В современном мире процессы проходят очень быстро, и поэтому от человека требуется умение быстро принимать решения, в том числе и в математических действиях. Как-то на уроке у нас возникла проблема с подсчётом суммы некоторых чисел. Если не знаешь определённые способы вычислений, то задача может оказаться непосильной, либо занять для решения очень много времени.
Гипотеза: если найти способ «быстрых» вычислений, то его можно будет применить при решении ряда задач, тем самым сократить время при их решении.
Цель: определить способ решения задач на нахождение суммы чисел, позволяющий экономить время при их решении.
Для реализации цели и проверки гипотезы я поставил следующие задачи:
1. Изучить литературу по данному вопросу.
2. На основе анализа условий и решений задач определить более простые способы их решения
3. Провести эксперимент.
Значимость работы заключается в том, что найдены способы быстрого счёта при решении задач на нахождение суммы чисел, которые могут применяться учащимися разных классов.
Новизна работы. Найденные способы решения задач отличаются от традиционных способов формулировкой и простотой применения.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Просмотр содержимого документа
«Исследовательская работа: "Нестандартные способы вычисления". »
Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №1 с. Ивановка».
Исследовательская работа:
Автор: Хакбердиев Амир,
ученик 6Б класса.
Руководитель: Лебедева Л. Б.
учитель математики.
С. Ивановка
2014 год.
Содержание.
Введение……………………………… 3.
2. Теоретическая………………………….4.
3. Практическая часть…………………5-7.
Вывод формул.
Эксперимент.
4.Заключение……………………………...8.
5. Литература……………………………..9.
6. Приложение…………………………10-15.
Введение.
В современном мире процессы проходят очень быстро, и поэтому от человека требуется умение быстро принимать решения, в том числе и в математических действиях. Как-то на уроке у нас возникла проблема с подсчётом суммы некоторых чисел. Если не знаешь определённые способы вычислений, то задача может оказаться непосильной, либо занять для решения очень много времени.
Гипотеза: если найти способ «быстрых» вычислений, то его можно будет применить при решении ряда задач, тем самым сократить время при их решении.
Цель: определить способ решения задач на нахождение суммы чисел, позволяющий экономить время при их решении.
Для реализации цели и проверки гипотезы я поставил следующие задачи:
Изучить литературу по данному вопросу.
На основе анализа условий и решений задач определить более простые способы их решения
Провести эксперимент.
Значимость работы заключается в том, что найдены способы быстрого счёта при решении задач на нахождение суммы чисел, которые могут применяться учащимися разных классов.
Новизна работы. Найденные способы решения задач отличаются от традиционных способов формулировкой и простотой применения.
Теоретическая часть.
В основе моей работы лежит идея подсчёта натуральных чисел от 1 до 100, которую применил Карл Гаусс в десятилетнем возрасте, когда школьный учитель предложил классу сложить все числа от одного до ста. Пока он диктовал задание, у Гаусса уже был готов ответ. На его грифельной доске было написано: 101*50=5050.
Очень рано раскрылись дарования у Карла Гаусса, позднее ставшего одним из крупнейших математиков XIX века (его даже называли «королем математиков»).
Рассказывают, что в возрасте трех лет он заметил ошибку, сделанную его отцом в расчетах. А семи лет мальчик пошел в школу. В дальнейшем Гаусс сделал много замечательных открытий в математике.
В новом учебнике Математика. Арифметика. Геометрия. 5 класс рассматривается решение задач с применением метода Гаусса – удивительного метода.
Способ, который применил маленький Карл, был следующим: первое число сложено с последним, второе с предпоследним и так далее (1+100=101, 2+99=101), и подсчитано количество таких пар, их 50. Чтобы понять и уметь применять метод Гаусса, рассмотрим следующие задачи.
Практическая часть.
Вывод формул
Задача 1.Найдите сумму всех чисел от 1 до 10.
Решение:
+1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
10+ 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1
11+11 +11+11+11+11+11+11+11+11
Итак, получилось 10 пар, по11, но так как числа брали 2 раза, то надо 10 : 2 = 5. Значит 11* 5 = 55. Можно так: 10:2*11=55.
Если требуется сложить натуральные числа от 1 до какого-либо чётного числа, то для определения количества пар достаточно последнее чётное число разделить на 2. А как поступить, если последнее число нечётное? Например, необходимо сложить натуральные числа от 1 до 111? На основе метода К. Гаусса сложим 1 и 111, 2 и 110, 3 и 109 и так далее. Каждая такая сумма равна 112. Подсчитаем количество пар. Здесь возникает проблема, так как 111 на 2 не делится и при подсчёте пар одно число остаётся без пары.
Возникает вопрос: сколько получится пар и какое число останется без пары? Чтобы определить количество пар, надо из последнего числа вычесть первое и результат разделить на 2, т.е. (111-1) : 2 = 110 : 2 = 55 (пар), тогда число, стоящее посередине ряда (без пары) будет равно 56. Можно сделать иначе: 1+111 = 112, затем 112 : 2 = 56 – это среднее число, тогда количество пар равно 55 (112*55 + 56 = 6 216).
Однако, мы сделали по-другому: мы решили найти сумму чисел от 1 до 110, а затем к полученному результату прибавить 111. (1+110=111, 111 * (110 : 2) + 111= 6 216)
Таким образом, формула для подсчёта подобных сумм выглядит следующим образом:
1) для подсчёта суммы натуральных чисел от 1 до некоторого чётного числа формула такая: (1 + Ч)*Ч/2, где Ч - наибольшее чётное число.
2) для подсчёта суммы натуральных чисел от 1 до некоторого нечётного числа формула такая: Н*(Н-1)/2 +Н, где Н –наибольшее число в сумме.
Предлагаю рассмотреть задачи, если сумма натуральных чисел начинается не с 1, а с 2-х или 3-х?
Для определения способов решения исследуемых задач нам необходимо было подобрать задачи данного вида, исследовать их на наличие закономерностей и описать эти закономерности.
Задача 2.
Найти сумму всех натуральных чисел от 2 до 17.
2+3+…+17=
Такой пример позволяет легко определить количество пар равных сумм: их 8. Тогда решение: (2+17)*8=152
Для определения закономерности необходимо подобрать ещё несколько примеров:
2+3+4+5+6+7 . Пар получается 3, попытаемся найти закономерность:
2+3+4+5+6+7 = (2+7)*(7-2+1)/2) = 9*3 = 27.
Применим данный способ к примеру в задаче 1.
2+3+…+17= (2+17)*(17-2+1)/2 ) = 19*8 = 152. Найденную закономерность можно описать с помощью формулы: (П+Н)*(( Н - П +1)/2), где П = 2, Н - наибольшее число в сумме, а П – первое число суммы.
Задача 3.
Проверим, подойдёт ли эта формула для случая, если П = 3, 4 и т.д. Обратим внимание на то, что последнее наибольшее натуральное число в ряду складываемых чисел в сумме с первым должно быть нечётным.
Непосредственное сложение приводит нас к такому же результату.
Задача 5.
Определим формулу для случая, когда сумма первого и последнего чисел ряда будет чётной.
Вычислим: 2+3+…+18. Здесь останется число без пары. Способ определения среднего числа трудоёмкий, поэтому лучше сложить все числа до последнего числа, а затем последнее число прибавить к полученной сумме.
2+3+…+18=(2+3+…+17)+18=19*16/2+18=170.
В данном случае применяем формулу, выявленную ранее (П+Н)*((Н-П+1)/2)+Ч и к полученному результату прибавляем наибольшее чётное число.
Таким образом, мы определили формулы для решения данного вида задач на сложение всех натуральных чисел от заданного числа.
Эксперимент.
Далее мы провели эксперимент, в котором участвовали 19 учеников 5А класса, 22 ученика 5Б класса и 19 учеников 5В класса (декабрь 2012 года). Учащимся было предложено в течение получаса решить следующие примеры:
1) 1+2+3+…+300=
2) 1+2+3+…+301=
3) 2+3+4+…+352=
4) 2+3+4+…+353=
5) 3+4+5+…+300=
6) 4+5+6+…+300=
Результаты эксперимента представлены в таблице (Приложение).
Со всей работой справился 2 ученика из 5А класса, 6 учеников из 5Б класса, и 4 ученика из 5В класса, следуя способу Гаусса. Ещё 2 человека верно решили пример №5.
Через некоторое время (январь 2013 года) мы с учителем математики предложили найденные нами способы решения учащимся 5-х классов, и результат был другим. Из 60 человек все примеры решили 38 человек, 12 допустили вычислительные ошибки и 10 человек всё - таки не справились с заданиями (Приложение).
Также мы дали учащимся совет: если вам необходимо найти закономерность при решении громоздкой задачи, то можно попробовать обнаружить эту же закономерность на аналогичной задаче с более простыми данными, а затем применить найденное решение к заданной задаче.
Заключение.
В результате исследования определён способ решения задач на нахождение суммы последовательных натуральных чисел, позволяющий экономить время при их решении. Данные формулы можно использовать: первую, если последовательность натуральных чисел с 1 до любого чётного числа.(1+Ч)*Ч/2,где Ч- наибольшее чётное число. Вторую, если последовательность натуральных чисел с 1 до любого нечётного числа (1+Ч)*Ч/2+Н, где Ч- наибольшее чётное число в сумме, Н- наибольшее число суммы. Третью формулу применяем если последовательность натуральных чисел с любого числа до любого числа имеет чётное число слагаемых, (П+Н)*( Н - П +1)/2), где Н - наибольшее число в сумме, а П – первое число суммы. Если же количество слагаемых нечётное, то (П+Н)*( Н - П +1)/2)+Ч, где Ч- наибольшее чётное число.
Цель работы достигнута, гипотеза подтвердилась.
Перспективы работы: в дальнейшем мы попытаемся найти способ решения аналогичных задач с шагом равным 2, 3 , 4 и так далее.
Теоретическая и практическая значимость работы состоит в том, что определены формулы, которые успешно могут применяться для нахождения суммы последовательных натуральных чисел. Результаты эксперимента тому доказательство. Зная формулы, большая часть пятиклассников справилась с заданиями правильно.
