kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Урок по теме «Свойство биссектрисы треугольника»

Нажмите, чтобы узнать подробности

Методическая разработка по планиметрии

«Свойство биссектрисы треугольника» для обобщения

данной темы при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ по математике.

                                                                      Автор  Швец Тамара Александровна,     

                                                                      учитель математики высшей категории                   

                                                                       МБОУ СОШ № 65 город  Краснодар.

                                    ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ   ЗАПИСКА

Данная работа предназначена для повторения некоторых тем  планиметрии,  входящих  в тематический план изучения геометрии в 10-11 классах    по учебнику Атанасяна Л.С. В начале  первой четверти учащимся 10 класса необходимо повторить следующие темы: теорема о произведении  отрезков хорд; теорема о касательной и секущей, теорема о сумме квадратов сторон и  диагоналей параллелограмма; вычисление углов с вершинами внутри и вне круга, угла между касательной и хордой; решение треугольников; вычисление биссектрис, медиан, высот, радиусов вписанной и описанной окружностей; формулы площади треугольника: формула Герона, выражение площади треугольника через радиус вписанной и описанной окружностей.  В этой работе  рассматривается одна из  тем, по которым разработаны такие же учебно-методические материалы, которые содержат в себе теоретические факты с доказательствами, задачи различного уровня сложности с решениями и подборка задач для учащихся с целью более качественного закрепления  материала. Их можно также использовать для домашнего задания или  контроля знаний. По учебному времени занятие может быть организовано для  1-3 уроков, в зависимости от уровня подготовки учащихся.

  1. Свойство биссектрисы треугольника

Теорема                Биссектриса треугольника делит третью сторону на отрезки,

                                пропорциональные двум другим сторонам:

  1. Закрепление учебного материала рассмотрим на примере решение

некоторых задач.

  Задача № 1

Стороны треугольника равны 10 см, 11 см и 12 см. Найти отрезки, на которые делит биссектриса треугольника среднюю сторону.

Дано: AC=10 см, BC=11 см, AB=12 см, AP = биссектриса.

Найти: CP и BP.

Решение:

По свойству биссектрисы треугольника:

Пусть CP=x см, тогда BP=11-x см:

откуда по основному свойству пропорции

CP=5 см, BP=6 см.

Ответ: 5 см, 6 см.

Задача № 2

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Найдите периметр треугольника ABC,

если АС = 4; DC = 2; BD = 3.

 По свойству биссектрисы BD/AB = DC/AC; 3/AB = 2/4; АВ = 6.

Периметр треугольника РАВС = 6 + 5 + 4 = 15.

Ответ: 15.

Задача №3

Дан треугольник ABC, в котором < В = 30°, АВ = 4, ВС = 6. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке D. Определите площадь  ABD.

Решение. По свойству биссектрисы AD/DC = AB/BC = 4/6 = 2/3.

Пусть AD = 2х; DC = Зх.

Ответ: 12/5.

На протяжении нескольких лет среди заданий ЕГЭ не раз предлагались планиметрические задачи, которые в случае применения этого свойства решались бы проще. Рассмотрим несколько примеров таких задач.

Задача 1. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведены высоты ВТ и AF. Они пересекаются в точке К. Известно, что АВ = 15, АК= 5. Найдите площадь треугольника АВК (рис. 1).

Рис. 1

Решение. Так как высота ВТ, проведенная к основанию равнобедренного треугольника ABC, является биссектрисой угла В, то отрезок ВК - биссектриса угла В треугольника ABF. По свойству биссектрисы треугольника

,   откуда  .                  

Пусть KF= х, тогда BF = Зх, AF = = 5 + х. Рассмотрим треугольник ABF. По теореме Пифагора АВ2 = BF2 + AF2, где AF = AK + KF.

Имеем: 225 = (3х)2 + (5 + х)2, х2 + х - 20 = 0, х = 4. Следовательно,  BF = 3х = 3 • 4 = 12.

Наконец,

SABК= АKBF = 512 = 30.

Ответ: SABК = 30.

Задача 2.

Площадь равнобедренного треугольника ABC равна 90, а боковая сторона равна 10. К основанию АВ и стороне ВС проведены высоты СР и АН соответственно, пересекающиеся в точке К. Найдите площадь треугольника СКН (рис. 2).

Решение.    SABC = АСВС • sin C,

откуда    sin C =,    sin C = =

Рассмотрим треугольник АСН.  В нем AH = AC • sin C, АН = 10 • = 6.  По теореме Пифагора  СН2 = АС2 - АН2,  откуда   СН = 8.

Рис. 2

Так как высота СР, проведенная к основанию равнобедренного треугольника ABC, является биссектрисой угла С, то отрезок СК - биссектриса угла С треугольника АСН. По свойству биссектрисы треугольника

Пусть   АК = 5х   и   КН = 4х.   Тогда

9х=6, х=, КН =4• =.

Таким образом,

SCKH= СНСК= •8 •

Ответ:   SCKH = 32.

Задача 3.

Дан ромб  ABCD  с острым углом   В.   Площадь ромба равна, а синус угла В равен.   Высота СН пересекает диагональ   BD   в точке   К. Найдите длину отрезка  СК (рис. 3).

Рис. 3

Решение. Так как диагональ ромба является биссектрисой его угла, то BD - биссектриса угла В, а значит, ВК — биссектриса угла В треугольника НВС. Далее находим сторону и высоту ромба:

ВС = 3,   СН = 4 и применяем свойство биссектрисы угла треугольника. Так как

 и   НК+КС = 4,

то СК =3.

Ответ: СК = 3. Заметим, что учащиеся часто находят площадь треугольника либо как разность площадей двух прямоугольных треугольников, либо по формуле Герона. Рациональнее находить, как показано в решении задач 1 и 2, основание и проведенную к нему высоту.

В данной разработке использованы материалы следующих авторов и сайтов:

  1. http://www.ankolpakov.ru/tag/zadachnik-po-geometrii/
  2. http://ege-ok.ru/2015/06/25/svojstva-bissektrisy-mediany-i-vysoty-treugolnika
  3. Методические материалы:  автор Смирнова Марина Николаевна.
  4. Дидактические материалы к УМК по геометрии авторов   И. М. Смирнова,

В. А. Смирнов.

Просмотр содержимого документа
«Урок по теме «Свойство биссектрисы треугольника»»

Методическая разработка по планиметрии

«Свойство биссектрисы треугольника» для обобщения

данной темы при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ по математике.


Автор Швец Тамара Александровна,

учитель математики высшей категории

МБОУ СОШ № 65 город Краснодар.


ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Данная работа предназначена для повторения некоторых тем планиметрии, входящих в тематический план изучения геометрии в 10-11 классах по учебнику Атанасяна Л.С. В начале первой четверти учащимся 10 класса необходимо повторить следующие темы: теорема о произведении отрезков хорд; теорема о касательной и секущей, теорема о сумме квадратов сторон и диагоналей параллелограмма; вычисление углов с вершинами внутри и вне круга, угла между касательной и хордой; решение треугольников; вычисление биссектрис, медиан, высот, радиусов вписанной и описанной окружностей; формулы площади треугольника: формула Герона, выражение площади треугольника через радиус вписанной и описанной окружностей. В этой работе рассматривается одна из тем, по которым разработаны такие же учебно-методические материалы, которые содержат в себе теоретические факты с доказательствами, задачи различного уровня сложности с решениями и подборка задач для учащихся с целью более качественного закрепления материала. Их можно также использовать для домашнего задания или контроля знаний. По учебному времени занятие может быть организовано для 1-3 уроков, в зависимости от уровня подготовки учащихся.


  1. Свойство биссектрисы треугольника

Теорема Биссектриса треугольника делит третью сторону на отрезки,

пропорциональные двум другим сторонам:



  1. Закрепление учебного материала рассмотрим на примере решение

некоторых задач.


Задача № 1

Стороны треугольника равны 10 см, 11 см и 12 см. Найти отрезки, на которые делит биссектриса треугольника среднюю сторону.

Дано: AC=10 см, BC=11 см, AB=12 см, AP = биссектриса.

Найти: CP и BP.

Решение:

По свойству биссектрисы треугольника:

   

   

Пусть CP=x см, тогда BP=11-x см:

   

откуда по основному свойству пропорции

   

   

   

CP=5 см, BP=6 см.

Ответ: 5 см, 6 см.


Задача № 2

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Найдите периметр треугольника ABC,

если АС = 4; DC = 2; BD = 3.


По свойству биссектрисы BD/AB = DC/AC; 3/AB = 2/4; АВ = 6.

Периметр треугольника РАВС = 6 + 5 + 4 = 15.


Ответ: 15.

Задача №3

Дан треугольник ABC, в котором ABD .



Решение. По свойству биссектрисы AD/DC = AB/BC = 4/6 = 2/3.

Пусть AD = 2х; DC = Зх.

Ответ: 12/5.


На протяжении нескольких лет среди заданий ЕГЭ не раз предлагались планиметрические задачи, которые в случае применения этого свойства решались бы проще. Рассмотрим несколько примеров таких задач.


Задача 1. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведены высоты ВТ и AF. Они пересекаются в точке К. Известно, что АВ = 15, АК= 5. Найдите площадь треугольника АВК (рис. 1).


Рис. 1

Решение. Так как высота ВТ, проведенная к основанию равнобедренного треугольника ABC, является биссектрисой угла В, то отрезок ВК - биссектриса угла В треугольника ABF. По свойству биссектрисы треугольника

, откуда .

Пусть KF= х, тогда BF = Зх, AF = = 5 + х. Рассмотрим треугольник ABF. По теореме Пифагора АВ2 = BF2 + AF2, где AF = AK + KF.

Имеем: 225 = (3х)2 + (5 + х)2, х2 + х - 20 = 0, х = 4. Следовательно, BF = 3х = 3 • 4 = 12.

Наконец,

SABК=АKBF = 512 = 30.

Ответ: SABК = 30.


Задача 2.

Площадь равнобедренного треугольника ABC равна 90, а боковая сторона равна 10. К основанию АВ и стороне ВС проведены высоты СР и АН соответственно, пересекающиеся в точке К. Найдите площадь треугольника СКН (рис. 2).

Решение. SABC = АСВС • sin C,

откуда sin C =, sin C ==

Рассмотрим треугольник АСН. В нем AH = AC • sinC, АН = 10= 6. По теореме Пифагора СН2 = АС2 - АН2, откуда СН = 8.

Рис. 2

Так как высота СР, проведенная к основанию равнобедренного треугольника ABC, является биссектрисой угла С, то отрезок СК - биссектриса угла С треугольника АСН. По свойству биссектрисы треугольника

Пусть АК = 5х и КН = 4х. Тогда

9х=6, х=, КН =4=.

Таким образом,

SCKH=СНСК=•8

Ответ: SCKH = 32.


Задача 3.

Дан ромб ABCD с острым углом В. Площадь ромба равна , а синус угла В равен . Высота СН пересекает диагональ BD в точке К. Найдите длину отрезка СК (рис. 3).

Рис. 3

Решение. Так как диагональ ромба является биссектрисой его угла, то BD - биссектриса угла В, а значит, ВК — биссектриса угла В треугольника НВС. Далее находим сторону и высоту ромба:

ВС = 3, СН = 4 и применяем свойство биссектрисы угла треугольника. Так как

и НК+КС = 4,

то СК =3.

Ответ: СК = 3. Заметим, что учащиеся часто находят площадь треугольника либо как разность площадей двух прямоугольных треугольников, либо по формуле Герона. Рациональнее находить, как показано в решении задач 1 и 2, основание и проведенную к нему высоту.


В данной разработке использованы материалы следующих авторов и сайтов:

  1. http://www.ankolpakov.ru/tag/zadachnik-po-geometrii/

  2. http://ege-ok.ru/2015/06/25/svojstva-bissektrisy-mediany-i-vysoty-treugolnika

  3. Методические материалы: автор Смирнова Марина Николаевна.

  4. Дидактические материалы к УМК по геометрии авторов И. М. Смирнова,

В. А. Смирнов.


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 10 класс

Скачать
Урок по теме «Свойство биссектрисы треугольника»

Автор: Швец Тамара Александровна

Дата: 05.11.2016

Номер свидетельства: 355644

Похожие файлы

object(ArrayObject)#853 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(140) "Конспект урока по теме: "Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника""
    ["seo_title"] => string(73) "konspiekturokapotiemiesvoistvobissiektrisyravnobiedriennoghotrieugholnika"
    ["file_id"] => string(6) "290531"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1454958713"
  }
}
object(ArrayObject)#875 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(201) "Конспект урока по геометрии на тему  "Свойства равнобедренного треугольника" с использованием технологии АМО"
    ["seo_title"] => string(105) "konspiekturokapoghieomietriinatiemusvoistvaravnobiedriennoghotrieugholnikasispolzovaniiemtiekhnologhiiamo"
    ["file_id"] => string(6) "308639"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1458636055"
  }
}
object(ArrayObject)#853 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(125) "урок по геометрии на тему  «Свойства равнобедренного треугольника»."
    ["seo_title"] => string(64) "urokpoghieomietriinatiemusvoistvaravnobiedriennoghotrieugholnika"
    ["file_id"] => string(6) "300424"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1456730404"
  }
}
object(ArrayObject)#875 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(122) "Конспект урока на тему "Медианы, биссектрисы, высоты треугольника" "
    ["seo_title"] => string(68) "konspiekt-uroka-na-tiemu-miediany-bissiektrisy-vysoty-trieughol-nika"
    ["file_id"] => string(6) "103024"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1402564055"
  }
}
object(ArrayObject)#853 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(72) "Свойства равнобедренного треугольника"
    ["seo_title"] => string(44) "svoistva-ravnobiedriennogho-trieughol-nika-1"
    ["file_id"] => string(6) "260203"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1448903972"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

Распродажа видеоуроков!
ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства