Задачи с параметрами для 10-11 класса

Задачи  с  параметрами

(10 – 11  классы)

 

       Параметры – это те же числа, просто заранее не известные.

 

1.  Линейные  уравнения  и  неравенства  с  параметрами

 

Линейная функция:    - уравнение  прямой с угловым коэффициентом  .  Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси  . 

 

Линейные  уравнения  с  параметрами

   Уравнение       

 

Если  , уравнение имеет единственное решение.

 

Если  , то уравнение не имеет решений, когда ,   и уравнение имеет бесконечно много решений, когда  .

 

 

 

Пример 1.  При всех значениях параметра  а  решить  уравнение:  (a² – 4)x = a + 2     

 

Решение:  Разложим коэффициент при  на множители. .

 

 

Если , уравнение имеет единственное решение:  .

 

Если  , уравнение не имеет решений.

 

Если  , то уравнение имеет бесконечно много решений  .

 

 

 

Пример 2.  При всех значениях параметра  а  решить  уравнение:  .

 

Решение:  ОДЗ:  . При этом условии уравнение равносильно следующему:   .   Проверим принадлежность к ОДЗ: , если  .  Если же , то уравнениене имеет решений.

 

 

 

Пример 3.  При всех значениях параметра  а  решить  уравнение: 

                     |х  + 3| - a|x – 1| = 4.

 

Решение:  Разобьем числовую прямую на 3 части точками, в которых выражения под знаком модуля обращаются в нуль и решим 3 системы:

 

 

 

1)    , если  . Найденный будет решением, если  .

 

 

 

2)    , если  . Найденный  удовлетворяет нужному неравенству, следовательно,  является решением при  .  Если же 

 

 

, то решением является любой   .

 

 

 

3)    , если  . Найденный  не удовлетворяет нужному неравенству, следовательно,  не является решением при  .  Если же 

 

 

, то решением является любой   . Сформируем

 

 

Ответ:        при  ;         при  ;  

 

  при    ;    является также решением при всех  .

 

 

 

 

Пример 4.  Найти все  а ,  при каждом из которых хотя бы одно из решений уравнения   15x – 7a = 2 – 3ax + 6a     меньше  2  .                          

 

 

Решение:  Найдем решения уравнения при каждом .     , если  .  Решим неравенство:     

 

. 

 

При  уравнение не имеет решений.

 

Ответ:   а  (-5 , 4) .

 

 

 

Линейные  неравенства  с  параметрами

  неравенства     ,   ,    ,     

 

 

 

Пример 1.  Решить неравенство:  

 

Если  , то .   Если  , то .  Если  , то  при  решением  является любой  , а  при  решений нет.

 

Аналогично решите остальные неравенства в рамочке.

 

 

 

Пример 2.  Для всех значений параметра   а   решить неравенство  

               

                               .

 

 

 

Решение.  .  Если скобка перед   положительна, т.е. при , то  .  Если скобка перед   отрицательна, т.е. при

 

 

, то  .  Если же   или  , то решений нет.

 

 

 

Пример 3.  Для всех значений параметра   а   решить неравенство 

                  

                     |х – а| – |x + a| a .

 

 

 

Решение.   При   имеем неверное неравенство  , т.е. решений нет.   Пусть  , тогда при   оба модуля раскрываются с минусом и получаем  неверное неравенство  , т.е. решений нет.  Если   , то первый модуль раскрывается с минусом, а второй с плюсом  и получаем  неравенство  , т.е. , т.е., решением является любой  .  Если   оба модуля раскрываются с плюсом и получаем  верное неравенство  , т.е. , решением является любой  . Объединяя оба ответа, получим, что при    .

Пусть  , тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа  . Т.о., при  решений нет.

 

 

Ответ.  При    , при   решений нет.

 

 

Замечание.  Решении данной задачи получается быстрее и проще, если использовать геометрическую интерпретацию модуля разности двух чисел, как расстояние между точками.  Тогда выражение в левой части можно интерпретировать, как разность расстояний от точки  х  до точек  а  и  -а .

 

 

 

Пример 4.  Найти все  а ,  при каждом из которых все решения неравенства    удовлетворяют неравенству   .      

 

 

Решение.  Решением неравенства   является множество  , а решением неравенства   является множество  . Чтобы

 

удовлетворить условию задачи, нужно, чтобы множество А входило в множество В  (). Это условие выполнится тогда и только тогда, когда  

 

.

 

 

Ответ.  .

 

 

 

Пример 5.  Найти все значения   a ,  при которых неравенство        выполняется  для всех   x   из отрезка  [1, 3] .

 

Решение.  Дробь – меньше нуля между корнями, поэтому надо

 

выяснить, какой корень больше.   и 

.  Т.о.,  при  и чтобы неравенство выполнялось  для всех   x   из отрезка  [1, 3], нужно, чтобы 

 

 

. 

 

 

При  и чтобы неравенство выполнялось  для всех   x   из отрезка  [1, 3], нужно, чтобы  . 

 

 

При   (когда корни совпадают) решений нет, т.к. в этом случае неравенство приобретает вид :   .

 

 

Ответ.  .

 

 

 

Пример 6.  При каких значениях параметра   а   неравенство                            справедливо при всех отрицательных значениях   х  ?

 

 

Решение.  Функция   монотонно возрастает, если коэффициент при  неотрицательный, и она монотонно убывает, если коэффициент при  отрицательный. 

 

 

Выясним знак коэффициента  при .  .  .

 

 

Пусть  . Тогда функция   монотонно не убывает, и условие задачи будет выполнено, если     

 

 

.  Вместе с условиями  получим :  .

 

 

Пусть   . Тогда функция   монотонно убывает, и условие задачи никогда не может быть выполнено. 

 

 

Ответ.  .

 

2.  Векторы на плоскости

 

 

Пусть два вектора на плоскости заданы своими координатами: 

                                              .

 

Модуль (длина) вектора:    .    

 

Скалярное произведение:      ,     

 

 где   - угол между векторами.

 

Условие параллельности двух векторов:  .   Т.е.

у параллельных векторов координаты пропорциональны.

 

Условие перпендикулярности двух векторов:  .   Т.е. два вектора  перпендикулярны тогда и только тогда,  когда их скалярное произведение равно нулю.

Если вектор задан своими концами    и  ,  то вектор  .

 

Задача 1.  Через точку   провести прямую, параллельную вектору  .

Решение.  Пусть точка   - текущая точка искомой прямой. Тогда  вектор   параллелен  вектору  .  Тогда выписывая условие параллельности, получим уравнение искомой прямой: 

. 

 

Переписав в виде    ,     получим уравнение с угловым коэффициентом , проходящей через заданную точку  .

 

 

Задача 2.  Через точку   провести прямую, перпендикулярную вектору  .  Вектор  , перпендикулярный прямой,  называется  нормальным вектором к прямой илинормалью  к прямой.

 

Решение.  Пусть точка   - текущая точка искомой прямой. Тогда  вектор   перпендикулярен  вектору  .  Тогда выписывая условие перпендикулярности, получим уравнение искомой прямой: 

. 

Раскрыв скобки и обозначив число  ,  получим так называемое общее уравнение прямой:      

.

В этом уравнении коэффициенты при   и    являются координатами  нормального вектора прямой.

 

Всякая прямая    разбивает плоскость на две полуплоскости, где   с одной стороны прямой и   с другой стороны. При этом точки той

части  плоскости, куда смотрит вектор , удовлетворяет неравенству  .  Поэтому:

В направлении вектора  функция   возрастает, а в направлении вектора   она убывает.

 

 

Пример 5.  Написать уравнение прямой, проходящей через точку  параллельно прямой  .

Решение.  У параллельных прямых нормальные вектора тоже параллельны, т.е. .  Согласно задаче 2 получим искомое уравнение:              или      .

 

3. Системы  двух  линейных  уравнений  с  параметрами

 

   Система  уравнений       

 

Решениями  системы двух  линейных  уравнений являются точки пересечения двух прямых:   и    . 

 

 Возможны 3 случая: 

 

1. Прямые не параллельны . Тогда и их нормальные вектора не параллельны, т.е.     .  В этом случае система имеет единственное решение.  

 

 

 

 2.  Прямые параллельны и не совпадают.  Тогда и их нормальные вектора параллельны, но сдвиги различны,  т.е.       .   

 

 

 

В этом случае система решений не имеет .  

 

3.  Прямые  совпадают.  Тогда их нормальные вектора параллельны и сдвиги совпадают,  т.е.     .  В этом случае система имеет бесконечно много решений – все точки прямой.    

 

Пример 1.  При всех значениях  а  и  b  решить систему уравнений 

.

 

 

 

 

Решение.  Выразим из первого уравнения   и подставим во второе уравнение. Получим:  . 

 

 

Если   - единственное решение.  Если   , то если    , то решений бесконечно много:     .   Если 

 

 

же , то решений нет.

 

 

 

 

Пример 2.  При каком значении  параметра   а   система  уравнений 

                       

 

                           2(a + 1)x + 2y = 21

                          5(a - 3)x +  y = 13            не имеет решений?    

 

 

 

Решение.  Система не имеет решений, если   .   

 

Т.е.  .

 

Ответ.   .

 

 

 

 

Пример 3.  При всех значениях  а  решить систему уравнений 

 

 

 

Решение.  Система равносильна совокупности двух систем: 

 

 

Прямые параллельны , если     .   При этом прямые не совпадают, поэтому при       решений нет.

 

 

Если   ,  то выражая    из второго уравнения и подставляя в первое, получим:     .   

 

 

 

 

Пример 4.  Найти все такие значения  а,  что для любого значения  b

                     

                      найдётся  хотя бы  одно  с  такое, что система уравнений

                   

 

 

                          имеет хотя бы одно решение.

 

 

Решение.  Прямые не параллельны, если  

 

В этом случае система имеет единственное решение при любом  c.  

 

По условию задачи система должна иметь решение при всех  b.

 

Если   то  система принимает вид:    .  Чтобы при     система также имела решения, нужно, чтобы уравнение    относительно  c  имело хотя бы одно решение. Т.о., дискриминант этого уравнения должен быть неотрицательным, т.е.  

 

Аналогично, если   то  система принимает вид:    Чтобы при     система также имела решения, нужно, чтобы уравнение 

 

  относительно  c  имело хотя бы одно решение. Т.о., дискриминант этого уравнения должен быть неотрицательным, т.е.  

 

 

4.  Системы  двух  линейных  неравенств  с  параметрами

 

 

 

Пример 1.   При каких значениях  а  система неравенств

                    

 

                             не имеет решений?               

 

 

Решение.   Система имеет решения       только если    . 

 

Ответ:     при     решением будет любой  ;

                

                   при    решений нет.      

 

 

 

Пример 2.   При каких значениях  а  система неравенств     

                         

 

                                 имеет хотя бы одно решение?  

 

 

Решение.   При  первое неравенство  не имеет решений. А тогда и вся система  не имеет решений.

 

 

Пусть   , тогда     и эта система не имеет решений,  так как   ,  а   .   Пусть   , тогда     т.е. 

 

 

решения есть при   ,  и , так как при    выполнено неравенство   ,  то решение запишется в виде   .     

 

Ответ:     при     решением будет любой  ;

 

                 при    решений нет.      

 

 

 

 

Пример 3.   При всех значениях  а  решить систему 

    

 

                      

 

 

 

Решение.   Перепишем систему неравенств в виде    . Рассмотрим все возможные случаи.

 

 

1)    .  Тогда система неравенств принимает вид   .   Сравним между собой выражения в правых частях . Имеем:   при

 

всех  .  Поэтому 

 

  x  (4a+1)/(a+4) .

 

 

 

2)     .  Тогда первое неравенство не верно.  А значит, и вся система не имеет решений . 

 

 

3)    .  Тогда система неравенств принимает вид   .   Сравним между собой выражения в правых частях . Имеем:   

 

 

при всех  .  Поэтому    (4a+1)/(a+4) x a-3)/(a-1)   .

 

 

 

4)     .  Тогда второе неравенство не верно.  А значит, и вся система не имеет решений . 

 

 

5)    .  Тогда система неравенств принимает вид   .   Сравним между собой выражения в правых частях . Имеем:   при

 

 

всех  .  Поэтому 

 

 x a-3)/(a-1)  .

 

 

Ответ:    x a-3)/(a-1)    при    a   ;

               

                 (4a+1)/(a+4) x a-3)/(a-1)  при  -4 a 

                

                  при   и при   решений нет.

 

 

 

 

Пример 4.   При всех значениях  а  решить систему  

                  

 

                      

 

 

 

Решение.            

                               

 

 

При   система  не имеет решений.

 

 

Пусть   , тогда     и эта система не имеет решений. 

 

 

Пусть   , тогда     и эта система будет иметь решения, если выполнено  неравенство:   .

 

 

Ответ.   .