "101924"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1402467419"
  }
}
object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(55) "решение квадратных уравнений "
    ["seo_title"] => string(34) "rieshieniie-kvadratnykh-uravnienii"
    ["file_id"] => string(6) "102684"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1402545715"
  }
}



ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства