Урок "Определение арифметической прогрессии"

Этапы проведения урока

Задания для учащихся, выполнение которых приведёт к достижению запланированных результатов, цель, результативность.

Форма организации учебных действий

УУД

Организационный этап.

Нацеливание учащихся – мотивация

Слайд 2

Закончился двадцатый век.

Куда стремится человек?

Изучены космос и море,

Строенье звезд и вся Земля,

Но математиков зовет

Известный лозунг:

«Прогрессио – движение вперед»

Вступительное слово учителя:

Эта история произошла давным-давно. В древнем городе жили добрый мудрец и злой человек, который завидовал славе мудреца. И решил он придумать такой вопрос, чтобы мудрец не смог на него ответить. Пошел он на луг, поймал бабочку, сжал ее между сомкнутых ладоней и подумал: "Спрошу-ка я: о, мудрейший, какая у меня бабочка - живая или мертвая? Если он скажет, что мертвая, я раскрою ладони - бабочка улетит, а если скажет - живая, я сомкну ладони, и бабочка умрет". Так завистник и сделал: поймал бабочку, посадил ее между ладоней, отправился к мудрецу и спросил его: "Какая у меня бабочка - живая или мертвая?" Но мудрец ответил: " Все в твоих руках:"

Бывают моменты в жизни, когда руки опускаются и кажется, что ничего не получится. Тогда вспомните слова мудреца "Все в твоих руках:" и пусть эти слова будут девизом нашего урока.

-- Вы перешли к изучению одной из интересных тем алгебры 9 класса – «Числовые последовательности». Наше познание курса алгебры можно сравнить с походом в горы и сегодня мы с вами преодолеем ещё одну математическую вершину, а какую вы узнаете позже. А теперь давайте проверим, готовы ли вы к восхождению.

Учащимся выдан лист рефлексии, они заполняют Ф. И.

 Личностные:

формирование мотивации, развитие познавательного интереса

Актуализация опорных знаний. Теоретический опрос

Ребята, предыдущие два урока алгебры были посвящены теме «Последовательности».

Слайд-4

1.Что называется числовой последовательностью?

2. Приведите примеры числовых последовательностей.

3. Каким способом можно задать последовательность?

4. Какие члены последовательности (bn) расположены между

B₁₃₄ и b₁₄₂ , bn -1 и bn + 2, bn +3 и bn +6 ?

5. Последовательность задана формулой :

a_n = 3n – 3.

Найдите: α ₅, α₁₀, αk .(Ответы: 12,27, 3k-3)

6. с₁ = - 10, сn+1 = сn + 10. Найдите : с₂, с₃, с₄. (ответы 0,10,20)

Вспоминают прошлый урок и отвечают (фронтальная работа)

коммуникативные

работа с информацией.

Развивать умение грамотно излагать свои мысли, понимать смысл поставленной задачи.

Устная работа. Создание проблемной ситуации, постановка темы и целей урока.

Слайд-5

На доске записаны последовательности:

а) 4; 8; 12; … 16,20,24 г) 1; 2; 3; 4; …5,6,7,8

б) - 13; - 15; - 17; - 19; …-21,-23,-25 д) 2; 4; 6; 8; …10,12,14

в) - 2; -4; - 8; -16; …-32,-64,-128

Продолжите их.

Какие последовательности образованы с помощью одного и того же правила? (а,б,г,д)

Определение:Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.

Слайд 6

Как проверить, является ли последовательность арифметической прогрессией?

Если разность между последующим и предыдущим членами последовательности есть одно и тоже число, то данная последовательность является арифметической прогрессией

Учащиеся выполняют решение предложенных заданий .

(Учащиеся пытаются сформулировать определения самостоятельно)

Личностные:

творчество

Осуществлять анализ, синтез, проводить сравнение и классификацию по заданным критериям.

Что же нам нужно для упрощения и рационализации этой работы?

Итак: О чем пойдет речь сегодня на уроке?

Какие цели мы должны поставить и реализовать на уроке?

Слайд 7

« Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии. Применение изучаемой  темы к решению задач в формате ЕГЭ».

• познавательной компетентности.

• А сейчас мы снова сформулируем определение, которое у нас получилось и запишем её в виде рекуррентной формулы:

• Слайд 8 Это наша формула –по определению

a_n+1 = α_n + d, d – некоторое число

Выразим d , получим формулу d = α_n+1 – α_n,

верную при любом значении n, она выражает разность арифметической прогрессии, обозначенная d.

Т.Е. если у нас известно а₁ и d , то легко определить любой член прогрессии по схеме:

а₁ (+d) _, а₂ (+d) _, а₃ (+d) _, а₄(+d) _, а₅(+d) _……… а_n-1 (+d), а _n(+d), а_n-2 (+d) _……

Все формулируют тему и цели урока.

Записывают тему урока в тетрадях.

 Личностные:

формирование мотивации,

развитие познавательного

интереса.

Первичное закрепление нового материала

Слайд 9

Решить устно:

1.Назовите первые пять членов арифметической прогрессии:

Разбить на три группы по рядам:

1 вариант а) α₁ = 5, d = 4; Ответы: а₁=5, а₂= 9, а₃ = 15, а₄=19, а₅=23

2 вариант. б) α₁ = 5, d = - 2 Ответы: а₁=5, а₂= 3, а₃ =1 , а₄=-1, а₅=-3.

3 вариант в) α₁ = 5, d = 0. Ответы: а ₁=5, а₂= 5, а₃ = 5, а₄=5, а₅=5

Слайд 10

Самостоятельная работа №2- ответы занести в бланк.

Дано: (аn)- арифметическая прогрессия.

1 вариант а) а₁ = 2, а₂= 6. Найти: d . Ответ: d = 4

2 вариант б) а₃ = 8, а₄= 5. Найти: d . Ответ: d = -3

3 вариант в) а₇ = 12, а₈ = -2. Найти: d . Ответ: d = -14

Работа в группах

Регулятивные: целеполагание, действия по образцу

коммуникативные

работа с информацией,

работа в коллективе, в группе

мотивация

!!! Если предложить вашему вниманию такую задачу : а₁ = 4, d = 1/2, а найти надо а₁₀ , а_15, а_{100. и т.д..}

Очень неудобно вычислять подряд 10 членов прогрессии, затем 15 членов и тем более 100-ый член арифметической прогрессии. Может, есть другой?

Учащиеся предлагают свои решения и способы.

Личностные:

формирование мотивации, развитие познавательного

интереса

Исследовательская работа в группах по выводу формулы

Сейчас вы попробуете самостоятельно вывести некую формулу для вычисления n-члена арифметической прогрессии.

Вывод формулы n-го члена арифметической прогрессии

( вывод формулы провести на доске с помощью учащимися, затем показать Слайд -11 )

Дано: (а_n) – арифметическая прогрессия, a₁- первый член прогрессии, d – разность.

• a₂ = a₁ + d

• a₃ = a₂ + d =(a₁ + d) + d = a₁+2d

• a₄ = a₃ + d =(a₁+2d) +d = a₁+3d

• a₅ = a₄ + d =(a₁+3d) +d = a₁+4d

• . . .

• a_n = a₁+ (n-1)d

Записать в тетрадь формулу: a_n = a₁+ d (n-1)

Коллективная совместная работа по выводу формулы.

1-й ученик

2-й ученик

3-й ученик

4-й ученик

Сравнивают конечные результаты и делают вывод.

Познавательные:

проведение

анализа.

Использовать знаково – символьные средства при решении учебных задач. (П)

Защита

Каждая группа представляет свое доказательство у доски. Сравниваем с доказательством на слайде презентации.

Ура! Мы с вами сделали открытие!

Учащиеся оценивают предложенное доказательство.

Личностные:

развивать умение грамотно излагать свои мысли, понимать смысл поставленной задачи.

Анализ:

открытие нового способа действий.

Создание проблемной ситуации,

Слайд -12

Заметим , что эту формулу можно записать иначе:

a_n = a₁+ d (n-1)

a_n = a₁+ dn-d

a_n = dn+( a₁-d),

обозначим d через k , а разность ( a₁-d) через b, получим:

a_n=kn+b, где k и b некоторые числа

Таким образом, можно определить любой член арифметической прогрессии.

Но, есть и другие задачи, когда нужно определить , является ли данное число членом заданной арифметической прогрессии: например :задача из ОГЭ-15.

Содержит ли арифметическая прогрессия : 17; 13; 9 ; 5 число:

а)-7, б) -5

Решение:

а₁=17, a_n = a₁+ d (n-1) a_n = a₁+ d (n-1)

d= -4 17-4(n-1)= -7 17-4(n-1)= -5

а_n=-7 -4n = -28 -4n = -26

n= 7 n= -26/5

при n=7 (натур.число), следует, что а₇= -7. Другой ответ не подходит, т.к. индексом не может дробное число.

Учащиеся вместе с учителем выводят новые формулы.

Совместноерешение задачи у доски.

Познавательные:

Освоение нового способа деятельности.

Применение способов действий (формул) к новым ситуациям

Вторичное закрепление материала

Слайд -13

Самостоятельное решение с последующей проверкой.(на белой доске решают два ученика)

№ 575 (а, б),

Слайд -14

Комментированное решение с места

№ 576 (b₇= b₁ +6d , …….. b_2k = b₁+d(2k-1)

Решить у доски:

№ 577 ( а) с₅= с₁ +4d = 20+4*3=32

Самостоятельная работа №3 –ответы занести в бланк.

слайд -15 1.Дано: (аn)- арифметическая прогрессия,

1 Вариант а) а₁ = 4, а₃ = 6. Найти: а₂ ответ: 5

2 Вариант б) а₃ = -5, а₅ = 5. Найти: а₄ ответ: 0

3 Вариант в) а₇ = 10, а₉ = 6. Найти: а₈ ответ: 8

Индивидуальное самостоятельное решение с последующей проверкой.

Комментированное решение

Работа у доски.

Индивидуальная самостоятельная работа. Ответы заносятся в бланки-ответов.

Личностные:

Развитие креативных способностей

Физкультминутка

Выполнение физкультминутки

Закрепление нового материала

Слайд -16

3.Закрепление.

№ 579 (а) ( решение у доски)

a_n = a₁+ d (n-1)

№ 591 (а) ( решение у доски) n=23

Задания встречающиеся на ОГЭ

Слайд -17 (решение)

• условие а₁₁

• а₁₁= -11+2*11 =11

• а₁₁=22-2*11=0

• а₁₁=11-2*11 =-11

• а₁₁=19-3*11=-14

Учащиеся решают у доски (помощь учителя с затруднениями )

Личностные:

развивать находчивость, активность при решении задач.

Контроль и оценка

решение заданий повышеннной сложности

Слайд -18

Прогрессии в жизни и быту .

Задача 1: При хранении бревен строевого леса их укладывают как показано на рисунке. Сколько брёвен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?

Простой способ: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=(1+12)+(2+11)+(3+10)+(4+9)+(5+8)+(6+7)=13*6=78 (бревен)

Учащиеся совещаются в группах и предлагают свое решение.

Личностные:

развивать креативность мышления, находчивость, активность при решении задач.

Пропедевтика

Согласно легенде, маленький Карл Фридрих Гаусс, по праву называвшийся “королем математиков” (princeps mathematicorum) решил за несколько минут задачу: просуммировать все числа от 1 до 100. Ученики стали последовательно прибавлять одно число к другому, а Гаусс быстро увидел, что …? Это будет тема следующих наших уроков.

Слайд-19

После обсуждения, учащиеся должны додуматься о рациональности вычисления, если нет, то задание остается на дом.

познавательные: осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач.Создавать и преобразовывать модели и схемы для решения задач.

Итог урока.

Рефлексия.

Тест по теме « Арифметическая прогрессия»

Возвращаясь к эпиграфу нашего урока, я хочу узнать, действительно ли был прав мудрец "Все в твоих руках" ?

- Что нового узнали на уроке?

- Какова формула n-го члена арифметической прогрессии? Пользуясь данной формулой что мы можем найти?

Трудным ли для вас было покорение новой математической вершины, я бы хотела узнать где вы находитесь - по-прежнему у подножия горы, на средине пути или на вершине, изобразите себя на заранее приготовленных листа.

Учащиеся записывают в бланки ответов (индивидуальная работа) и сдают учителю.

Учащиеся заполняютт лист рефлексии.

Умение адекватно оцениватьсвои знания и воспринимать оценку учителя. (Р)

Домашнее задание.

п.25 знать обе формулы определения n-члена арифметической прогрессии)

№ 575 (в.г) , № 577 ( б), № 579 (б, № 591 (б) .

Повторение: № 600(а)

Слайд-21

Цель: проверить усвоение материала урока, формировать умение подбирать примеры

Результативность: формирование самообразовательной компетентности

 Возможность оценки достижения планируемых результатов.

 Регулятивные:

контроль, коррекция, оценка.

Формирование способности

к самосовершенствованию

Творческий этап

применение способа к новым ситуациям

Исследовательская работа.

Ребята получили задание: подготовить проектную работу «Арифметическая прогрессия вокруг нас»

Слово предоставляется Валиевой Алине и ВалиевойЛиане с проектной работой.

Личностные (творчество): умение самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей, способности к саморазвитию и самообразованию