Просмотр содержимого документа
«Методическая разработка для 8 класса "Решение квадратного уравнения х2 - 2х - 3 = 0 различными методами." »
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
дополнительного образования детей дом детского творчества
г. Зверева Ростовской области.
Решение квадратного уравнения х2 - 2х - 3 = 0 различными методами.
Работа
педагога дополнительного
образования МБОУ ДОД ДДТ,
Куца Фёдора Ивановича
г. Зверево
2013г.
Содержание.
I метод. Общая формула корней квадратного уравнения.
II метод. Корни уравнения при чётном коэффициенте b.
III метод. Формула корней приведенного квадратного уравнения.
IVметод. Решение уравнения по теореме, обратной теореме Виета.
V метод. Свойство коэффициентов.
VI метод. Метод выделения полного квадрата.
VII метод. Разложение левой части уравнения на множители способом группировки.
VIII метод. Использование следствиятеоремы Безу.
IX метод. Графическое решение.
X метод. Геометрический способ.
XI метод. Решение квадратных уравнений с применением циркуля и линейки.
XII метод. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.
I метод. Общая формула корней квадратного уравнения.
А) Для нахождения корней квадратного уравнения aх2 + bх + с = 0 следует пользоваться приводимой ниже формулой: x1,2 = , где b2 - 4ac = D, причем, если D 0, то уравнение имеет два корня; если D= 0, то уравнение имеет один корень; если D
Пример. х2 - 2х - 3 = 0.
a= 1; b= -2; c = - 3.
x1, 2 = = = .
x1 = = - 1, x2 = = 3.
Ответ..x1 = - 1, x2 = 3.
Б) Так как данное квадратное уравнение имеет вид: х2 + bх + с = 0, где а = 1, то общая формула примет вид: x1, 2 = . Тогда имеем решение:
x1, 2 = = = .
x1 = = - 1, x2 = = 3.
Ответ.x1 = - 1, x2 = 3.
II метод. Корни уравнения при чётном коэффициенте b.
Для уравнения х2+ bх + с = 0, где b, откуда k= b вместо формулы x1, 2 = для нахождения корней можно использовать более простое выражение:
x1, 2 = - k.
Пример. х2 - 2х -3 = 0.
x1, 2 = 1 = 1 = 1 ± 2.
x1 = - 1, x2 = 3.
Ответ.x1 = - 1, x2 = 3.
III метод. Формула корней приведенного квадратного уравнения.
Для решения уравнения вида х2+ рх + q = 0 имеет место формула:
x1, 2 = - .
Пример. х2 - 2х - 3 = 0.
р = -2,q = -3.
x1, 2 = 1 = 1 = 1 ± 2.
x1 = - 1, x2 = 3.
Ответ.x1 = - 1, x2 = 3.
IVметод. Решение уравнения по теореме, обратной теореме Виета.
Между корнями и коэффициентами приведенного квадратного х2+ рх + q = 0 уравнения существует следующая связь:
Если числа х1 и х2 таковы, что х1 + х2 = - p, х1х2 = q, то х1 и х2 – корни уравнения.
Пример. х2 - 2х - 3 = 0.
р = -2,q = -3.
х1 + х2 = 2, х1х2 = -3.
Делители числа -3 пары чисел: 1 и -3; -1 и 3.
Первая пара дает сумму 1 + (-3) = -2 - не удовлетворяет условию х1 + х2 = 2;
вторая пара дает сумму - 1 + 3 = 2 - удовлетворяет условию х1 + х2 = 2.
х1 = - 1, х2 = 3.
Ответ..x1 = - 1, x2 = 3.
V метод. Свойство коэффициентов.
А) Для коэффициентов уравнения вида aх2 + bх + с = 0 имеет место следующие соотношения:
если a+ с = b, то x1= - 1, x2= - .
Пример. х2 - 2х - 3 = 0.
a= 1; b= -2; c = - 3.
Так как a+ с = 1 +(-3) = - 2 = b,то x1= - 1, x2 = - = 3 .
Ответ..x1 = - 1, x2 = 3.
Б) Для коэффициентов уравнения вида х2 + рх + q = 0 имеет место следующие соотношения:
если 1 + q = p, то x1= - 1, x2 = - q .
Пример. х2 - 2х - 3 = 0.
р = -2,q = -3.
Так как 1 + q = 1 +(-3) = - 2 =p , то x1= - 1, x2 = 3.
Ответ.x1 = - 1, x2 = 3.
VI метод. Метод выделения полного квадрата.
Пример. х2- 2х - 3 = 0.
х2- 2х = 3.
х2 - 2∙х∙1 + 1 = 1 + 3, (х - 1)2 = 4.
А) Используя соотношение = |x|, имеем: |х -1| = 2.Откуда по определению модуля:
х - 1 = - 2 или х - 1 = 2.
х1 = -1, х2 = 3.
Ответ.x1 = - 1, x2 = 3.
Б) Уравнение вида х2 = d , если d 0, имеет корни: х1,2 = .
(х - 1)2 = 4.
(х – 1)1,2 = ; (х – 1)1,2 = ± 2.
х - 1 = -2 или х - 1 = 2.
х1 = -1, х2 = 3.
Ответ..x1 = - 1, x2 = 3.
VII метод. Разложение левой части уравнения на множители способом группировки.
Пример. х2- 2х - 3 = 0.
Так как q
х2 - (3 - 1) х - 3 = 0,
х2 - 3х + х - 3 = 0,
(х2 - 3х) + (х - 3) = 0,
х (х - 3) + (х - 3) = 0,
(х + 1) (х - 3) = 0 ,
х + 1 = 0 или х - 3= 0
Ответ.x1 = - 1, x2 = 3.
VIII метод. Использование следствиятеоремы Безу.
Свободный член многочлена с целыми коэффициентами делится на любой целый корень многочлена.
Пример. х2 - 2х -3 = 0.
Делители числа -3: ±1, ±3.
P2 (1) = 1 - 2 - 3 = - 4 ≠ 0.
P2 (-1) = 1 + 2 - 3 = 0. x = -1 корень уравнения.
Понизим степень уравнения, разделив трехчлен х2 - 2х - 3 на двучленx +1.
x2 - 2x - 3
-
x2 + x
x +1
x - 3
- 3x - 3
-
- 3x - 3
0
Частное x –3 приравняем к нулю.
x – 3 = 0, откуда x = 3.
Ответ.x1 = -1,x2 = 3.
IX метод. Графическое решение.
Iспособ. Строим график функции у = х2 + pх + q и находим абсциссы точек его пересечения с осью Ох. Пример. х2 - 2х - 3 = 0.
Значит, вершиной параболы служит точка (1; -4), а осью параболы – прямая х = 1.
2) Возьмем на оси Ох две точки, симметричные относительно оси параболы, например х = - 1 и х = 3. Имеем: у(-1) = у(3) = 0. Построим на координатной плоскости точки (-1;0) и (3;0). Через точки (-1;0),
II способ. Преобразуем уравнение к ввиду: х2 = - pх - q, строим параболу у = х2 и прямую у = - pх - q, находим точки их пересечения (корнями служат абсциссы точек пересечения, если, разумеется, таковые имеются).
Пример. х2 - 2х - 3 = 0.
Преобразуем уравнение к виду х2 = 2х + 3. Построим в одной системе координат графики функций у = х2 и у = 2х + 3. Они пересекаются в двух точках: А(-1;1) и В(3;9). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, значит, х1= - 1, х2 = 3.
Ответ.x1 = - 1, x2 = 3.
III способ. Преобразуем уравнение к ввиду: х2 + q = - pх, строим параболу у = х2 + q и прямую у = - pх (она проходит через начало координат); находим точки их пересечения.
Пример. х2 - 2х - 3 = 0.
Преобразуем уравнение к виду х2 - 3 = 2х. Построим в одной системе координат графики функций у = х2 - 3 и у = 2х. Они пересекаются в двух точках: А (-1;-2) и В(3;6). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, поэтому, х1= - 1, х2 = 3.
Ответ.x1 = - 1, x2 = 3.
IV способ. Применяя метод выделения полного квадрата, преобразуем уравнение к виду: (х + n)2 + m = 0 и далее ( х + n)2 = - m . Строим параболу у = ( х + n)2 и прямую у = - m, параллельную оси Ох; находим точки пересечения параболы и прямой.
Построим в одной системе координат графики функций у = (х - 1)2 и у = 4. Они пересекаются в двух точках: А (-1;4) и В (3;4). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, поэтому, х1= - 1, х2 = 3.
Ответ.x1 = - 1, x2 = 3.
V способ. Преобразуем уравнение к виду: + + = 0,т.е. х + р + = 0 и далее = -x- p.
Строим гиперболу у = ( это гипербола при условии, что q ≠ 0) и прямую у = - х - р; находим точки их пересечения..
Пример. х2 - 2х - 3 = 0.
Разделив почленно обе части уравнения на х, получим: х - 2 - = 0, х - 2 = . Построим в одной системе координат гиперболу у = и прямую у = х - 2. Они пересекаются в двух точках:
А(-1;-3) и В (3;1). Корнями уравнения являются абсциссы точек А и В, следовательно, х1= - 1, х2 = 3.
Замечание. При решении уравнения графическим способом необходимо сделать проверку найденных корней.
Ответ.x1 = - 1, x2 = 3.
X метод. Геометрический способ.
S=(x-1)2
S S=1∙(x-1)
S= 1∙(x – 1)
S =1
Пример. х2 - 2х - 3 = 0.
Представим уравнение в виде: х2 - 2х = 3.
Строим квадрат со стороной х, его площадь S = х2. Внутри его строим квадрат площадью S= (х - 1)2. Кроме полученного квадрата, внутри большого
квадрата находятся квадрат с площадью S = 1 и
два прямоугольника с площадями S = 1∙(х - 1) = х - 1.
XI метод. Решение квадратных уравнений с применением циркуля и линейки.
Корни квадратного уравнения х2 + pх + q= 0 можно рассматривать как абсциссы точек пересечения окружности с центром Q, проходящей через точку
А (0;1), и оси Ох.
Решение уравнения сводится к построению на координатной плоскости окружности с центром Q и радиусом QA ( для этого и понадобятся инструменты) и определению абсцисс точек пересечения окружности с осью Ох.
Если QA , то окружность пересекает ось Ох в двух точках M(х1;0) и N(х2;0), уравнение имеет корни х1 , х2.
Пример. х2 - 2х - 3 = 0.
х0 = = = 1; у0 = = = - 1.
Корни уравнения х1 = -1, х2 = 3.
Ответ. х1 = -1, х2 = 3.
XII метод. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.
Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. – М., Просвещение, 1990).
Пример. х2 - 2х - 3 = 0.
Решение.
р = -2,q = -3.
Значение q
На номограмме соединяемпрямой линиейр = -2 иq = -3.
Номограмма даетположительный корень х1 = 3, а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из -p, т.е. х2 = -p-х1 = -( - 2) - 3 = -1.
Ответ. х1 = 3, х2 = -1.
1.Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. – М., Просвещение, 1990.с. 83.
2. Журнал « Математика в школе», № 6, 2008г.
3.Мордкович А.Г.Алгебра 8 класс. М., Мнемозина, 2010.
4.Кружепов А.К., Рубанов А.Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. - М., высшая школа, 1969.
5. Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. - М., Просвещение, 1972.
6. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. - М., Квант, № 4/72. С. 34.
