Задачи на проценты, смеси и сплавы

Задачи на проценты, смеси и сплавы

Учитель математики: Гришина Л. Е.

Пусть каждый день и каждый час
Вам новое добудет.
Пусть добрым будет ум у Вас,
А сердце умным будет.

(С. Маршак)

Цели урока:

Обучающая – обобщить и систематизировать знания по теме «Проценты»; сформировать умение решать задачи на проценты, смеси и сплавы; отработать навыки их решения.

Развивающая – развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в изменённой ситуации; развивать познавательные способности учащихся через усвоение способов решения задач.

Воспитательная – воспитать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности, привычку к систематическому интеллектуальному труду, стремление к познанию.

1. Организационный этап.

Приветствие. Проверка готовности учащихся к занятию. Организация внимания.

2. Создание проблемной ситуации.

Ребята, сегодня необычное занятие. Решив задание, узнаете зашифрованное слово.

Задания.

1)Найдите 25% от 300
2) Выразите десятичной дробью 112%
3) Выразите в процентах 1,35
4) Найдите 12% от 7000
5) Найдите 50% от 4 км
6) Выразите 67% дробью
7)Найдите 20% от 5 кг

Е. 2 км
Н. 0,67
О. 135
П. 75
Р. 1,12
Т. 1 кг
Ц. 840

На столе несколько карточек. На них записаны ответы к устным заданиям, а с обратной стороны написаны буквы.
Решив все задания, открываем буквы. ПРОЦЕНТ.
Учитель. Да, зашифрованное слово ПРОЦЕНТ.

Итак, ребята, тема сегодняшнего урока – «Задачи на проценты, смеси и сплавы».

Перечислите, что вы должны знать , что должны уметь и чему должны научиться на сегодняшнем занятии?

Примерные ответы учащихся:

Знать, что такое процент, основные задачи на проценты, уметь решать задачи на проценты, научиться решать задачи на смеси и сплавы. (сообщить цели занятия)

Процент – это универсальная величина, которая появилась из практической необходимости измерения различных величин. Она очень важная в курсе математики.

– Ребята, как вы думаете, в повседневной жизни, где встречаются проценты? Примерные ответы учащихся:

– В банках, на вкладах с разной процентной ставкой, при получении кредитов.

Учитель: Верно, в современных условиях формирования рыночных отношений, мы правильно должны уметь обращаться деньгами, выбирать сберегательные банки, где нам будут предоставлять вклады по более высоким процентным ставкам.

А также в повседневной жизни встречается очень много задач на нахождение процентного отношения чисел, и не только денежных. Полученные знания на уроках математики вам помогут в дальнейшем при решении задач по химии, физике. При сдаче ЕНТ часто дают текстовые задачи на проценты. Поэтому, наша цель, научиться решать их уже сейчас, и в дальнейшем уметь применять полученные знания.

3. Систематизация и обобщение ранее изученного материала.

Повторение. Проверочный тест:

I вариант
5 % – это	1) 0,05	2) 0,5	3) 0,005
0, 134 – это	1) 134%	2) 1,34%	3) 13,4%
25% класса – это	1) половина класса	2) пятая часть класса	3) четверть класса
5,68 – это	1) 56,8%	2) 568%	3) 5680%
40% от 70 равно	1) 28	2) 30	3) 175
1% от метра	1) 100 см	2) 1 см	3) 0,01см

II вариант
7 % – это	1) 0,7	2) 0,07	3) 0,007
0, 976 – это	1) 97,6%	2) 9,76%	3) 976%
50% класса – это	1)четверть класса	2) половина класса	3) пятая часть класса
13,5 – это	1) 135%	2) 1,35%	3) 1350%
30% от 80 равно	1) 50	2) 110	3) 24
1% от центнера	1) 100 кг	2) 0,01 кг	3) 1 кг

Ответы: (на экране) I вариант: 1) – 1; II вариант: 1) – 2;

2) – 3; 2) – 1;

3) – 3; 3) – 2;

4) – 2; 4) – 3;

5) – 1; 5) – 3;

6) – 2. 6) – 3.

Учащиеся обмениваются заданиями, проверяют работы, подсчитывают количество правильных ответов.

Итак,

• Что называется процентом?

• Как представить проценты в виде дроби или числа?

• Как представить число в виде процентов?

Учитель: Какие три основные задачи на проценты вы знаете?

Предполагаемый ответ:

Нахождение процентов от данного числа. (Найти 25% от 120. Ответ: 30)

Нахождение числа по его процентам. (Найти число, если 15% его равны 30. Ответ: 200)

Нахождение процентного отношения двух чисел. (На сколько процентов 10 больше 6? Ответ: 66_%. На сколько процентов 6 меньше 10? Ответ: на 40%.)

Из предложенных задач выберите задачи каждого вида.

Задача 1. В семенах сои содержится 20 % масла. Сколько масла содержится в 700 кг сои?

Задача 2. Из хлопка-сырца получается 24 % волокна. Сколько надо взять хлопка-сырца, чтобы получить 480 кг волокна?

Задача 3. Надо вспахать участок поля в 500 га. В первый день вспахали 150 га. Сколько процентов составляет вспаханный участок от всего участка?

Задача 4. В 400 г воды растворили 80 г соли. Какова концентрация полученного раствора?

Задача 5. Концентрация серебра в сплаве составляет 87%. Сколько серебра в 300 г сплава?

Задача 6. Имеется два сплава, в одном из которых содержится 30%, а в другом 50% золота. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 10 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 42% золота?

К какому виду отнести задачу №6? (Задача на сплавы)

Решите её.

4. Задачи на смеси и сплавы.

Решение задач на смеси и сплавы вызывают затруднения при решении у многих учащихся. Многие из них такие задачи не решают, а ставят ответы наугад. Поэтому необходимо уделить особое внимание этой теме.

Решение этих задач связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание».

Концентрацией вещества называют отношение массы этого вещества к массе всей смеси (раствора, сплава).

Концентрация вещества выражается в процентах. Задачам этого типа уделялось большое внимание в старинных рукописях и «Арифметике» Л.Ф. Магницкого. Старинный способ решения задач позволяет получить правильный ответ.

Решение:

Друг над другом пишутся проценты имеющихся сплавов, слева от них, примерно посередине, проценты нового сплава, который должен получиться после смешения. Соединив записанные числа черточками, получим такую схему:

30

42

50

Рассмотрим пары 42 и 30; 42 и 50; В каждой паре из большего числа вычтем меньшее, результат запишем в конце соответствующей черточки.

Получится такая схема:

30 8

42

50 12

Из этой схемы ясно, что первого сплава нужно взять 8 частей – это 10 кг (по условию), а второго 12 частей. Значит _ = 15 кг

Обоснование старинного способа решения задач на смеси.

Пусть требуется смешать а%-й и b%-й растворы кислот, чтобы получить с%-й раствор. Пусть х г - масса а%-го раствора, у г – масса b%-го раствора.

г – масса чистой кислоты в 1 растворе.

г – масса чистой кислоты во 2 растворе.

г – масса чистой кислоты в смеси.

Получаем , откуда ax + by = c(x +y), сгруппируем слагаемые с х и у, получим (b – c)y = (c – a)x. Отсюда получаем пропорцию:

x : y = (b – c) : (c – a).

Такой же вывод дает схема:

а b - c

с

b c - a

x : y = (b – c) : (c – a).

Современные задачи на смешение тоже могут быть решены этим старинным способом.

Задача:

Имеются два раствора 68% и 78% серной кислоты. Сколько надо взять каждого раствора, чтобы получить 100 г 70%-го раствора серной кислоты?

Изобразим схему:

68 8

70

78 2

Найдем, в каком отношении нужно взять каждого раствора. Из схемы ясно, что 68%-го раствора следует взять 8 частей, 78%-го раствора – 2 части.

100 : 10 = 10г – на 1 часть,

10 = 80г – 68% кислоты,

10 = 20г – 78% кислоты.

Аналогично можно решить следующие задачи:

1. Имеются два слитка сплавов меди и олова. Первый содержит 40% меди, второй -32% меди. Какого веса должны быть эти слитки, чтобы после их совместной переплавки получить 8 кг сплава, содержащего 35% меди?

Ответ: 3 кг; 5 кг;

Решение: изобразим схему

40 3

35

32 5

Из схемы ясно, что первого следует взять 3 части, а второго 5 частей.

3+5=8, 8:8=1кг-на одну часть, следовательно первый слиток должен быть весом 3кг, второй 5кг.

2. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля в 5 % и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием никеля в 30%?

3. Один раствор содержит 30% (по объему) азотной кислоты, а второй 55% азотной кислоты. Сколько нужно взять первого и второго растворов, чтобы получить 100л 50%-ного раствора азотной кислоты?

Вот одна из часто встречаемых задач на практике:

Имеется 240г 70%-ного раствора уксусной кислоты. Нужно получить 6% -ый раствор кислоты. Сколько граммов воды (0%-ый раствор) нужно прибавить к имеющемуся раствору?

Решение:

Изобразим схему:

0 64

6

70 6

240 : 6 = 40г составляет одна часть, т.к. из схемы ясно, что уксусной кислоты следует взять 6 частей, воды 64 части.

40 = 2560г воды.

Ответ: 2560г воды.

Аналогично можно решить задачи, предложенные в тестах при подготовке к ЕНТ.

Вам предлагаются задачи на проценты. Из этих задач вам надо выбрать задачи на смеси и сплавы, пронумеровать их по-новому

5. Следующий этап нашего занятия – игра «Крестики-нолики».

Правила игры: Команда, у которой больше жетонов, имеет право первого ход, выбирают ячейку поля. И обе команды решают задачу на смеси и сплавы под этим номером. Правильно и первые решившие задачу команды в соответствии ячейки ставят свой «символ». Цель игры – получить в ряд 3 своих символа или набрать наибольшее количество своих символов.

Тесты по теме «Задачи на проценты»

1. В растворе содержится 40% соли. Если добавить 120 г соли, то в растворе будет содержаться 70% соли.

Найдите массу соли в первоначальном растворе.

А) 120 г; В) 48 г; С) 60 г; D) 24 г; Е) 64 г.

2. При плане 35 деталей в день рабочий сделал 42 детали. На сколько процентов он выполнил план?

А) 80; В) 125; С) 130; D) 20; Е) 120.

3. В магазин привезли 14 т капусты, 30% всей капусты продали. Сколько капусты осталось?

А) 10,2 т; В) 4,2 т; С) 8,3 т; D) 9,8 т; Е) 5 т.

4. Найдите число, если 13% этого числа равно 1,69.

А) 1,3; В) 16,9; С) 13; D) 0,13; Е) 169.

5. К 15 литрам 10% раствора соли добавили 5% раствор соли и получили 8% раствор. Какое

количество литров 5% раствора добавили?

А) 10л. В) 12л. С) 15л. D) 8л. Е) 7л.

6. Морская вода содержит 5% (по массе) соли. К 40 кг морской воды добавили пресной воды и

содержание соли в полученной воде составило 2%. Масса добавленной пресной воды равна:

А) 60кг. В) 16кг. С) 40кг. D) 28кг. Е) 80кг.

7. На сколько градусов 30% прямого угла меньше 20% развёрнутого угла?

А) на 29º; В) на 9º; С) на 27º; D) на 36º; Е) на 90º.

8. Морская вода содержит по весу 5% соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к

80кг морской, чтобы содержание соли в последней составляло 2%?

А) 122кг. В) 121кг. С) 120кг. D) 123кг. Е) 130кг.

9. Найдите неизвестное число, если 60% числа z равны 108.

А) 706; В) 648; С) 530; D) 100; Е) 180.

10. Найдите неизвестное число х, если 40% числа х равны 52.

А) 80; В) 2080; С) 160; D) 130; Е) 70.

11. Свежая малина содержит 85% воды, а сухая – 20%. Найдите массу сухой малины, если свежая была 36 кг.

А) 25,4 кг; В) 6,875 кг; С) 6 кг; D) 6,75 кг; Е) 6,7 кг.

12. Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 10%, а в другом 20% меди. Сколько нужно взять первого и второго сплавов, чтобы после их сплавления вместе получить 15 кг нового сплава, содержащего 14% меди?

А) 10кг, 5кг. В) 6кг, 9кг. С) 7кг, 8кг. D) 13кг, 2кг. Е) 14кг, 5кг.

13. Чтобы получить 50% раствор кислоты, надо к 30 г 15%раствора кислоты добавить 75% раствор

этой же кислоты. Найти количество 75% раствора кислоты, которое надо добавить.

А) 42г. В) 6г. С) 150г. D) 3г. Е) 9г.

14. Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 80кг

морской, чтобы содержание соли в последней составляло 4%?

А) 22кг. В) 15кг. С) 17кг. D) 18кг. Е) 20кг.

15. Найдите 12% от числа 900. А) 1; В) 1080; С) 7500; D) 54; Е) 108.

16. Длина прямоугольника 40 см, ширина составляет 60% его длины. Найдите ширину прямоугольника.

А) 34 см; В) 35 см; С) 26 см; D) 25 см; Е) 24 см.

17. На даче 30 фруктовых деревьев, что составляет 75% всех деревьев. Найдите количество деревьев на даче.

А) 40; В) 120; С) 150; D) 250; Е) 60.

18. Катя увеличив число 145 на 60% вычислила 25% от последнего числа. Чему равно число вычисленное

Катей?

А) 21; В) 180; С) 51; D) 160; Е) 58.

19. Один раствор содержит 30% (по объёму) азотной кислоты, а второй 55% азотной кислоты. Сколько нужно

взять первого и второго растворов, чтобы получить 100 л 50%-ного раствора азотной кислоты?

А) 25л, 75л. В) 20л, 80л. С) 40л, 60л. D) 30л, 70л. Е) 22л, 78л.

20. Имеет лом стали двух сортов с содержанием никеля в 5% и 40%. Сколько нужно взять каждого из

этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием никеля в 30%?

А) 40т, 85т. В) 40т, 100т. С) 35т, 105т. D) 45т, 95т. Е) 50т, 120т.

6. Итог. Награждение. Сегодня у нас проигравших нет, вы узнали новый способ решения задач на смеси и сплавы. Если вам занятие понравилось, то наклейте лист ……цвета, не понравилось ….цвета, так себе……. цвета.(рефлексия)