kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Методическая разработка для 8 класса "Решение квадратного уравнения х2 - 2х - 3 = 0 различными методами."

Нажмите, чтобы узнать подробности

Содержание.

I метод. Общая формула корней квадратного уравнения.

II метод. Корни уравнения при чётном коэффициенте b.

III метод.  Формула корней приведенного квадратного уравнения.

IVметод. Решение уравнения по теореме, обратной теореме Виета.

V метод. Свойство коэффициентов.

 VI метод.  Метод выделения полного квадрата.

VII метод. Разложение левой части уравнения на множители способом группировки.

 VIII метод. Использование следствия теоремы Безу.

IX метод. Графическое решение.

X метод. Геометрический способ.

XI метод.  Решение квадратных уравнений с применением циркуля и линейки.

XII метод.  Решение квадратных уравнений  с помощью номограммы.

Просмотр содержимого документа
«Методическая разработка для 8 класса "Решение квадратного уравнения х2 - 2х - 3 = 0 различными методами." »

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

дополнительного образования детей дом детского творчества

г. Зверева Ростовской области.
















Решение квадратного уравнения х2 - 2х - 3 = 0 различными методами.










Работа

педагога дополнительного

образования МБОУ ДОД ДДТ,

Куца Фёдора Ивановича

















г. Зверево

2013г.





Содержание.

I метод. Общая формула корней квадратного уравнения.

II метод. Корни уравнения при чётном коэффициенте b.

III метод. Формула корней приведенного квадратного уравнения.

IVметод. Решение уравнения по теореме, обратной теореме Виета.

V метод. Свойство коэффициентов.

VI метод. Метод выделения полного квадрата.

VII метод. Разложение левой части уравнения на множители способом группировки.

VIII метод. Использование следствия теоремы Безу.

IX метод. Графическое решение.

X метод. Геометрический способ.

XI метод. Решение квадратных уравнений с применением циркуля и линейки.

XII метод. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.



I метод. Общая формула корней квадратного уравнения.


А) Для нахождения корней квадратного уравнения aх2 + bх + с = 0 следует пользоваться приводимой ниже формулой: x1,2 = , где b2 - 4ac = D, причем, если D 0, то уравнение имеет два корня; если D = 0, то уравнение имеет один корень; если D


Пример. х2 - 2х - 3 = 0.

a = 1; b = -2; c = - 3.


x1, 2 = = = .

x1 = = - 1, x2 = = 3.

Ответ.. x1 = - 1, x2 = 3.


Б) Так как данное квадратное уравнение имеет вид: х2 + bх + с = 0, где а = 1, то общая формула примет вид: x1, 2 = . Тогда имеем решение:

x1, 2 = = = .

x1 = = - 1, x2 = = 3.

Ответ. x1 = - 1, x2 = 3.


II метод. Корни уравнения при чётном коэффициенте b.

Для уравнения х2 + bх + с = 0, где b, откуда k = b вместо формулы x1, 2 = для нахождения корней можно использовать более простое выражение:

x1, 2 = - k.

Пример. х2 - 2х -3 = 0.

x1, 2 = 1 = 1 = 1 ± 2.

x1 = - 1, x2 = 3.

Ответ. x1 = - 1, x2 = 3.


III метод. Формула корней приведенного квадратного уравнения.

Для решения уравнения вида х2 + рх + q = 0 имеет место формула:

x1, 2 = - .

Пример. х2 - 2х - 3 = 0.

р = -2, q = -3.

x1, 2 = 1 = 1 = 1 ± 2.

x1 = - 1, x2 = 3.

Ответ. x1 = - 1, x2 = 3.


IVметод. Решение уравнения по теореме, обратной теореме Виета.

Между корнями и коэффициентами приведенного квадратного х2 + рх + q = 0 уравнения существует следующая связь:

Если числа х1 и х2 таковы, что х1 + х2 = - p, х1х2 = q, то х1 и х2 – корни уравнения.

Пример. х2 - 2х - 3 = 0.

р = -2, q = -3.

х1 + х2 = 2, х1х2 = -3.

Делители числа -3 пары чисел: 1 и -3; -1 и 3.

Первая пара дает сумму 1 + (-3) = -2 - не удовлетворяет условию х1 + х2 = 2;

вторая пара дает сумму - 1 + 3 = 2 - удовлетворяет условию х1 + х2 = 2.

х1 = - 1, х2 = 3.

Ответ.. x1 = - 1, x2 = 3.


V метод. Свойство коэффициентов.


А) Для коэффициентов уравнения вида aх2 + bх + с = 0 имеет место следующие соотношения:

если a + с = b, то x1 = - 1, x2 = - .

Пример. х2 - 2х - 3 = 0.

a = 1; b = -2; c = - 3.

Так как a + с = 1 +(-3) = - 2 = b,то x1 = - 1, x2 = - = 3 .

Ответ.. x1 = - 1, x2 = 3.


Б) Для коэффициентов уравнения вида х2 + рх + q = 0 имеет место следующие соотношения:

если 1 + q = p, то x1 = - 1, x2 = - q .

Пример. х2 - 2х - 3 = 0.

р = -2, q = -3.


Так как 1 + q = 1 +(-3) = - 2 = p , то x1 = - 1, x2 = 3.

Ответ. x1 = - 1, x2 = 3.

VI метод. Метод выделения полного квадрата.

Пример. х2 - 2х - 3 = 0.

х2 - 2х = 3.

х2 - 2∙х∙1 + 1 = 1 + 3, (х - 1)2 = 4.

А) Используя соотношение = |x|, имеем: |х -1| = 2.Откуда по определению модуля:

х - 1 = - 2 или х - 1 = 2.

х1 = -1, х2 = 3.

Ответ. x1 = - 1, x2 = 3.

Б) Уравнение вида х2 = d , если d 0, имеет корни: х1,2 = .

(х - 1)2 = 4.

(х – 1)1,2 = ; (х – 1)1,2 = ± 2.

х - 1 = -2 или х - 1 = 2.

х1 = -1, х2 = 3.

Ответ.. x1 = - 1, x2 = 3.


VII метод. Разложение левой части уравнения на множители способом группировки.


Пример. х2 - 2х - 3 = 0.

Так как q


х2 - (3 - 1) х - 3 = 0,

х2 - 3х + х - 3 = 0,

(х2 - 3х) + (х - 3) = 0,

х (х - 3) + (х - 3) = 0,

(х + 1) (х - 3) = 0 ,

х + 1 = 0 или х - 3= 0

Ответ. x1 = - 1, x2 = 3.


VIII метод. Использование следствия теоремы Безу.

Свободный член многочлена с целыми коэффициентами делится на любой целый корень многочлена.

Пример. х2 - 2х -3 = 0.

Делители числа -3: ±1, ±3.

P2 (1) = 1 - 2 - 3 = - 4 ≠ 0.

P2 (-1) = 1 + 2 - 3 = 0. x = -1 корень уравнения.

Понизим степень уравнения, разделив трехчлен х2 - 2х - 3 на двучлен x +1.



x2 - 2x - 3

-

x2 + x

x +1

x - 3




- 3x - 3

-

- 3x - 3


0


Частное x –3 приравняем к нулю.


x – 3 = 0, откуда x = 3.






Ответ. x1 = -1, x2 = 3.

IX метод. Графическое решение.



Iспособ. Строим график функции у = х2 + pх + q и находим абсциссы точек его пересечения с осью Ох. Пример. х2 - 2х - 3 = 0.

Строим график функции у = х2 - 2х - 3.

1) х0 = - = - = 1, у0 =y(x0) = y(1) = 12 - 2∙1- 3 = - 4.

Значит, вершиной параболы служит точка (1; -4), а осью параболы – прямая х = 1.

2) Возьмем на оси Ох две точки, симметричные относительно оси параболы, например х = - 1 и х = 3. Имеем: у(-1) = у(3) = 0. Построим на координатной плоскости точки (-1;0) и (3;0). Через точки (-1;0),

(1; - 4), (3;0) проводим параболу.

Корнями уравнения х2 - 2х - 3 = 0 являются абсциссы точек пересечения параболы с осью Ох; значит, корни уравнения: х1= - 1, х2 = 3.

Ответ. x1 = - 1, x2 = 3.


II способ. Преобразуем уравнение к ввиду: х2 = - pх - q, строим параболу у = х2 и прямую у = - pх - q, находим точки их пересечения (корнями служат абсциссы точек пересечения, если, разумеется, таковые имеются).

Пример. х2 - 2х - 3 = 0.

Преобразуем уравнение к виду х2 = 2х + 3. Построим в одной системе координат графики функций у = х2 и у = 2х + 3. Они пересекаются в двух точках: А(-1;1) и В(3;9). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, значит, х1= - 1, х2 = 3.

Ответ. x1 = - 1, x2 = 3.



III способ. Преобразуем уравнение к ввиду: х2 + q = - pх, строим параболу у = х2 + q и прямую у = - pх (она проходит через начало координат); находим точки их пересечения.

Пример. х2 - 2х - 3 = 0.

Преобразуем уравнение к виду х2 - 3 = 2х. Построим в одной системе координат графики функций у = х2 - 3 и у = 2х. Они пересекаются в двух точках: А (-1;-2) и В(3;6). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, поэтому, х1= - 1, х2 = 3.

Ответ. x1 = - 1, x2 = 3.

IV способ. Применяя метод выделения полного квадрата, преобразуем уравнение к виду: (х + n)2 + m = 0 и далее ( х + n)2 = - m . Строим параболу у = ( х + n)2 и прямую у = - m, параллельную оси Ох; находим точки пересечения параболы и прямой.

Пример. х2 - 2х - 3 = 0.

Преобразуем уравнение к виду х2 - 2х + 1- 4 = 0, х2 - 2х + 1= 4, (х -1)2 = 4.

Построим в одной системе координат графики функций у = (х - 1)2 и у = 4. Они пересекаются в двух точках: А (-1;4) и В (3;4). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, поэтому, х1= - 1, х2 = 3.

Ответ. x1 = - 1, x2 = 3.



V способ. Преобразуем уравнение к виду: + + = 0,т.е. х + р + = 0 и далее = -x - p.

Строим гиперболу у = ( это гипербола при условии, что q ≠ 0) и прямую у = - х - р; находим точки их пересечения..

Пример. х2 - 2х - 3 = 0.

Разделив почленно обе части уравнения на х, получим: х - 2 - = 0, х - 2 = . Построим в одной системе координат гиперболу у = и прямую у = х - 2. Они пересекаются в двух точках:

А(-1;-3) и В (3;1). Корнями уравнения являются абсциссы точек А и В, следовательно, х1= - 1, х2 = 3.

Замечание. При решении уравнения графическим способом необходимо сделать проверку найденных корней.

Ответ. x1 = - 1, x2 = 3.


X метод. Геометрический способ.




S=(x-1)2




S S=1∙(x-1)



S= 1∙(x – 1)



S =1

Пример. х2 - 2х - 3 = 0.

Представим уравнение в виде: х2 - 2х = 3.

Строим квадрат со стороной х, его площадь S = х2. Внутри его строим квадрат площадью S= (х - 1)2. Кроме полученного квадрата, внутри большого


квадрата находятся квадрат с площадью S = 1 и

два прямоугольника с площадями S = 1∙(х - 1) = х - 1.

Следовательно, площадь данного квадрата равна

сумме площадей внутренних фигур:


(х - 1)2 + 2∙(х - 1) + 1 = х2,

(х - 1)2 + 2х - 2 + 1 = х2,

(х - 1)2 + 2х - 1 = х2,

(х - 1)2 = х2- 2х + 1, но х2- 2х = 3, следовательно, (х - 1)2 = 1 + 3,

(х - 1)2 = 4, откуда сторона квадрата

х - 1 = 2, т.е. х1 = 3.

Другой корень будет х - 1 = - 2, т.е. х2 = -1.

Ответ. х1 = 3, х2 = - 1.


XI метод. Решение квадратных уравнений с применением циркуля и линейки.


Корни квадратного уравнения х2 + pх + q = 0 можно рассматривать как абсциссы точек пересечения окружности с центром Q, проходящей через точку

А (0;1), и оси Ох.

Решение уравнения сводится к построению на координатной плоскости окружности с центром Q и радиусом QA ( для этого и понадобятся инструменты) и определению абсцисс точек пересечения окружности с осью Ох.

Если QA , то окружность пересекает ось Ох в двух точках M(х1;0) и N(х2;0), уравнение имеет корни х1 , х2.

Пример. х2 - 2х - 3 = 0.

х0 = = = 1; у0 = = = - 1.

Корни уравнения х1 = -1, х2 = 3.

Ответ. х1 = -1, х2 = 3.


XII метод. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. – М., Просвещение, 1990).

Пример. х2 - 2х - 3 = 0.

Решение.

р = -2, q = -3.

Значение q

На номограмме соединяем прямой линией р = -2 и q = -3.

Номограмма дает положительный корень х1 = 3, а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из - p, т.е. х2 = - p - х1 = - ( - 2) - 3 = - 1.

Ответ. х1 = 3, х2 = -1.





1.Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. – М., Просвещение, 1990.с. 83.

2. Журнал « Математика в школе», № 6, 2008г.

3.Мордкович А.Г.Алгебра 8 класс. М., Мнемозина, 2010.

4.Кружепов А.К., Рубанов А.Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. - М., высшая школа, 1969.

5. Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. - М., Просвещение, 1972.

6. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. - М., Квант, № 4/72. С. 34.

Интернет- ресурсы:

http://www.zavuch.info/methodlib/358/75891/





Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Прочее

Целевая аудитория: 8 класс

Автор: Куц Федор Иванович

Дата: 11.06.2014

Номер свидетельства: 101924

Похожие файлы

object(ArrayObject)#862 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(276) "Методическая разработка открытого урока алгебры в 9 классе по теме "Решение целых уравнений различными методами" в рамках комплексной проверки школы. "
    ["seo_title"] => string(170) "mietodichieskaia-razrabotka-otkrytogho-uroka-alghiebry-v-9-klassie-po-tiemie-rieshieniie-tsielykh-uravnienii-razlichnymi-mietodami-v-ramkakh-komplieksnoi-provierki-shkoly"
    ["file_id"] => string(6) "168006"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1423157243"
  }
}
object(ArrayObject)#884 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(26) "Теорема Виета "
    ["seo_title"] => string(16) "tieoriema-viieta"
    ["file_id"] => string(6) "107955"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1403514746"
  }
}
object(ArrayObject)#862 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(75) "Методика решения задач ЕГЭ по математике"
    ["seo_title"] => string(49) "mietodika-rieshieniia-zadach-iege-po-matiematikie"
    ["file_id"] => string(6) "277864"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1453012953"
  }
}
object(ArrayObject)#884 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(83) "«РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОДГОТОВКЕ  УЧАЩИХСЯ К ЕНТ» "
    ["seo_title"] => string(52) "riekomiendatsii-po-podgotovkie-uchashchikhsia-k-ient"
    ["file_id"] => string(6) "209484"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "meropriyatia"
    ["date"] => string(10) "1431179042"
  }
}



ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства