Урок по теме "Арифметическая и геометрическая прогрессия"
Урок по теме "Арифметическая и геометрическая прогрессия"
Цели:
содействовать развитию ответственного отношения к учению; уважительного отношения к труду, воспитанию интереса, математической активности, умению общаться, общей культуры.
способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора;
обеспечить повторение, обобщение, систематизацию материала по теме. Создать условия контроля, самоконтроля усвоения знаний и умений;
Тип занятия: систематизация и обобщение знаний.
Форма работы: индивидуальная и фронтальная.
Оборудование:
мультимедийный проектор, таблицы,
презентация к уроку
Ход урока
I. Организационный момент, целеполагание
Приветствие. Мотивация образовательной деятельности, совместная постановка целей и задач. Знакомство с формами работы и критериями оценивания
Откройте, пожалуйста, оглавление. Какую главу мы изучали на предыдущих занятиях. Посмотрите, какую тему мы изучали? Изучение этой темы закончено. Чем мы заканчиваем изучение каждой главы? Для того, чтобы написать контрольную работу, необходимо сделать что? Повторить понятие числовой последовательности, арифметической и геометрической прогрессий, их основные формулы. Т.е.привести в систему знания о числовых последовательностях и прогрессиях, обобщить наш опыт решения заданий по теме. Запишем тему урока
Чего вы хотели бы достичь на уроке.
Продолжите любое предложение на выбор (составление плана урока) (слайд 2)
1.Повторить ….
2.Решать …
3.Осуществлять самооценку …
Руководит деятельностью по формулированию темы урока, цели и плана
Слайд-3-5
Цель урока – совершенствование навыков применения основных формул в ходе решения задач, связанных с арифметической и геометрической прогрессиями.
II. Устная работа: актуализация знаний и умений(слайд6)
Определить, какая последовательность?
1) 2; 5; 8; 11;14; 17;…
2) 3; 9; 27; 81; 243;…
3) 1; 6; 11; 16; 21;…
4) –4; –8; –16; –32; …
5) 5; 25; 125; 625;…
6) –2; –4; – 6; – 8; …
Мы знаем, что правильно выбранные формулы часто позволяют существенно упростить решение, поэтому все изученные формулы всегда нужно держать в зоне своего внимания, но для этого нужно хорошо знать их.
Повторение формул по таблице (слайд 7)
III. Самостоятельная работа с самопроверкой (тест)на приз Боэция.(слайд 8-10)
Немного об авторе. Слово «прогрессия» латинского происхождения «progressio» буквально означает «движение вперед» и встречается впервые у римского автора Боэция (VIв) ( слайд 2).
В трактатах по дисциплинам квадривия — арифметике и музыке— передал европейской цивилизации метод и базовые знания лучших греческих авторов (преимущественно пифагорейцев) в области «математических» наук. Возможно, также написал учебники геометрии и астрономии. Квадривиальные учебники — самые ранние работы Боэция; они традиционно датируются 500—506 гг.
Обучающиеся выполняют работу. После выполнения проводят самооценку с последующим обсуждением решений.(слайд 11-12)
Ответ: (слайд 12)
Выполнили самопроверку, обсуждение решений
III. Экспресс-опрос
Истинно или ложно каждое высказывание? (слайд 13)
В арифметической прогрессии 2,4; 2,6;… разность равна 2.
В геометрической прогрессии 0,3; 0,9;… третий член равен 2,7
11-ый член арифметической прогрессии, которой
равен 0,2
Сумма 5 первых членов геометрической прогрессии, у которой
b =1, q = -2 равна11.
Последовательность чисел, кратных 5, является геометрической прогрессией.
Последовательность степеней числа 3 является арифметической прогрессией.
IVПодготовительный этап к дифференцированной работе: составление алгоритма.
(слайд14-15)
Нахождение идеи решения задания. Необходимо составить алгоритм его выполнения.
V. Работа по уровням
Решение предложенных заданий
1 уровень 1-3задание
2 уровень 4-6задание
3 уровень 7-8 задание
VIСообщения «Прогрессии в практических ситуациях» (слайд 16-25)
VIIэтап урока - подведение итогов занятия (рефлексия) (слайд 26)
Учитель обращает внимание учащихся на теоретические факты и типы прогрессий, их основных формул, которые вспомнили на уроке.
VIII. Подведение итога урока.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Просмотр содержимого документа
«Урок по теме "Арифметическая и геометрическая прогрессия"»
Небойся, что не знаешь, бойся, что не учишься.
Китайская пословица
1.Повторить ….
2.Решать …
3.Осуществлять самооценку …
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Цель:
Закрепить навыки применения основных формул в ходе решения задач, связанных с арифметической и геометрической прогрессиями
План урока
Оргмомент, целеполагание
Устная работа
Самостоятельная работа с самопроверкой (тест) на приз Боэция.
Экспресс-опрос
6. Подготовительный этап к дифференцированной работе: составление алгоритма.
7. Работа по уровням
8.Сообщения «Прогрессии в практических ситуациях»
9. Итог урока
Какая последовательность?
1) 2; 5; 8; 11;14; 17;…
2) 3; 9; 27; 81; 243;…
3) 1; 6; 11; 16; 21;…
4) –4; –8; –16; –32; …
5) 5; 25; 125; 625;…
6) –2; –4; – 6; – 8; …
№
№
Прогрессии
Прогрессии
Арифметическая ()
Определение
Определение
Геометрическая ()
Формула для нахождения n-го члена
Формула для нахождения n-го члена
Сумма n первых членов прогрессии
,
Сумма n первых членов прогрессии
Характеристиче
Характеристиче
-ские свойства
-ские свойства
Кто из ученых впервые употребил слово прогрессия ?
Боэций
Боэций
В трактатах по дисциплинам квадривия — арифметике и музыке— передал европейской цивилизации метод и базовые знания лучших греческих авторов (преимущественно пифагорейцев) в области «математических» наук. Возможно, также написал учебники геометрии и астрономии. Квадривиальные учебники — самые ранние работы Боэция; они традиционно датируются 500—506 гг.
Боэций (крайний слева, подглядывающий в записи пишущего Пифагора) на Рафаэлевой фреске «Афинская школа»
№
№
Дано
Дано
1
1
2
2
Найти
Найти
() арифм. прогр.,
Ответ
Ответ
3
3
4
4
() геом. прогр.,
() арифм. прогр.,
5
5
() геом. прогр.,
№
№
Дано
Дано
1
1
Найти
Найти
2
2
() арифм. прогр.,
Ответ
3
Ответ
3
130
4
4
130
() геом. прогр.,
45
() арифм. прогр.,
5
45
5
() геом. прогр.,
525
525
-3,75
или
-3
Истинно или ложно каждое высказывание?
1 . В арифметической прогрессии
2,4; 2,6;… разность равна 2.
2. В геометрической прогрессии
0,3; 0,9;… третий член равен 2,7
3. 11-ый член арифметической прогрессии, у
которой равен -10
4. Сумма 5 первых членов геометрической прогрессии, у которой b =1, q = -2 равна 11.
5. Последовательность чисел, кратных 5,
является геометрической прогрессией.
6. Последовательность степеней числа 3
является арифметической прогрессией.
№
№
1
Задание
Задание
1
Число -22является членом арифметической прогрессии 44,38,32,… Найти его номер
Дана арифметическая прогрессия: 33; 25; 17; … Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.
5
5
Дана арифметическая прогрессия: 33; 25; 17; … Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.
6
В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии.
6
В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии.
Прогрессия задана условием
7
Прогрессия задана условием
7
Найдите сумму первых её 4 членов.
Последовательность задана формулой
8
8
Последовательность задана формулой
Найдите сумму первых её 4 членов.
Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?
Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?
Сколько членов в этой последовательности больше 3?
Сколько членов в этой последовательности больше 3?
№
№
Задание
Задание
1
1
Число -22является членом арифмети ческой прогрессии 44,38,32,… Найти его номер
1. Составление уравнения на основе формулы n-гочлена арифм. прогрессии
4
4
. В прогрессии 9,13,17,… Найти
2. Указать первый член прогрессии , ее знаменатель, и на основе n-гочлена геом. прогрессии составить формулу.
Дана арифметическая прогрессия: 33; 25; 17; … Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.
5
Дана арифметическая прогрессия: 33; 25; 17; … Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.
5
В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии
6
6
В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии
7
7
3. Определить вид прогрессии, указать её первый член, разность или знаменатель, и на основе формулы суммы nчленов найти результат
Прогрессия задана условием
Прогрессия задана условием
8
8
Последовательность задана формулой
Последовательность задана формулой
Найдите сумму первых её 4 членов.
Найдите сумму первых её 4 членов.
Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?
Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?
Сколько членов в этой последовательности больше 3?
Сколько членов в этой последовательности больше 3?
Прогрессии в практических ситуациях
В экономике
В старинных задачах
В природе
В биологии
Задача – легенда
Индийский царь Шерам вызвал к себе Сету, который придумал шахматы, для того, чтобы отблагодарить его за столь интересную игру. Сета попросил у царя за первую шахматную клетку 1 зерно пшеницы, за вторую – 2 зерна, за третью - 4, таким образом, за каждую последующую клетку в 2 раза больше зерна. Царь разгневался, сказав, что просьба слуги не достойна царской щедрости, однако пообещал, что он получит свои зерна за все 64 клетки.
Как думаете царь разгневался зря?
Это геометрическая прогрессия. Найдем ее сумму
18 446 744 073 709 551 615
Быстрое размножение бактерий
Бактерии размножаются делением одной клетки на две, каждая из этих двух в свою очередь также делится на две и получается 4 бактерии, потом 8 и т.д. Если одну бактерию поместить в идеальные условия с обилием пищи, то за одни сутки её потомство должно составить
281 474 976 710 656 клеток. Таким образом, мы имеем дело с примером геометрической прогрессии в природе.
Задача про грипп
Разберем простую задачку. Вася заболел гриппом, но продолжает ходить в школу. Каждый день Вася заражает двух человек, которые в свою очередь заражают еще двух человек и так далее. В классе 31 человек. Через сколько дней весь класс заболеет гриппом?
Подставим наши данные в формулу суммы геометрической прогрессии
Какая связь у задачи про грипп с задачей про финансовую пирамиду
Как вы видите подобная, задача и рисунок к ней напоминает пирамиду, в которой каждый последующий «приводит» новых людей. Однако рано или поздно настает такой момент, когда последние не могут никого привлечь. В нашем случае, если представить, что класс изолирован, 16 человек из 31 замыкают цепочку. Таким образом, если бы 31 человек были вовлечены в финансовую пирамиду, в которой деньги давались в случае, если приведешь двух других участников, то 16 человек не привели бы никого, соответственно, потеряли бы, что вложили в эту финансовую аферу.
Расти в геометрической прогрессии – это как ?
Это выражение имеет математический смысл, оно означает и бурный, неудержимый рост или развитие чего-либо в повседневной жизни. Например в геометрической прогрессии может расти капитал, коллекция или собрание, количество мусора на улицах и прочее. В алгебре рост в геометрической прогрессии предусматривает умножение каждого нового члена прогрессии на одно и тоже число, в самом простом случае на 2. Поэтому не сложно представить, что будет происходить на наших улицах, если количество мусора действительно будет удваиваться ежедневно. А вот для развивающейся компании такой рост означает приятную прибыль и перспективу.
Закончи предложение:
1. Арифметической прогрессией называется…
2. Геометрической прогрессией называется…
3. Если q больше 1 ,то геометрическая прогрессия …
4.Если d меньше 0, то арифметическая прогрессия…
5. В математических моделях практических ситуаций используется быстрый рост …
