Урок алгебры и начал анализа в 10 классе "Касательная к графику функции"

Урок алгебры и начал анализа в 10 классе

Тема: «Касательная к графику функции»

Цели урока:

1. Образовательные – повторить и обобщить изученный материала по теме “Уравнение касательной"; проверить уровень знаний учащихся; способствовать реализации полученных знаний при выполнении заданий различного уровня сложности.

2. Развивающие – развитие познавательной активности учащихся, логического мышления, навыков применения знаний в нестандартной ситуации.

3. Воспитательные – формирование учащихся чувства взаимоответственности и самоутверждения, самооценки, мобильности, умения общаться.

; составлять уравнения касательных к графику функции по заданным условиям.

Краткая теоретическая справка.

Строгое определение касательной:

Касательная к графику функции f, дифференцируемой в точке x_о, - это прямая, проходящая через точку (x_о; f(x_о)) и имеющая угловой коэффициент f ′(x_о). 

Угловой коэффициент имеет прямая вида y = kx + b.  Коэффициент k и является угловым коэффициентом этой прямой.

Угловой коэффициент равен тангенсу острого угла, образуемого этой прямой с осью абсцисс:

 
Здесь угол α – это угол между прямой y = kx + b и положительным (то есть против часовой стрелки) направлением оси абсцисс. Он называется углом наклона прямой.
  Если угол наклона прямой y = kx + b острый, то угловой коэффициент является положительным числом. График возрастает (рис.1).

Если угол наклона прямой y = kx + b тупой, то угловой коэффициент является отрицательным числом. График убывает (рис.2).

Если прямая параллельна оси абсцисс, то угол наклона прямой равен нулю. В этом случае угловой коэффициент прямой тоже равен нулю (так как тангенс нуля есть ноль). Уравнение прямой будет иметь вид y = b (рис.3).

Если угол наклона прямой равен 90º (π/2), то есть она перпендикулярна оси абсцисс, то прямая задается равенством x = c, где c – некоторое действительное число (рис.4).

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке x_о:

 Алгоритм решения уравнения касательной к графику функции y = f(x):

 
Порядок выполнения работы.

1. Внимательно изучите теоретическую справку по теме.

2. Решите следующие задания.

Пример 1. Найдем уравнение касательной к графику функции f(x) = x³ – 2x² + 1 в точке с абсциссой 2.

Решение.

Следуем алгоритму.

1) Точка касания x_о равна 2. Вычислим  f(x_о):

 f(x_о) = f(2) = 2³ – 2 ∙ 2² + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Находим f ′(x). Для этого применяем формулы дифференцирования, изложенные в предыдущем разделе. Согласно этим формулам, х² = 2х, а х³ = 3х². Значит:

f ′(x) = 3х² – 2 ∙ 2х = 3х² – 4х.

Теперь, используя полученное значение f ′(x), вычислим f ′(x_о):

f ′(x_о) = f ′(2) = 3 ∙ 2² – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Итак, у нас есть все необходимые данные: x_о = 2, f(x_о) = 1, f ′(x_о) = 4. Подставляем эти числа в уравнение касательной и находим окончательное решение:

у = f(x_о) + f ′(x_о) (x – x_о) = 1 + 4 ∙ (х – 2) = 1 + 4х – 8 = –7 + 4х = 4х – 7.

Ответ. у = 4х – 7.

Пример 2.  На рисунке изображены график функции y=f(x)  и касательная к нему в точке с абcцисcой x₀ . Найдите значение производной функции  в точке x₀ .

Значение производной функции y=f(x)  в точке x₀   равно тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ОХ. Чтобы его найти, выделим прямоугольный треугольник, гипотенуза которого лежит на касательной, а катеты параллельны осям координат. Обозначим точки с целыми координатами буквами  А и В - эти точки выделены на касательной:

Проведем через точку А прямую параллельно оси ОХ, а через точку В - параллельно оси OY. Получим прямоугольный треугольник ABC. Угол А  треугольника  АВС равен углу между касательной и положительным направлением оси ОХ.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Длины катетов считаем по количеству клеточек

Ответ. 0,25.

Пример 3. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции

  в точке с абсциссой х0=1. 

 Решение. Находим производную функции

Тогда при x₀=1 значение производной равно

Отсюда получаем, что угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой х₀=1 равен

Ответ. 1.

Пример 4. Прямая y= 8x-5 параллельна касательной к графику функции y=x² +7x +7. Найдите абсциссу точки касания.

Решение. Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов, следовательно k=8 . Угловой коэффициент касательной – это есть значение производной функции в точке x₀. f ´(x₀) = 2x₀+7 =8, 2x₀ = -1, x₀ = -0,5.

Ответ. -0,5.

1. Выполните самостоятельную работу по вариантам (всего 20 вариантов по 3 задания).

Самостоятельная работа.

Задание на дом

1. Найти урав­не­ние ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции и пло­щадь тре­уголь­ни­ка между ка­са­тель­ной и осями ко­ор­ди­нат:

а) ;

б) ;

в) ;

1. Найти урав­не­ние ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции, если задан угол на­кло­на ка­са­тель­ной:

а) ;

б) ;

в) ;

1. Найти урав­не­ние ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции из точки, не ле­жа­щей на кри­вой:

а) ;

б) ;

в) ;