kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Введение понятия логарифма

Нажмите, чтобы узнать подробности

Файл содержит:

1. Технологическую карту к уроку в 10 классе на тему "введение понятия логарифма"

2. Презентацию на тему "История возникновения логарифмов"

3. Презентацию - сопровождение к уроку

Тема: Понятие логарифма

Урок объяснения нового материала в 10 классе

Разработала: учитель математики МКОУ СОШ с. Бакуры Рекаева С.В.

Форма проведения: Урок-презентация понятия

 Цели урока:

  1. Познакомиться с понятием логарифма, его обозначением, применением к решению показательных уравнений.

  2. Учиться вычислять логарифмы с помощью изученного понятия.

  3. Вывести простейшие свойства логарифма и закрепить их при вычислении логарифмов.

  4. Развивать логическое мышление, внимание и умение делать выводы на основе известных фактов.

  5. Познакомиться с историей появления термина и ролью логарифма в жизни общества.

  6. Закрепить первичные навыки вычисления логарифмов.

    Оборудование:

              Мультимедийный проектор, компьютер, презентация PowerPoint «Понятие                      

                логарифма», раздаточный материал на каждого ученика, учебник «Алгебра и   

                начала анализа 10» С.М. Никольского

Просмотр содержимого документа
«урок по теме логарифмы»




Понятие логарифма

Урок объяснения нового материала в 10 классе

Разработала: учитель математики МКОУ СОШ с. Бакуры Рекаева С.В.

Форма проведения: Урок-презентация понятия

Цели урока:

  1. Познакомиться с понятием логарифма, его обозначением , применением к решению показательных уравнений.

  2. Учиться вычислять логарифмы с помощью изученного понятия.

  3. Вывести простейшие свойства логарифма и закрепить их при вычислении логарифмов.

  4. Развивать логическое мышление, внимание и умение делать выводы на основе известных фактов.

  5. Познакомиться с историей появления термина и ролью логарифма в жизни общества.

  6. Закрепить первичные навыки вычисления логарифмов.

Оборудование:

Мультимедийный проектор, компьютер, презентация PowerPoint «Понятие

логарифма», раздаточный материал на каждого ученика, учебник «Алгебра и

начала анализа 10» С.М. Никольского



Ход урока

Этап

Задачи этапа

Методы

Формы работы

Вид деятельности

1.Организационный этап



2.Актуализация опорных знаний



3.Постановка познаватель-ной задачи

Включение в деловой ритм, подготовка класса к работе


Активировать знания, необходимые для изучения новой темы



Организация учащихся на постановку темы и целей урока

Устное сообщение учителя


Создание проблемной ситуации в процессе устной работы

Решение ассоциативного ряда, мозговая атака, исторический экскурс





Фронтальные





Коллективное обсуждение

Приветствие




Устное решение показательных уравнений со слайдов 1-6


Устная работа со слайдами 7-9, запись в тетради темы, изучение карточек с заданиями для самостоятельной работы, постановка целей урока.

Этап

Задачи этапа

Методы

Формы работы

Вид деятельности

4.Этап усвоения новых знаний








5.Первичная проверка понимания и закрепления изученного

Сформировать конкретные представления о логарифме, его применении и вычислении





Установить правильность и осознанность изученного материала, провести коррекцию выявленных пробелов

Эвристический( частично –поисковый) введение нового понятия в словесной и знаково-символической форме


Анализ и логическое обоснование на основании изученного понятия

Коллективная










Коллективная, фронтальная и индивидуаль-ная

Устная работа со слайдами 10-11, записи в тетради, решение уравнения со слайда 7





Устное решение упражнений со слайда 12-13, письменное решение упражнений со слайда 14

Этап

Задачи этапа

Методы

Формы работы

Вид деятельности

6.Этап расширения знаний и способов действия






7.Этап закрепления новых знаний и способов действий

Обеспечить повышение уровня осмысления изученного материала








Обеспечить закрепление в памяти учащихся знаний и способов действий, необходимых для самостоятельной работы

Мозговая атака при выведении простейших свойств логарифма






Практическая работа под руководством учителя

Коллективная и индивидуаль-ная







Устная и письменная фронтальная работа

Вывод основного логарифмичес-кого тождества и других простейших свойств в процессе логических рассуждений

Слайды 15-17


Устное решение заданий слайда 18 и письменное решение заданий слайда 19

Этап

Задачи этапа

Методы

Формы работы

Вид деятельности

8.Этап применения знаний и способов деятельнос-ти, контроля и самоконтро-ля






9.Этап информации о домашнем задании




10.Итог

Обеспечить формирование у учащихся умений самостоятельно применять знания в различных ситуациях, выявить качество усвоения материала




Обеспечить понимание учащимися содержания и способов выполнения домашнего задания



Подведение итогов учебного занятия

Самостоятель-ная работа









Уровневое домашнее задание




Незаконченное предложение

Индивидуаль-ная работа










Демонстрация слайда 21




Индивидуаль-ная работа

Самостоятель-ное решение заданий из раздаточного материала с последующей самопроверкой по слайду 20




Выбор и запись домашнего задания



Продолжить фразу:

Я узнал

Я научился

Я повторил

Я закрепил

Карточки – задания к уроку

Вычислите логарифмы


1 вар

2 вар

3 вар

4 вар

5 вар

6 вар

7 вар

8 вар

1

2

3

4

5

6

7

8






Карточки – задания к уроку Вычислите логарифмы


1 вар

2 вар


1 вар

2 вар

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6


1 вар

2 вар


1 вар

2 вар

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6



Просмотр содержимого презентации
«История логарифмов»

История логарифмов

История логарифмов

Термин «логарифм» возник из сочетания греческих слов logos – отношение,  соотношение и arithmos – число и дословно переводится как отношение чисел . Логарифмы открыл шотландский математик Джон Непер в начале 17 века.

Термин «логарифм» возник из сочетания греческих слов logosотношение, соотношение и arithmosчисло и дословно переводится как отношение чисел .

Логарифмы открыл шотландский математик Джон Непер в начале 17 века.

Непер Джон (1550 – 1617), шотландский математик, изобретатель логарифмов.  Непер является так же составителем первой таблицы логарифмов, которая облегчила работу вычислителей многих поколений. Открытие логарифмов оказало большое влияние на развитие приложений математики.

Непер Джон (1550 – 1617), шотландский математик, изобретатель логарифмов.

Непер является так же составителем первой таблицы логарифмов, которая облегчила работу вычислителей многих поколений. Открытие логарифмов оказало большое влияние на развитие приложений математики.

Безграничны приложения показательной и логарифмической функций в самых разнообразных областях науки и техники, а ведь придумали логарифмы для облегчения вычислений. Более трёх столетий прошло с того дня, как в 1614 году были опубликованы первые логарифмические таблицы, составленные Джоном Непером. Они помогали астрономам и инженерам, сокращая время на вычисления, и тем самым, как сказал знаменитый французский астроном, математик и физик Лаплас  «Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь».

Безграничны приложения показательной и логарифмической функций в самых разнообразных областях науки и техники, а ведь придумали логарифмы для облегчения вычислений. Более трёх столетий прошло с того дня, как в 1614 году были опубликованы первые логарифмические таблицы, составленные Джоном Непером. Они помогали астрономам и инженерам, сокращая время на вычисления, и тем самым, как сказал знаменитый французский астроном, математик и физик Лаплас «Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь».

Логарифмическая линейка (счётная линейка), счётный инструмент для упрощения вычислений, с помощью которого операции над числами заменяются операциями над логарифмами этих чисел. Предназначена для инженерных и прочих расчетов.

Логарифмическая линейка (счётная линейка), счётный инструмент для упрощения вычислений, с помощью которого операции над числами заменяются операциями над логарифмами этих чисел. Предназначена для инженерных и прочих расчетов.

Еще недавно трудно было представить инженера без логарифмической линейки в кармане; которая была изобретена через десять лет после появления логарифмов. Её изобрёл английским математик Гунтер . Она позволяла быстро получать ответ с достаточной для инженера точностью в три значащие цифры. Теперь её из инженерного обихода вытиснили микрокалькуляторы. Но без логарифмической линейки не были бы построены ни первые компьютеры, ни микрокалькуляторы.

Еще недавно трудно было представить инженера без логарифмической линейки в кармане; которая была изобретена через десять лет после появления логарифмов. Её изобрёл английским математик Гунтер . Она позволяла быстро получать ответ с достаточной для инженера точностью в три значащие цифры. Теперь её из инженерного обихода вытиснили микрокалькуляторы. Но без логарифмической линейки не были бы построены ни первые компьютеры, ни микрокалькуляторы.

Логарифмы в искусстве … Даже изящные искусства питаются ею. Разве музыкальная гамма не есть Набор передовых логарифмов?    Из «Оды экспоненте»   Мы знаем, что показательная и логарифмическая функции являются взаимно обратными. Показательную функцию так же называют экспонентой.  Многообразные применения показательной функции вдохновили английского поэта Элмера Брила и он написал «Оду экспоненте»

Логарифмы в искусстве

Даже изящные искусства питаются ею.

Разве музыкальная гамма не есть

Набор передовых логарифмов?

Из «Оды экспоненте»

Мы знаем, что показательная и логарифмическая функции являются взаимно обратными. Показательную функцию так же называют экспонентой.

Многообразные применения показательной функции вдохновили английского поэта Элмера Брила и он написал «Оду экспоненте»

Были поэты, которые не посвящали од эксоненте и логарифмам, но упоминали их в своих стихах. Например в своём стихотворении поэт Борис Слуцкий написал строки Потому – то слово пена, Опадают наши рифмы. И величие степенно Отступает в логарифмы  Борис Слуцкий

Были поэты, которые не посвящали од эксоненте и логарифмам, но упоминали их в своих стихах. Например в своём стихотворении поэт Борис Слуцкий написал строки

Потому – то слово пена,

Опадают наши рифмы.

И величие степенно

Отступает в логарифмы

Борис Слуцкий

Музыканты редко увлекаются математикой; большинство из них питают к этой науке чувство уважения. Между тем, музыканты встречаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с такими «страшными» вещами, как логарифмы.

Музыканты редко увлекаются математикой; большинство из них питают к этой науке чувство уважения. Между тем, музыканты встречаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с такими «страшными» вещами, как логарифмы.

Известный физик Эйхенвальд вспоминал «Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математики. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика не имеют друг с другом ничего общего. «Правда Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, - но ведь как раз пифагорова-то гамма для нашей музыки и оказалась неприемлемой».

Известный физик Эйхенвальд вспоминал «Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математики. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика не имеют друг с другом ничего общего. «Правда Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, - но ведь как раз пифагорова-то гамма для нашей музыки и оказалась неприемлемой».

Представьте же себе как неприятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему, что играя по клавишам своего рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах…»  И действительно, ступени 12-ти звуковой гаммы частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы, основания которых равны двум.

Представьте же себе как неприятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему, что играя по клавишам своего рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах…»

И действительно, ступени 12-ти звуковой гаммы частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы, основания которых равны двум.

Логарифмическая спираль это плоская кривая, описываемая точкой, движущейся по прямой, которая вращается около одной из своих точек О (полюса логарифмической спирали) так, что логарифм расстояния движущейся точки от полюса изменяется пропорционально углу поворота; логарифмическая спираль пересекает под постоянным углом  все прямые, выходящие из полюса.

Логарифмическая спираль это плоская кривая, описываемая точкой, движущейся по прямой, которая вращается около одной из своих точек О (полюса логарифмической спирали) так, что логарифм расстояния движущейся точки от полюса изменяется пропорционально углу поворота; логарифмическая спираль пересекает под постоянным углом все прямые, выходящие из полюса.

Раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причём каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали. По этому раковины многих моллюсков, улиток, а так же рога таких млекопитающих как архары, (горные козлы), закручены по логарифмической спирали.

Раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причём каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали. По этому раковины многих моллюсков, улиток, а так же рога таких млекопитающих как архары, (горные козлы), закручены по логарифмической спирали.

Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения формы роста. Великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гёте считал её даже математическим символом жизни и духовного развития.  Очертания выраженные логарифмической спиралью имеют не только раковины. В подсолнухе семечки расположены по дугам, также близким к логарифмической спирали.

Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения формы роста. Великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гёте считал её даже математическим символом жизни и духовного развития.

Очертания выраженные логарифмической спиралью имеют не только раковины. В подсолнухе семечки расположены по дугам, также близким к логарифмической спирали.

Один из наиболее распространённых пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали.  По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности галактика, которой принадлежит Солнечная система.

Один из наиболее распространённых пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали.

По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности галактика, которой принадлежит Солнечная система.

Просмотр содержимого презентации
«Приложение-презентация к уроку»

Понятие логарифма Урок в 10 классе  Подготовила учитель математики МКОУ СОШ с. Бакуры Рекаева С.В.

Понятие логарифма

Урок в 10 классе

Подготовила учитель математики МКОУ СОШ с. Бакуры

Рекаева С.В.

« СЧИТАЙ НЕСЧАСТНЫМ ТОТ ДЕНЬ ИЛИ ЧАС, В КОТОРЫЙ ТЫ НЕ УСВОИЛ НИЧЕГО НОВОГО И НИЧЕГО НЕ ПРИБАВИЛ К СВОЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ.» Я. А. КОМЕНСКИЙ.

« СЧИТАЙ НЕСЧАСТНЫМ ТОТ ДЕНЬ ИЛИ ЧАС, В КОТОРЫЙ ТЫ НЕ УСВОИЛ НИЧЕГО НОВОГО И НИЧЕГО НЕ ПРИБАВИЛ К СВОЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ.»

Я. А. КОМЕНСКИЙ.

Решите устно уравнение Х=2

Решите устно уравнение

Х=2

Х=-2

Х=-2

Нет решений

Нет решений

2 <x< 3

2

x Используя графопостроитель Advanced Grapher показать графическое решение уравнения.

x

Используя графопостроитель Advanced Grapher показать графическое решение уравнения.

x Используя графопостроитель Advanced Grapher показать графическое решение уравнения.

x

Используя графопостроитель Advanced Grapher показать графическое решение уравнения.

Цели урока 1. Познакомиться с понятием логарифма, его обозначением , применением к решению показательных уравнений. 2. Учиться вычислять логарифмы с помощью изученного понятия. 3. Вывести простейшие свойства логарифма и закрепить их при вычислении логарифмов. 4. Познакомиться с историей появления термина и ролью логарифма в жизни общества.

Цели урока

1. Познакомиться с понятием логарифма, его обозначением , применением к решению показательных уравнений.

2. Учиться вычислять логарифмы с помощью изученного понятия.

3. Вывести простейшие свойства логарифма и закрепить их при вычислении логарифмов.

4. Познакомиться с историей появления термина и ролью логарифма в жизни общества.

Логарифм числа Определение: Логарифм числа b по основанию а -это показатель степени  в которую нужно возвести основание α , чтобы получить число b

Логарифм числа

Определение:

Логарифм числа b по основанию а -это показатель степени

в которую нужно возвести основание α , чтобы получить число b

0 a ≠1 b0" width="640"

Понятие логарифма

a 0 a ≠1 b0

3 x =6 x = log 3 6

3 x =6

x = log 3 6

Логарифм ( log ) 1594 год

Логарифм ( log )

1594 год

Непер Джон (1550 – 1617), шотландский математик, изобретатель логарифмов.  Непер является так же составителем первой таблицы логарифмов, которая облегчила работу вычислителей многих поколений. Открытие логарифмов оказало большое влияние на развитие приложений математики. «Изобретатель» логарифмов

Непер Джон (1550 – 1617), шотландский математик, изобретатель логарифмов.

Непер является так же составителем первой таблицы логарифмов, которая облегчила работу вычислителей многих поколений. Открытие логарифмов оказало большое влияние на развитие приложений математики.

«Изобретатель» логарифмов

Безграничны приложения показательной и логарифмической функций в самых разнообразных областях науки и техники, а ведь придумали логарифмы для облегчения вычислений. Более трёх столетий прошло с того дня, как в 1614 году были опубликованы первые логарифмические таблицы, составленные Джоном Непером. Они помогали астрономам и инженерам, сокращая время на вычисления, и тем самым, как сказал знаменитый французский астроном, математик и физик Лаплас  «Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь».

Безграничны приложения показательной и логарифмической функций в самых разнообразных областях науки и техники, а ведь придумали логарифмы для облегчения вычислений. Более трёх столетий прошло с того дня, как в 1614 году были опубликованы первые логарифмические таблицы, составленные Джоном Непером. Они помогали астрономам и инженерам, сокращая время на вычисления, и тем самым, как сказал знаменитый французский астроном, математик и физик Лаплас «Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь».

Логарифмическая линейка (счётная линейка), счётный инструмент для упрощения вычислений, с помощью которого операции над числами заменяются операциями над логарифмами этих чисел. Предназначена для инженерных и прочих расчетов.

Логарифмическая линейка (счётная линейка), счётный инструмент для упрощения вычислений, с помощью которого операции над числами заменяются операциями над логарифмами этих чисел. Предназначена для инженерных и прочих расчетов.

Логарифмы в искусстве … Даже изящные искусства питаются ею. Разве музыкальная гамма не есть Набор передовых логарифмов?    Из «Оды экспоненте»   Мы знаем, что показательная и логарифмическая функции являются взаимно обратными. Показательную функцию так же называют экспонентой.  Многообразные применения показательной функции вдохновили английского поэта Элмера Брила и он написал «Оду экспоненте»

Логарифмы в искусстве

Даже изящные искусства питаются ею.

Разве музыкальная гамма не есть

Набор передовых логарифмов?

Из «Оды экспоненте»

Мы знаем, что показательная и логарифмическая функции являются взаимно обратными. Показательную функцию так же называют экспонентой.

Многообразные применения показательной функции вдохновили английского поэта Элмера Брила и он написал «Оду экспоненте»

Были поэты, которые не посвящали од эксоненте и логарифмам, но упоминали их в своих стихах. Например в своём стихотворении поэт Борис Слуцкий написал строки Потому – то слово пена, Опадают наши рифмы. И величие степенно Отступает в логарифмы  Борис Слуцкий

Были поэты, которые не посвящали од эксоненте и логарифмам, но упоминали их в своих стихах. Например в своём стихотворении поэт Борис Слуцкий написал строки

Потому – то слово пена,

Опадают наши рифмы.

И величие степенно

Отступает в логарифмы

Борис Слуцкий

Музыканты редко увлекаются математикой; большинство из них питают к этой науке чувство уважения. Между тем, музыканты встречаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с такими «страшными» вещами, как логарифмы.

Музыканты редко увлекаются математикой; большинство из них питают к этой науке чувство уважения. Между тем, музыканты встречаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с такими «страшными» вещами, как логарифмы.

Играя по клавишам рояля, музыкант играет, собственно говоря, на логарифмах…  И действительно, ступени 12-ти звуковой гаммы частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы, основания которых равны двум.

Играя по клавишам рояля, музыкант играет, собственно говоря, на логарифмах…

И действительно, ступени 12-ти звуковой гаммы частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы, основания которых равны двум.

Логарифмическая спираль

Логарифмическая спираль

Раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причём каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали. По этому раковины многих моллюсков, улиток, а так же рога таких млекопитающих как архары, (горные козлы), закручены по логарифмической спирали.

Раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причём каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали. По этому раковины многих моллюсков, улиток, а так же рога таких млекопитающих как архары, (горные козлы), закручены по логарифмической спирали.

Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения формы роста. Великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гёте считал её даже математическим символом жизни и духовного развития.  Очертания выраженные логарифмической спиралью имеют не только раковины. В подсолнухе семечки расположены по дугам, также близким к логарифмической спирали.

Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения формы роста. Великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гёте считал её даже математическим символом жизни и духовного развития.

Очертания выраженные логарифмической спиралью имеют не только раковины. В подсолнухе семечки расположены по дугам, также близким к логарифмической спирали.

Один из наиболее распространённых пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали.  По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности галактика, которой принадлежит Солнечная система.

Один из наиболее распространённых пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали.

По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности галактика, которой принадлежит Солнечная система.

Проверьте равенства

Проверьте равенства

Решите устно =3 =-4 =-3 =-0,5 =-3 =0 Не  имеет смысла =1

Решите устно

=3

=-4

=-3

=-0,5

=-3

=0

Не имеет смысла

=1

Некоторые свойства логарифмов 1

Некоторые свойства логарифмов

1

0

0

С

С

Основное логарифмическое тождество b

Основное логарифмическое тождество

b

Натуральный логарифм –  это логарифм с основанием е

Натуральный логарифм – это логарифм с основанием е

Десятичный логарифм логарифм –  это логарифм с основанием 10

Десятичный логарифм логарифм – это логарифм с основанием 10

Решите

Решите

Решите

Решите

Самостоятельная работа  по карточкам (в парах)

Самостоятельная работа по карточкам (в парах)

Домашнее задание 1 уровень: п. 5.1. № 5.4.,  5.5 2 уровень: п. 5.1. № 5.7.,  5.8.

Домашнее задание

  • 1 уровень: п. 5.1. № 5.4.,

5.5

  • 2 уровень: п. 5.1. № 5.7.,

5.8.


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 10 класс.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
Введение понятия логарифма

Автор: Рекаева Светлана Валентиновна

Дата: 28.09.2015

Номер свидетельства: 234450

Похожие файлы

object(ArrayObject)#853 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(214) "Методическая разработка открытого занятия по дисциплине «Математика» на тему: «Решение логарифмических уравнений»"
    ["seo_title"] => string(80) "metodicheskaia_razrabotka_otkrytogo_zaniatiia_po_distsipline_matematika_na_tem_1"
    ["file_id"] => string(6) "498565"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1549379788"
  }
}
object(ArrayObject)#875 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(70) "Логарифмическая функция и её свойства"
    ["seo_title"] => string(42) "logarifmicheskaia_funktsiia_i_eio_svoistva"
    ["file_id"] => string(6) "492555"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1545668296"
  }
}
object(ArrayObject)#853 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(94) "Рабочая программа по курсу математика для 11 класса "
    ["seo_title"] => string(56) "rabochaia-proghramma-po-kursu-matiematika-dlia-11-klassa"
    ["file_id"] => string(6) "241393"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "planirovanie"
    ["date"] => string(10) "1445245000"
  }
}
object(ArrayObject)#875 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(63) "Русский язык на уроках математики "
    ["seo_title"] => string(36) "russkii-iazyk-na-urokakh-matiematiki"
    ["file_id"] => string(6) "128564"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1415536214"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства