Формула суммы n первых членов конечной геометрической прогрессии

Формула суммы  n первых членов  конечной геометрической прогрессии.

Цель урока: Формирование умения находить сумму n  первых членов геометрической прогрессии

Задачи:

1. Образовательная: вывести  формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии, сформировать умение применять их на практике.

2.Развивающая: развивать логическое мышление, память, исследовательские качества обучающихся; развивать рефлексивные умения через проведение анализа результатов урока.

3. Воспитательная:  совершенствовать правильную математическую речь, воспитывать аккуратность, точность; развивать коммуникативные качества.

Ход урока

1. Организационный момент.

(Слайд 1). «Не в количестве знаний заключается образование, а в полном понимании, искусном применении всего того, что знаешь».

                                            Георг Гегель

Эти слова, сказанные немецким философом несколько столетий назад, актуальны и сегодня.

1. Актуализация  знаний

•  Определение арифметической прогрессии.
•  Определение геометрической прогрессии.
•  Формула n-ого члена арифметической прогрессии.
• Формула n-ого члена геометрической прогрессии.

 

Из данных последовательностей В–1 выписать в тетрадь арифметическую прогрессию и указать разность, а В–2 выписать геометрическую прогрессию и указать знаменатель геометрической прогрессии. (Слайд 2)

2,12,22,32…

5,5,5,…

1,3,9,27,…

1,2,3,4,5….

1,4,9,16,.

-2,-6,-10,…

2,4,8,16,…

Ответы: (1в -1,4,6)     (2в – 2,3,7)

- Повторить формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии.

В это время  3 чел работают по карточкам  у доски на применение  формулы  n-го члена   арифметической, геометрической  прогрессии, формулы суммы   n первых  членов арифметической прогрессии  из открытого  банка  задач ОГЭ.

Работа по Слайду 3

Дополнительные вопросы:

• Что задают размножающиеся бактерии?
• Назовите первый член заданной прогрессии, знаменатель.
• Что представляет собой сумма 2+ 4+8 = 16?

1. Мотивационный этап.

(Слайд 4)

 

Ребята, поднимите руку, кто умеет  играть в шахматы?

 А вы знаете, где была придумана эта игра? Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен её остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.

– Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, – сказал царь.

Мудрец поклонился.

– Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание, – продолжал царь. – Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.

Сета молчал.

– Не робей, – ободрил его царь. – Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.

– Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра я сообщу тебе мою просьбу.

Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.

– Повелитель, – сказал Сета, – прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

– Простое пшеничное зерно? – изумился царь.

– Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью – 4, за четвёртую – 8, за пятую – 16, за шестую –32…

–– Довольно, – с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моей милостью. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.

Сета улыбнулся хитро, покинул дворец и стал дожидаться у ворот дворца.

• Почему так хитро улыбнулся Сета?
• Прав ли был индусский царь, считая просьбу Сеты ничтожной, полагая, что все зерна пшеницы уместятся в один мешок?
• К чему сводится эта задача?

Шахматная доска имеет 64 клетки, т.к. за 1клетку 1зерно, за 2 – 2 зерна, за 3 – 4 зерна, за 4 – 8 зерен, за 5 – 16 зерен и т.д., за  64 - 2, то данный ряд чисел представляет геометрическую прогрессию, т.е. мы должны рассчитать сумму 64 – членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель равен 2. Что необходимо для этого знать? (Формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии.).

1. Изучение нового материала.

1. Вывод формулы   суммы n первых членов  геометрической прогрессии.

S= b+ b+ …+ b

b= b  q

(1) S= b+ b q + b  q+ …+ bq

Задача

Дано:

(b) – геом. прогрессия

q 1

Найти S                                  (q)

                                                (2) q S= bq + bq+ bq+ … + bq+ bq

(2)- (1)   q S- S= bq- b

S(q -1) = b(q-1)

S=

                (1) – (2)

S- Sq = b- bq

S(1-q) = b (1 – qn)

S=

Вывод:  S=   или   S=

2. Найти b из этой формулы:

b

3. Какую формулу можно получить,  если раскрывать скобки в числителе?

S

V.Физминутка.

Все умеем мы считать

Раз, два, три, четыре, пять! (Шагаем на месте.)

Все умеем мы считать, (Хлопаем в ладоши.)

Отдыхать умеем тоже (Прыжки на месте.)

Руки за спину положим, (Руки за спину.)

Голову поднимем выше (Подняли голову выше.)

И легко-легко подышим. (Глубокий вдох-выдох.)

VI.Закрепление  нового материала.

Вернемся к легенде о шахматах. Найдем, какое количество зерна должен  отдать индийский царь изобретателю шахмат. (1 ученик  у доски  записывает выражение для суммы). Читаю полученное число.

(Слайд 5). S=1+2+++…+==18 446 744 073 709 551 615.

Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три миллиарда семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать.

Зная формулы необходимо научиться применять их на практике. Приложение – образцы решения примеров. Разобрав их, вы решите аналогичные задания в тетради. Тем ученикам, которые справятся с первыми тремя заданиями, приступить к выполнению №649(в). Время на данную работу 10 минут.

Приложение

ФИО обучающегося_____________________________________________________

№1

Дано:,. Найдите –?

Решение:  ;

.

Ответ: 248

№1

Дано:,.

Найдите –?

№2

Дано:,. Найдите:, –?

Решение:.

.

Ответ:,.

№2

Дано:,.

Найдите:, –?

№3

Дано:,. Найдите:, –?

Решение:,

откуда ;.

При :

;.

При :

;.

Ответ: при  ; при  .

№3

Дано:,.

Найдите:, –?

№4

Дано:,.

Найдите –?

№5

Дано:,.

Найдите:, –?

№6

Дано: а) 2,22,23,24,…;   б) ; ; ; ….

Найдите –?

Опрос.

№1    Дано b1, q. Найти S4-?

№2    Дано b1, b2. Найти  q-? S4-?

№3    Дано b2,  b4. Найти q-? S6-?

Дополнительно № 649(в)

Заканчиваем работу. Оцените свою деятельность на данном этапе. Поставьте «+» рядом с тем заданием, которое верно решили самостоятельно,

«+/-» там, где вы бы не справились без подсказок,

«-» у примера, который вами не решен.

         Теперь поверните листы бумаги. На обратной стороне листа видите задания различного уровня сложности (№4-№6). Ваша задача – выбрать пример того уровня сложности, с которым вы справитесь. Решение оформите здесь же, на листочке. В вашем распоряжении 5-7 минут.

         Заканчиваем работу. Передайте ее с последних парт на первые.

VII. Задание на дом: прочитать п.28, выучить формулы, выполнить № 653(а).

VIII. Рефлексия.

1. На уроке я работал – активно / пассивно

2.Своей работой на уроке я – доволен / не доволен
3.Урок для меня показался – коротким / длинным

4.За урок я – не устал / устал

5.Мое настроение – стало лучше / стало хуже

6.Материал урока мне был – понятен / не понятен, полезен / бесполезен, интересен / скучен

7.Домашнее задание мне кажется – легким / трудным, интересно / не интересно

 

IХ. Итог урока.

Литература:

Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений/ Ю. Н. Макарычев и  др. ; под ред. С. А. Теляковского. – М. : Просвещение, 2011.

Интернет-ресурсы:

http://www.festival.1september.ru

http://www.pedsovet.su

http://www.fipi.ru