Урок по теме "Геометрическая прогрессия"

Тема урока: "Геометрическая прогрессия"  Эпиграф урока: «Прогрессио – движение вперед.»

Класс: 9. Тип урока: урок изучения и первичного закрепления знаний и способов действий

Цели урока:

- образовательная: обеспечить восприятие, осмысление и первичное запоминание учащимися понятий «геометрическая прогрессия», «знаменатель геометрической прогрессии», «формулы n-го члена», « суммы n-первых членов геометрической прогрессии»; организовать деятельность учащихся по воспроизведению изученного материала и упражнениям в его применении по образцу.; сформировать у учащихся умение находить знаменатель и п-ый член геометрической прогрессии.

- развивающая: способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, применять приемы сравнения, переноса знаний в новую ситуацию; развитию логического мышления, творческих способностей учащихся путем решения межпредметных (физика, биология, экономика) задач.

- воспитательная: побуждать учащихся к преодолению трудностей, к самоконтролю, взаимоконтролю в процессе умственной деятельности. Воспитывать познавательную активность, самостоятельность, стремление расширять свой кругозор.

.

Формы организации деятельности на уроке:

• фронтальная

• индивидуальная

• групповая

Методы:

• словесные;

• наглядные;

• практические.

Оборудование:

• компьютер;

• проектор;

• учебник “Алгебра 9”, Алимов и др..

Ход урока:

I.Организационный момент:

Здравствуйте ребята!

Сегодня у нас в классе состоится совет – Совет мудрецов.

Мудрецы – ученики, это вы - учащиеся 9 класса .

И мудрецы-учителя, это наши гости.

Давайте их поприветствуем.

Учитель:

 Закончился двадцатый век.

Куда стремится человек?
Изучены космос и море,
Строенье звезд и вся Земля.
Но математиков зовет
Известный лозунг:
“Прогрессио – движение вперед”. (1 слайд)

Учитель:

-Сегодня работаем по группам. А в конце урока каждый ученик поставит себе оценку .

(лента с числовой прямой)

-Как вы считаете , что представлено на данной числовой прямой?

II. Актуализация знаний и способов действий

Задание 1. Давайте вспомним определение арифметической прогрессии.

(Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом)

-Я прошу вас заполнить первую колонку таблицы.

- Каждый работает самостоятельно, на эту работу вам отводится 2 минуты.

Арифметическая прогрессия	Геометрическая прогрессия
Пример:	Пример:
Формула для нахождения разности:	Формула для нахождения знаменателя:
Формула n-го члена:	Формула n-го члена:
Формула суммы n первых членов:	Формула суммы n первых членов:

(Слайд 2)

- Выполните пожалуйста самопроверку , глядя на экран, первая строка- пример, у вас будет у каждого своя.

(Слайд 3)

Арифметическая прогрессия	Геометрическая прогрессия
Пример: 1,2,3,4….	Пример:
Формула для нахождения разности:	Формула для нахождения знаменателя:
Формула n-го члена:	Формула n-го члена:
Формула суммы n первых членов:	Формула суммы n первых членов:

Учитель:

-1 человек от группы записывает свой пример на доске и обосновывает его.

-Отложите таблицу в сторону, позже мы вернёмся к ним.

- Откройте тетради, запишите число, классная работа, а тему урока вы позже определите сами.

Задание 2.

Учитель:  - Карл Гаусс к прогрессу пришел, будучи учеником начальной школы, он моментально нашел сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.

- Это задание подобно тому, которое вы выполняли дома.

- Я даю вам 3 минуты, чтобы найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.

( 5050 ) (устный ответ от группы)

-А теперь следующее задание:

Задание 3.

На карточках по 3 задания каждой группе, время для выполнения 3 минуты. По истечении времени каждая группа на доске записывает свои ответы. Каждой группе нужно объяснить, какой прогрессией является каждый пример.

Вы должны определить, кто из вашей группы выйдет и оформит ответ на доске.

Вставьте пропущенное число:	Вставьте пропущенное число:
I: 1) 18, 21, 24, 27, .?. 2) 2,.?., 6,… 3) 1, 3, 9, 27,.?.	II: 1) 7, 10, 13, 16,.?. 2) 9,.?., 21,… 3) 5, 10, 20, 40,.?.

(Первый пример является арифметической прогрессией.

Второй пример тоже арифметическая прогрессия, неизвестное число находится как среднее арифметическое.)

Учитель:

-А, чем отличается от других третья последовательность?

-Как находится каждый член этой последовательности?»

- Кто сможет сказать, как называется данная последовательность?

III. Изучения новых знаний и способов действий:

Учитель:

-Правильно, такие последовательности называются геометрической прогрессией.

- Назовите тему сегодняшнего урока.

(Слайд 4)

-Запишите её в тетрадь.

-Посмотрите на экран. (Слайд 5)

- Перед вами последовательность, что вы можете сказать о её членах.

-Исходя из этого, давайте дадим определение геометрической прогрессии.

(Дать определение пробуют сами ученики.)

*Работа с учебником (Слайд 6)

- В учебнике на стр. 101 дано точное определение геометрической прогрессии. Я даю вам 2 мин. , чтобы прочитать и запомнить его.

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число, которое будем называть знаменателем геометрической прогрессии и обозначать q.

Члены геометрической прогрессии обозначаются b1 ,b2,b3,...,bn,bn+1,...

(Слайд7)

Учитель:

- В различных областях таких как: физика, химия, биология, экономика и других можно встретиться с геометрической прогрессией? Давайте рассмотрим задачи практического характера.

Задание 4.

- Даётся задача каждой группе с заданием: «Выпишите последовательность, соответствующую условию задачи». Время для выполнения данного задания 3 минуты.

I. (Физика) Имеется радиоактивное вещество массой 256г, масса которого за сутки уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на вторые сутки? На третьи? На пятые? (256; 128;64; 32; 16;…)

II. (Биология) Бактерия за 1 секунду делится на три. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 секунд? (1; 3; 9; 27; 81;…)

- Один представитель от группы выписывает на доске ваши полученные последовательности. Зачитывая условие задачи.

- Как получается второй член последовательности? Третий?..

(1.Делением предыдущего члена на 2 или умножением на .

2. Умножением предыдущего на 3.)

-Как называется число, полученное при делении последующего члена прогрессии на предыдущий?

( знаменателем геометрической прогрессии)

-Кто запишет формулу для нахождения знаменателя геометрической прогрессии на доске.

(Слайд8)

-Запишите эту формулу в тетрадь.

Учитель:

-Следующее задание для одного участника из группы, они работают у доски, остальные на месте, группа 1 выполняет задание участника из группы 2 и наоборот.

Задание 5: Найти знаменатель q. Время для выполнения 2 минуты. Все участники работают на местах.

I.1) 5; - 5; 5; - 5 ;…( q = - 1)

2) (q = )

II.1) -2; 4; - 8; 16 ;…( q = - 2)

2)(q =)

- Проверим ответы, совпадают ли ответы групп с ответами на доске?

Задание 6. Каждая группа работает с набором чисел. Из этих чисел составить геометрическую прогрессию и выстроить в один ряд на магнитной доске. Для подготовки вам даётся 2 минуты, затем представитель от группы выстраивает прогрессию на доске.

I группа: 2; -6; 18, -54; 162; … конверты с числами!!!

II группа:-3; 6; -12; 24; -48; …

Учитель:

- Продолжим изучение материала.

-Выведем с вашей помощью, аналогично арифметической прогрессии, формулу п – го члена геометрической прогрессии.

Для этого рассмотрим один из примеров:

2, 6, 18, 54,... (записать на доске)

6 = 23
18=63=233=2 54=
- - - - - - - - - - - - - - - - - - -	- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- Итого получили формулу n-го члена геометрической прогрессии

_{(Слайд 9)}

_{- Запишите эту формулу в тетрадь.}

_{Учитель:}

_{-А теперь я предлагаю вам немного отдохнуть и послушать одну историю.}

Есть легенда о шахматах: «…Шахматная игра была придумана в Индии, и, когда индусский царь познакомился с нею, он был восхищен .

Узнав, что она изобретена одним из подданных, царь приказал позвать его, чтобы лично наградить за удачную выдумку.

Изобретатель явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый.

- Я желаю достойно вознаградить тебя за прекрасную игру, которую ты придумал, - сказал царь…

- Повелитель, - ответил учёный, - прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

- Простое пшеничное зерно? – изумился царь.

- Да, повелитель. За вторую клетку выдать 2 зерна, за третью 4, за четвертую – 8, за пятую – 16…

- Довольно, - с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.

Учёный улыбнулся. Покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца.

За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унёс ли он свою жалкую награду.

Придворные математики добросовестно подсчитали всё количество зерен, которое желает получить учёный. Число это было так велико…

Но царь сказал:

- Как бы велико оно ни было, житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана…

- Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания,- ответил придворный математик...

- Как мы узнали из легенды, о геометрической прогрессии знали ещё в древние времена. Так почему же царь не смог наградить изобретателя?

-  Посоветуйтесь и скажите, сколько царю пришлось бы отдать зерна?

- Что нужно найти, чтобы ответить на этот вопрос?

(1, 2,8, 16, 32, . . . S₆₄ - ?) (Слайд 10)

-Для решения этой задачи необходимо знать формулу суммы n-первых членов геометрической прогрессии Sn =  (Слайд 11)

- Предлагаю вам попробовать найти количество зёрен.

Задание 7.

 Решают: b₁=1; q=2; n=64, S64 -?

S₆₄=2⁶⁴ – 1 (Слайд 12)

Учитель:

- Как велико это число? Кто может объяснить?

- Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и горы, и пустыни, и Арктику с Антарктикой, и получить хороший урожай, то лет за пять он смог бы рассчитаться .

-Но математика – это точная наука.

S₆₄=18 446 744 073 709 551 615  (Слайд 13)

-Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать.

IV. Закрепление и применение знаний и способов действий.

Учитель:

-А теперь, ребята давайте закрепим полученные знания на практике

Задание 8. (Слайд 14) По формуле bn найдите: b_{3 ,} b_{4 ,} b<sub>7 , если

1.группа:</sub> b₁ = 4 q=2

_{2.группа:} b₁ = 3 q=2

(Время на выполнение 2 минуты. )

-Давайте проверим ответы к данному заданию

(Самопроверка с помощью проектора.) (Слайд 15)

Задание 9.

Учитель:

-Следующее задание из ОГЭ: (Математика. Типовые экзаменационные варианты.) под редакцией Ященко И.В. (Слайд 16)

-Вы обратили внимание, что при решении заданий для подготовки к ОГЭ мы решали 6 задание выборочно, теперь вы сможете справиться с ним полностью.

-Откройте книги для подготовки к экзамену ВАРИАНТ 5, задание 6.

Геометрическая прогрессия bn задана условиями _b1=5 , bn+1=3*bn . Найдите b4.

***( Вариант 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 33)

Учитель:

-Положите перед собою таблицы , с которыми вы работали в начале урока.

-У вас достаточно информации , чтобы их заполнить полностью.

(После этого учащиеся заполняют сводную таблицу. 2 мин ) (Слайд17)

- Этой таблицей вы можете пользоваться при повторении формул геометрической и арифметической прогрессии .Сопоставьте свои таблицы с таблицей на экране, первая строка у каждого будет своя.

Арифметическая прогрессия	Геометрическая прогрессия.
Пример: 1,2,3,4….	Пример: 2,4,8,16,32…
Формула n-го члена:	Формула n-го члена:
Формула для нахождения разности:	Формула для нахождения знаменателя:
Формула суммы n первых членов:	Формула суммы n первых членов: Sn=

Учитель:

- Что нового вы сегодня узнали на уроке?

- С каким видом прогрессий мы познакомились?

V. Домашнее задание:( Проецируется на экран с помощью проектора.)

(Слайд 18)

Учитель:

-Откройте дневники и запишите домашнее задание:

*Обязательное: № 271 (1-3) , № 273(1,2), §20,21.

*Творческое: подготовить задачи по геометрической прогрессии из других областей: физики, химии, биологии, экономики.

VI. Итог урока.

Учитель:

Прогрессио – движение вперед. Вот и вы, ребята, покажите на числовой прямой своё продвижение вперед  по теме урока.

VII.Рефлексия. (Слайд 19)

Учитель:

- Выставьте себе баллы:

5 б. – все понял и могу объяснить другому;
4 б. – сам понял, но объяснить не берусь;
3 б. – для полного понимания надо повторить;
2 б. – я ничего не понял.

Учитель:

О мудрецы времен!
Дружней вас не сыскать.
Совет сегодня завершен,
Но каждый должен знать:
Познание, упорство, труд
К прогрессу в жизни приведут

Спасибо за урок! (Слайд 20)

Гимнастика для глаз.

Глазки видят всё вокруг, 
Обведу я ими круг.
Глазкам видеть всё дано -
Где дверь, а где окно.
Обведу я ими круг,
Погляжу на всех вокруг.