Квадратные уравнения

Дарханова Майрамкул Куралбаевна - учитель математики высшей категории

Западно - Казахстанская область, Бурлинский район , г. Аксай, СШ №4

Тема: Квадратные уравнения

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний. Углубленное изучение свойств квадратных уравнений.

Образовательные цели урока: Обеспечить закрепление теоремы Виеты. Обратить внимание на решение квадратных уравнений ах²+bc+c=0 , в которых а+b + c =0; привить навыки устного решения таких уравнений.

Воспитательные цели урока: Способствовать выработке у школьников желания и потребности обобщения изучаемых фактов; развивать самостоятельность и творчество.

Оборудование к уроку:

1. Мультимедийный проектор: Задания с тестами «Квадратные уравнения», задания для работы на уроке.

2. Карточки с заданиями для самостоятельной работы.

3. Карточки с индивидуальными заданиями для учащихся.

4. Таблицы:

а) теорема Виета;

б) свойства квадратных уравнений.

Ход урока

1. Организационный момент

Учащимся сообщаются задачи урока:

1. Контроль знаний с помощью тестирования (тест на заполнение пропусков, чтобы получилось верное определение, формулировка, правило).

2. Решение задач на применение прямой и обратной теорем Виета.

3. Изучение нового свойства квадратных уравнений.

1. Повторение пройденного материала:

1. Решить уравнение: (по заранее написанному)

7х² 9х +2=0.

Решение:

D = (9)²4·7·2=25; D0.

х₁ = ; х₂ = ; х₁ = 1; х₂ = .

ответ: 1; .

1. Тест «Квадратные уравнения»

Мультимедийный проектор: Задания с тестами «Квадратные уравнения». В тетрадях записывают ответы на пропуски (многоточие)

Тест проводится в двух вариантах. На заполнение этого задания дается 5 минут.

Задания теста

Вариант 1 …уравнением называется уравнение ах2+bc+c=0, где а,b,с – заданные числа, а0,х – переменная. Уравнение х2=а, где а0, имеет корни х1 = …; х2 = … . Уравнение ах2 =0, где а0, называют … квадратным уравнением. Уравнение ах2+bc+c=0,где а0, b0, называют … квадратными уравнениями. Если ах2+bc+c=0- квадратное уравнение (а0), то b называют … коэффициентом. Корни квадратного уравнения ах2+bc+c=0 вычисляют по формуле х1,2 = . Приведенное квадратное уравнение х2+рх+q=0, совпадает с уравнением общего вида, в котором а = …, b=…, с = … . Если х1 и х2 – корни уравнения х2+рх+q=0,то справедливы формулы х1+х2 = …; х1*х2 = ….

Вариант 2 Если ах2+bc+c=0 – квадратное уравнение, то а называют … коэффициентом, с - … членом. Уравнение х2=а, где а 0, не имеет … . Уравнение вида ах2+с = 0, где а0, с0, называют … квадратным уравнением. Корни квадратного уравнения ах2+bc+c=0 вычисляют по формуле х1 = ; х2 = Квадратные уравнения ах2+bc+c=0 имеет два различных действительных корня, если b2-4ас…0. Квадратное уравнение вида х2+рх+q=0 называют … . Сумма корней приведенного уравнения равна … коэффициенту, взятому с … знаком, а произведение корней равно … члену. Если числа р, q, х1,х2 таковы, что х1+х2 =-р, х1*х2 =… , то х1 и х2 – корни уравнения …

Тесты сдаются на проверку. Ответ сравнивают с доской (проектор)

3.Задание (устно) на определение вида уравнения( задания на доске).

Вопрос учащимся: Здесь вы видите уравнения, определенные по какому- то признаку. Как вы думаете, какое из уравнений этой группы является лишним?

а) 1) 2х²-х=0; б) 1) х²-5х+1=0;

2) х²-16=0; 2) 9х²-6х+10=0;

3) 4х²+х-3=0; 3) х²+2х-2=0;

4) 2х²=0; 4) х²-3х-1=0;

Ответы:

а) 3)-лишнее, так как это полное квадратное уравнение . 1),2),4) – неполные квадратные уравнения.

б) 2)- лишнее, так как это уравнение общего вида. 1),3),4) –приведенные квадратные уравнения.

4. а) вопрос учащимся:

- Как можно решить приведенное квадратное уравнение?

( Ответ: по формуле корней квадратного уравнения и по теореме Виета.)

- Сформулировать теорему Виета (отвечают учащиеся).

Использование таблицы:

х2+рх+q=0 х1+х2= - р х1∙х2 = q

б) вопрос учащимся:

- как используется теорема Виета при решение квадратного уравнения общего вида а²+bх+с=0?

( ответ: заменить это уравнение равносильным ему приведенным квадратным уравнением).

Один из учеников записывает равносильное уравнение:

х²++= 0, (а).

Использование таблицы:

ах2+bх+c=0,a x2+=0 х1+х2= х1∙ х2 =

1. Решение задач с использованием теоремы Виета (прямой и обратной)

1. Задание: (по заранее записанному)

Дано уравнение: х²-6х+5=0.

Не решая уравнения, найти:

1. Сумму корней…

2. Произведение корней…

3. Квадрат суммы корней…

4. Удвоенное произведение…

5. = …

6. Подобрать корни…

Класс выполняет задания в тетрадях. Учитель записывает ответы, полученные учащимися, на доске.

1. Задание (устно).

а) найти сумму и произведение корней следующих уравнений:

х₁+х₂ х_1* х₂

1. х²-3х-4=0; ? ?

2. х²-9х+14=0; ? ?

3. 2х²-5х+18=0; ? ?

4. 3х²+15х+1=0; ? ?

б) для уравнений 1),2) найти подбором корни.

Ответ: 1) х₁=4, х₂=1; 2) х₁=7, х₂=2.

1. Задание:

Составить приведенное квадратно уравнение, если известны его корни (перед выполнением задания учащиеся формулируют обратную теорему Виета).

а) учитель сам решает задание, записанное на доске:

х₁=; х²+рх+q=0;

х₂=1. х²+2х+(=0;

р=2; q=;

х₁+х₂=+1= х²+2х-3=0;

р=2

х₁∙х₂₌ q

х₁∙х₂₌ ; q=.

б) Самостоятельная работа в четырех вариантах (с проверкой в классе).

Вариант I Вариант II Вариант III Вариант IV

х₁=5, х₁=5, х₁=5, х₁=

х₂=6, х₂=6, х₂=, х₂=

Записать на доске полученные уравнения (к доске приглашаются по одному ученику от каждого варианта, остальные ученики проверяют.)

ответы к вариантам:

I) х²-11х+30=0.

II) х²-х-30=0.

III) х²+х-30=0.

IV) х²+11х+30=0.

Во время самостоятельной работы два ученика работают у доски по карточкам.

Каточка 1 Составить приведенное квадратное уравнение, если известны его корни: х1=7; х2=3.

Каточка 2 Составить приведенное квадратное уравнение, если известны его корни: х1=8; х2=4

После проверки составленных уравнений необходимо сделать вывод о знаке перед свободным членом квадратного уравнения.

1. Изучение нового свойства квадратных уравнений

1. Ребята, мы с вами решали квадратные уравнения различными способами: выделением квадрата двучлена, по формуле корней, с помощью теоремы Виета, и каждый раз убеждались в том, что уравнение можно решить легче и быстрее. Сегодня мы познакомимся еще с одним способом решения, который позволит устно и быстро находить корни квадратного уравнения.

2. Задание (устно)

Назовите коэффициенты в каждом уравнении и найдите сумму коэффициентов.

сумма

коэффициентов

1. х²-5х+1=0; 1-5+1=

2. 9х²-6х+10=0; 9-6+10=13.

3. х²+2х-2=0; 1+2-2=2.

4. х²-3х-1=0; 1-3-1=

- При решение некоторых квадратных уравнений, оказывается, немаловажную роль играет сумма коэффициентов. Рассмотрим это на уравнениях, которые вы решили дома.

3. Проверка домашнего задания. Применение решения к изучению нового свойства.

(На доске записаны квадратные уравнения, решить которые нужно было дома.)

сумму

коэффициентов

х²+х2=0; х₁=1, х₂=2 0

х²+ 2х3=0; х₁=1, х₂=3 0

х²3х+ 2=0; х₁=1, х₂= 0

5х²8х+ 3=0; х₁=1, х₂= 0

Учащиеся отвечают, чему равны корни квадратного уравнения.

- Ребята, а сейчас посмотрим на эти уравнения и их корни.

Попробуйте найти какую-то закономерность:

1. в корнях этих уравнений;

2. в соответствии между отдельными коэффициентами и корнями;

3. в сумме коэффициентов.

Ученики отвечают то, что они здесь увидели (заметили):

1. первый корень равен 1;

2. второй корень равен c или ;

3. сумма коэффициентов равна 0.

- Ребята, к какому выводу вы пришли. Придумайте правило.

Делаем вывод:

Если в уравнениях ах²+bх+c=0, а+b+c=0, то один из корней равен 1, а другой ( по теореме Виета) равен .

Запись этого свойства в тетрадях имеет вид:

ах²+bх+c=0;

а+b+c=0;

х₁=1, х₂= (если a=1, то х₁=1, х₂= с).

Это свойство применяют для устного решения квадратных уравнений. Рассмотрим это на следующих примерах.

V. Решение задач на закрепление свойств.

1.Обратить внимание учащихся на уравнение, которое было решено в начале урока.

7х²х+2=0;

7=0;

х₁=1, х₂= .

2.Сделать вывод о значимости данного свойства.

VI. Самостоятельная работа

(по карточкам в двух вариантах)

Задание. Решить уравнение:

Вариант I

1. х²+23х=0;

2. 2х²+х=0;

3. -5х²+4,4х+0,6=0;

4. х²+ 2х=0;

Вариант II

1. х²+15х=0;

2. 5х²+х=0;

3. -2х²+1,7х+0,3=0;

4. х²+ 3х=0;

Проверить задания учащихся, быстро справившихся с решением. Выставляется оценка. Остальные учащиеся сдают работы на проверку.

VII. Задание на дом

1. Придумайте 3 уравнения, в которых а+b+c=0.

2. №335

VIII. Итог урока

Выставление оценок учащимся за работу на уроке.