Урок по алгебре для 10 класса на тему "Степень с рациональным показателем"

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Поводимовская средняя общеобразовательная школа»

Дубенского муниципального района Республики Мордовия

НЕСТАНДАРТНЫЙ УРОК

ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА

В 10 КЛАССЕ

Подготовила: учитель математики

Бровцева А.В.

2011 год.

Цели урока:

• Научить выполнять простейшие преобразования выражений, содержащие степени с дробным показателем;

• Закрепить свойства степени с рациональным показателем в ходе выполнения упражнений;

• Формировать навыки самоконтроля учащихся;

• Создать атмосферу заинтересованности каждого ученика в работе, развивать познавательную активность учащихся;

• Воспитывать интерес к предмету, к истории математики.

Оборудование:

• карточки с ответами для устного счёта;

• карточки с заданиями, дешифраторами для каждого учащегося;

• мультимедиа;

• презентация Microsoft Excel.

Результативность:

• Оттачивается навык применения свойств степени с рациональным показателем при вычислении выражений;

• Развиваются вычислительные навыки, повышается вычислительная культура;

• Через связь заданий урока с историческими фактами повышается интерес к их выполнению;

• Выявляется степень освоенности материала.

Ход урока

I. Организационный момент.

Учитель. Мы заканчиваем изучение темы “Степень с рациональным показателем и её свойства”. Ваша задача на этом уроке, показать, как вы усвоили изученный материал и как вы умеете применять полученные знания при решении конкретных задач.

1. Актуализация знаний учащихся.

Учитель. Для начала вспомним свойства степеней с рациональным показателем на конкретных примерах.

Задание: представить в виде степени с рациональным показателем.

а)       г)             ж)

б)                 д) ()²                     з) ( ) ^-2

в) ()^1,4            е)            и)    

III. Закрепление изученного материала.

1. Учитель. Один великий русский ученый в свое время сказал: "Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь". Кому принадлежат эти слова, мы узнаем, когда выполним следующие задания.

1. –

2. –

3. –

4. –

5. –

6. –

7. –

8. –

9. –

2. ЛОМОНОСОВ

3. Михаил Васильевич Ломоносов своим высказыванием указал на важность степеней для науки и человечества.

1. Учитель. Понятие степени с натуральным показателем сформировалось ещё у древних народов.

1. Задание. Упростив и вычислив следующие выражения, используя дешифратор, вы узнаете имя ученого, который положил начало буквенных записей степени. 

1. –

2. 

3. –

4. –

5. –

6. –

7. –

2. ДИОФАНТ

3. Учитель. Понятие степени с натуральным показателем сформировалось ещё у древних народов. Квадрат и куб числа использовались для вычисления площадей и объемов. Степени некоторых чисел использовались при решении отдельных задач учеными Древнего Египта и Вавилона. 

4. В III веке вышла книга греческого ученого Диофанта “Арифметика”, в которой было положено начало введению буквенной символики. Диофант вводит символы для первых шести степеней неизвестного и обратных им величин. В этой книге квадрат обозначается знаком Δ с индексом r; куб – знаком k c индексом r и т.д.

5. Из практики решения более сложных алгебраических задач и оперирования со степенями возникла необходимость обобщения понятия степени и расширения его посредством введения в качестве показателя нуля, отрицательных и дробных чисел. К идее обобщения понятия степени на степень с ненатуральным показателем математики пришли постепенно.

1. Учитель. Выполнив это задание, вы узнаете фамилию немецкого математика, который ввел термин – “показатель степени”.

1. Для выполнения следующего задания, вспомним формулы сокращенного умножения:

2. 

3. 

4. 

5. Задание.

6. Вынести общий множитель за скобки:

1. –

2. –

1. Пользуясь тождеством разложить на множители:

1. –

2. 

1. Разложить на множители, используя тождество или :

1. –

2. –

3. –

1. л	и	ш	м

2. ь	ф	е	т

4. ШТИФЕЛЬ

5. Учитель. Немецкий математик М.Штифель (1487–1567 гг.) дал определение а⁰=1 при a≠1 и ввел название показатель (это буквенный перевод с немецкого Exponent). Немецкое potenzieren означает возведение в степень. Штифель оставил заметный след в развитии алгебры. В его главном труде Arithmetica integra (Нюрнберг, 1544) он дал содержательную теорию отрицательных чисел, возведения в степень, различных прогрессий и других последовательностей. Штифель впервые использовал понятия «корень» и «показатель степени» (лат. exponens), причём подробно анализировал и целые, и дробные показатели. Опубликовал правило образования биномиальных коэффициентов и составил их таблицы до 18-й степени. Штифель переработал (фактически написал заново) книгу алгебраиста (коссиста) Кристофа Рудольфа, и использованные там современные обозначения арифметических операций с этого момента укоренились в математике (1553). 

6. В конце ХVI века Франсуа Виет ввел буквы для обозначения не только переменных, но и их коэффициентов. Он применял сокращения: N, Q, C – для первой, второй и третьей степеней. 

7. Современные определения и обозначения степени с нулевым, отрицательным и дробным показателем берут начало от работ английских математиков Джона Валлиса (1616–1703) и Исаака Ньютона (1643–1727).

8. Но современные обозначения (типа а⁴, а⁵) в XVII в ввел Рене Декарт.

9. Современные определения и обозначения степени с нулевым, отрицательным и дробным показателем берут начало от работ английских математиков Джона Валлиса (1616–1703) и Исаака Ньютона (1643–1727).

10. О целесообразности введения нулевого, отрицательных и дробных показателей и современных символов впервые подробно писал в 1665 г. английский математик Джон Валлис. Его дело завершил Исаак Ньютон, который стал систематически применять новые символы, после чего они вошли в общий обиход.

11. Введение степени с рациональным показателем является одним из многих примеров обобщение понятий математического действия. Степень с нулевым, отрицательным и дробными показателями определяется таким образом, чтобы к ней были применены те же правила действий, которые имеют место для степени с натуральным показателем, т.е. чтобы сохранились основные свойства первоначального определённого понятия степени.

12. Новое определение степени с рациональным показателем не противоречит старому определению степени с натуральным показателем, то есть смысл нового определения степени с рациональным показателем сохраняется и для частного случая степени с натуральным показателем. Этот принцип, соблюдаемый при обобщении математических понятий, называется принципом перманентности (сохранения постоянства). В несовершенной форме его высказал 1830 г. английский математик Дж.Пикок, полностью и четко его установил немецкий математик Г.Ганкель в 1867 г.

1. Подведение итогов.

1. Учитель. Сегодня на уроке мы закрепили понятие степени с рациональным показателем и ее свойства, а также применили эти свойства при решении различных упражнений. На протяжении всего урока мы знакомились с историческими фактами, свидетельствующими о развитии степени.

1. Домашнее задание.

1. §4, п.1, № 71–73 (четн), 84, 86 (2)

«Степень с рациональным показателем»

Представить в виде степени с рациональным показателем.

а) х 2/5 · x 1/2       б) ( а • а 0,5 ) 2             в) у 1/2 • √ 1/y

г) х 0,5 : x 1/3                 д) ( 4 √ х 3 ) 2                    Е ) ( 1/ а 2,5 ) -2

ж) ( у 5/7 ) 1,4              з) х 1/9 • 3 √ х 2           и) √ 3 √ у 4    

«Пусть кто – нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь»

Вычислить:

Михаил Васильевич Ломоносов

Исторические сведения о развитии понятия степени

Понятие о степени с натуральным показателем сформировалось еще у древних народов. Квадрат и куб числа использовались для вычисления площадей и объемов. Степени некоторых чисел применялись при решении отдельных задач учеными Древнего Египта и Вавилона

Диофант

• В III веке вышла книга греческого ученого Диофанта «Арифметика» , в которой было положено начало буквенной символики.
• Диофант ввел символы для первых шести степеней неизвестного и обратных им величин. В этой книге квадрат обозначается Δ с индексом r , куб – знаком k , с индексом r и т.д.

Формулы сокращенного умножения

Вынести общий множитель за скобки:

Пользуясь тождеством разложить на множители:

Пользуясь тождеством разложить на множители:

Равенство, а º =1 (для а не равного 0) применял в своих трудах в начале XV века самаркандский ученый Гиясаддин Каши Джемшид

• Независимо от него нулевой показатель был введен Николаем Шюке в XV веке. Известно, что Николай Шюке (1445-1500 гг.), рассматривал степени с отрицательным и нулевым показателями.
• Симон Стевин предложил подразумевать под степенью числа а с дробным показателем 1/ n корень n степени из а.

Немецкий математик Михаэль Штифель (1487-15670 гг.) дал определение а º =1 при а≠1 и ввел название показатель (это буквенный перевод с немецкого Exponent) . Немецкое potenzieren означает возведение в степень

В конце XV века Франсуа Виет ввел буквы для обозначения не только переменных , но и их коэффициентов. Он применял сокращения: N , Q, C -для первой, второй и третьей степеней. Но современные обозначения ввел в XVII веке ввел Рене Декарт

Современные определения и обозначения степени с нулевым, отрицательным и дробным показателем беру начало от работ английских математиков Джона Валиса (1616-1703) и Исаака Ньютона (1643-1727)

Домашнее задание

№ 71-73 (четные), 84, 86 (2)