Урок по теме «Свойство биссектрисы треугольника»

Методическая разработка по планиметрии

«Свойство биссектрисы треугольника» для обобщения

данной темы при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ по математике.

                                                                      Автор  Швец Тамара Александровна,     

                                                                      учитель математики высшей категории                   

                                                                       МБОУ СОШ № 65 город  Краснодар.

                                    ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ   ЗАПИСКА

Данная работа предназначена для повторения некоторых тем  планиметрии,  входящих  в тематический план изучения геометрии в 10-11 классах    по учебнику Атанасяна Л.С. В начале  первой четверти учащимся 10 класса необходимо повторить следующие темы: теорема о произведении  отрезков хорд; теорема о касательной и секущей, теорема о сумме квадратов сторон и  диагоналей параллелограмма; вычисление углов с вершинами внутри и вне круга, угла между касательной и хордой; решение треугольников; вычисление биссектрис, медиан, высот, радиусов вписанной и описанной окружностей; формулы площади треугольника: формула Герона, выражение площади треугольника через радиус вписанной и описанной окружностей.  В этой работе  рассматривается одна из  тем, по которым разработаны такие же учебно-методические материалы, которые содержат в себе теоретические факты с доказательствами, задачи различного уровня сложности с решениями и подборка задач для учащихся с целью более качественного закрепления  материала. Их можно также использовать для домашнего задания или  контроля знаний. По учебному времени занятие может быть организовано для  1-3 уроков, в зависимости от уровня подготовки учащихся.

1. Свойство биссектрисы треугольника

Теорема                Биссектриса треугольника делит третью сторону на отрезки,

                                пропорциональные двум другим сторонам:

1. Закрепление учебного материала рассмотрим на примере решение

некоторых задач.

  Задача № 1

Стороны треугольника равны 10 см, 11 см и 12 см. Найти отрезки, на которые делит биссектриса треугольника среднюю сторону.

Дано: AC=10 см, BC=11 см, AB=12 см, AP = биссектриса.

Найти: CP и BP.

Решение:

По свойству биссектрисы треугольника:

Пусть CP=x см, тогда BP=11-x см:

откуда по основному свойству пропорции

CP=5 см, BP=6 см.

Ответ: 5 см, 6 см.

Задача № 2

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Найдите периметр треугольника ABC,

если АС = 4; DC = 2; BD = 3.

 По свойству биссектрисы BD/AB = DC/AC; 3/AB = 2/4; АВ = 6.

Периметр треугольника РАВС = 6 + 5 + 4 = 15.

Ответ: 15.

Задача №3

Дан треугольник ABC, в котором < В = 30°, АВ = 4, ВС = 6. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке D. Определите площадь  ABD.

Решение. По свойству биссектрисы AD/DC = AB/BC = 4/6 = 2/3.

Пусть AD = 2х; DC = Зх.

Ответ: 12/5.

На протяжении нескольких лет среди заданий ЕГЭ не раз предлагались планиметрические задачи, которые в случае применения этого свойства решались бы проще. Рассмотрим несколько примеров таких задач.

Задача 1. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведены высоты ВТ и AF. Они пересекаются в точке К. Известно, что АВ = 15, АК= 5. Найдите площадь треугольника АВК (рис. 1).

Рис. 1

Решение. Так как высота ВТ, проведенная к основанию равнобедренного треугольника ABC, является биссектрисой угла В, то отрезок ВК - биссектриса угла В треугольника ABF. По свойству биссектрисы треугольника

,   откуда  .                  

Пусть KF= х, тогда BF = Зх, AF = = 5 + х. Рассмотрим треугольник ABF. По теореме Пифагора АВ2 = BF2 + AF2, где AF = AK + KF.

Имеем: 225 = (3х)2 + (5 + х)2, х2 + х - 20 = 0, х = 4. Следовательно,  BF = 3х = 3 • 4 = 12.

Наконец,

SABК= АK • BF = •5 • 12 = 30.

Ответ: SABК = 30.

Задача 2.

Площадь равнобедренного треугольника ABC равна 90, а боковая сторона равна 10. К основанию АВ и стороне ВС проведены высоты СР и АН соответственно, пересекающиеся в точке К. Найдите площадь треугольника СКН (рис. 2).

Решение.    SABC = АС • ВС • sin C,

откуда    sin C =,    sin C = =

Рассмотрим треугольник АСН.  В нем AH = AC • sin C, АН = 10 • = 6.  По теореме Пифагора  СН2 = АС2 - АН2,  откуда   СН = 8.

Рис. 2

Так как высота СР, проведенная к основанию равнобедренного треугольника ABC, является биссектрисой угла С, то отрезок СК - биссектриса угла С треугольника АСН. По свойству биссектрисы треугольника

Пусть   АК = 5х   и   КН = 4х.   Тогда

9х=6, х=, КН =4• =.

Таким образом,

SCKH= СН•СК= •8 •

Ответ:   SCKH = 32.

Задача 3.

Дан ромб  ABCD  с острым углом   В.   Площадь ромба равна, а синус угла В равен.   Высота СН пересекает диагональ   BD   в точке   К. Найдите длину отрезка  СК (рис. 3).

Рис. 3

Решение. Так как диагональ ромба является биссектрисой его угла, то BD - биссектриса угла В, а значит, ВК — биссектриса угла В треугольника НВС. Далее находим сторону и высоту ромба:

ВС = 3,   СН = 4 и применяем свойство биссектрисы угла треугольника. Так как

 и   НК+КС = 4,

то СК =3.

Ответ: СК = 3. Заметим, что учащиеся часто находят площадь треугольника либо как разность площадей двух прямоугольных треугольников, либо по формуле Герона. Рациональнее находить, как показано в решении задач 1 и 2, основание и проведенную к нему высоту.

В данной разработке использованы материалы следующих авторов и сайтов:

1. http://www.ankolpakov.ru/tag/zadachnik-po-geometrii/
2. http://ege-ok.ru/2015/06/25/svojstva-bissektrisy-mediany-i-vysoty-treugolnika
3. Методические материалы:  автор Смирнова Марина Николаевна.
4. Дидактические материалы к УМК по геометрии авторов   И. М. Смирнова,

В. А. Смирнов.