Что такое геометрическая прогрессия

Геометри́ческая прогре́ссия, последовательность отличных от нуля чисел

a1​,a2​,a3​,a4​,…,у которой частное от деления последующего члена на предыдущий постоянно:an​an+1​​=qдля n=1,2,…. Число q называется знаменателем данной геометрической прогрессии. Часто принимается эквивалентное определение: геометрической прогрессией называется числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же отличное от нуля число q (называемое знаменателем геометрической прогрессии).

Каждый член an​ геометрической прогрессии выражается через её первый член a1​ и знаменатель q формулой

an​=a1​qn−1,откуда следует, что любая геометрическая прогрессия имеет вид

a,aq,aq2,aq3,…,где a=0,q=0.

Если q0, то геометрическая прогрессия является знакочередующейся (т. е. её соседние члены имеют разные знаки); если q0, то все её члены имеют один и тот же знак. Если q=1, то геометрическая прогрессия постоянна (т. е. все её члены равны). Если первый член a1​ геометрической прогрессии положителен и q1, то эта геометрическая прогрессия неограниченно возрастает. Если a1​0 и 0q1, то геометрическая прогрессия убывает, причем её члены стремятся к нулю.

Любой член геометрической прогрессии, начиная со второго, связан с предыдущим и последующим членами равенством

an2​=an−1​an+1​.(1)В случае, когда все члены геометрической прогрессии положительны, это равенство равносильно равенству an​=an−1​an+1​​, т. е. любой член, начиная со второго, равен геометрическому среднему предыдущего и последующего членов (отсюда происходит термин «геометрическая прогрессия»). Свойство (1) является характеристическим для геометрической прогрессии, т. е. если последовательность отличных от нуля чисел a1​,a2​,… такова, что при всех n⩾2 имеет место равенство (1), то эта последовательность является геометрической прогрессией.

Сумма Sn​=a1​+a2​+…+an​ первых n членов геометрической прогрессии со знаменателем q выражается формулой

Sn​=⎩⎨⎧​a1​q−1qn−1​=a1​1−q1−qn​,na1​,​ если q=1, если q=1.​Если ∣q∣1, то при неограниченном возрастании n сумма Sn​ стремится к пределу 1−qa1​​. Отсюда следует, что рядa+aq+aq2+aq3+…сходится при ∣q∣1, и его сумма (обычно называемая суммой бесконечной геометрической прогрессии) в этом случае равна 1−qa​.

Часто рассматривают конечные геометрические прогрессии, т. е. конечные числовые последовательности a1​,a2​,…am​, у которых все члены отличны от нуля и частное от деления последующего члена на предыдущий постоянно; каждая конечная геометрическая прогрессия может быть продолжена до бесконечной.