Урок математики по теме "Прогрессии"

Тема урока: Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Цели:

1. Обобщить и систематизировать материал по данной теме.

2. Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и ее применение для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень.

3. Содействовать рациональной организации труда; введением игровой ситуации снять нервно-психическое напряжение; развивать познавательные процессы, память, воображение, мышление, внимание, наблюдательность, сообразительность; выработать самооценку в выборе пути, критерии оценки своей работы и работы товарища; повысить интерес учащихся к нестандартным задачам, сформировать у них положительный мотив учения.

Тип урока: урок обобщения и систематизации с дидактической игрой «Крестики-нолики».

Организационные формы общения: групповая, индивидуальная.

Структура урока:

1. Мотивационная беседа с последующей постановкой цели (игровой замысел).

2. Сообщение правил игры.

3. Входной контроль – игровые действия, в процессе которых происходит актуализация опорных знаний.

4. Игровые действия, в процессе которых раскрывается познавательное содержание; происходит воспроизведение и коррекция учебных знаний; проводится диагностика усвоения системы знаний и умений и ее применение для выполнения практических заданий стандарта с переходом на более высокий уровень.

5. Итог игры, подведение итогов урока.

6. Творческое домашнее задание.

7. Рефлексия.

Ход урока:

I. Беседа с учащимися (желательно пропедевтической направленности)

II. Сообщение правил игры.

Правила игры: класс разбивается на 2 команды, которые решают задачи. С помощью жребия выбирается код команды – «крестик» или «нолик». Выигрывает та команда, которая набирает большее количество своих знаков. Команда, которая с очередным заданием справилась быстрее, имеет право выбора конкурса. Непременное условие игры – начинать с конкурса «Вспомни», а продолжить конкурсом «Т».

Оформление: на экране таблица с название конкурсов, каждая графа которой содержит определенное задание.

Если команда выиграла конкурс, то в таблице вместо названия конкурса проставляется код команды – «крестик» или «нолик», так участники могут следить за ходом игры.

III. Актуализация опорных знаний.

Конкурс «Вспомни»

1. Привести пример последовательности.

2. Привести примеры различных способов задания последовательностей.

IV. Игровые действия.

Следующие конкурсы проходят в таком порядке, в каком их выбирают команды, проставляя в таблице соответственно «крестик» или «нолик», поэтому урока может измениться в рамках игровых действий.

Конкурс «Т».

Каждой команде предлагается ответить на следующие вопросы:

1. Какая последовательность называется арифметической прогрессией?

2. Какая последовательность называется геометрической прогрессией?

3. Что называется разностью арифметической прогрессии?

4. Что называется знаменателем геометрической прогрессии?

5. Какова формула n-го члена арифметической прогрессии?

6. Какова формула n-го члена геометрической прогрессии?

7. Какова формула суммы n первых членов арифметической прогрессии?

8. Какова формула суммы n первых членов геометрической прогрессии?

9. Каковы свойства арифметической прогрессии?

10. Каковы свойства геометрической прогрессии?

11. Какова сумма бесконечной геометрической прогрессии?

Конкурс «SOS».

Каждой команде предлагается 2 задания.

1. Дана последовательность 2; 7; 12; 22; 27; … Определите разность между каждым последующим членом и предыдущим. Выяснить, является ли последовательность арифметической прогрессией.

2. Дана последовательность 2; 4; 8; 16; … Определите частное от деления каждого последующего члена на предыдущий. Выяснить, является ли последовательность геометрической прогрессией.

Конкурс «Тест-прогноз».

Каждой команде предлагается решить следующие задания.

Вариант 1.

1. Записать первые пять членов арифметической прогрессии, если a=3; d=2.

2. Записать первые пять членов геометрической прогрессии, если a=2; q=0,25.

Вариант 2.

1. Записать первые пять членов арифметической прогрессии, если a=2; d=-3.

2. Записать первые пять членов геометрической прогрессии, если a=0,5; q=-2.

Конкурс «Реши задачу».

Каждой команде предлагается выполнить задания.

Вариант 1.

1. Доказать, что последовательность, заданная формулой общего члена a_n=3n – 7, является арифметической прогрессией.

2. В геометрической прогрессии { a_n }найдите a₃, если a₁ =0,5; q=-2.

3. Вычислить сумму 30+31+32+…+38+39+40.

4. Дана геометрическая прогрессия a_n . Вычислите сумму пяти первых членов прогрессии, если a₁ =5; q=2.

Вариант 2.

1. Доказать, что последовательность, заданная формулой общего члена a_n=2n + 8, является арифметической прогрессией.

2. В геометрической прогрессии { a_n }найдите a₄, если a₁ =-2; q=3.

3. Вычислить сумму 11+12+13+…+87+88+89.

4. Дана геометрическая прогрессия a_n . Вычислите сумму пяти первых членов прогрессии, если a₁ =4; q=7.

Конкурс «!».

Каждой команде предлагается задача. «Сколько ударов сделают настенные часы за сутки, если они бьют только один раз в час, отбивая число часов?»

Конкурс «Письмо из прошлого».

Задача Пифагора: «Найти сумму n первых нечетных натуральных чисел: 1+3+5+…+ (2n–1)».

Конкурс «Черный ящик».

Слово «прогрессия» - латинское (progression – движение вперед (как слово «прогрессия»).

С начала нашей эры известна следующая задача-легенда: «индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царем, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую – 2 зерна, за третью – 4 зерна и т.д. Оказалось, что царь не был в состоянии выполнить это «скромное» желание Сеты».

В задаче надо найти сумму 64 членов геометрической прогрессии 1; 2; 2²; 2³; …; 2⁶³ с первым членом 1 и знаменателем 2. Эта сумма равна 2⁶⁴ – 1 = 18 446 744 073 709 551 615.

Такое количество зерен можно собрать лишь с урожая планеты, поверхность которой примерно в 2000 раз больше поверхности Земли.

Задачи на геометрические и арифметические прогрессии встречаются у вавилонян, в египетских папирусах, в древнекитайском трактате «Математика в 9 книгах». Так, в одной из клинописных табличек вавилонян предлагается найти сумму первых девяти членов геометрической прогрессии 1; 2; 2²; …; 2^n-1; ….

Вот другая задача, которую решали в Древнем Вавилоне во втором тысячелетии до нашей эры: «10 братьев, 1 и две трети мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимается не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом – на сколько выше?»

Здесь требуется по сумме первых десяти членов геометрической прогрессии 1 и двух третей мины (1мина=60 шекелей) и известному восьмому члену определить разность арифметической прогрессии.

В папирусе Ахмеса предлагается задача: «У семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из колоса может выпасти по семи мер ячменя. Как велики числа этого ряда и какова их сумма?»

Отметим также, что Архимед знал, что такое геометрическая прогрессия, и умел вычислять сумму любого числа ее членов. Правило нахождения суммы членов арифметической прогрессии впервые встречается в «Книге абака» (1202) леонардо пизанского. Формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии была известна П.Ферма (XVII в.).

В старорусской юридическом сборнике «Русская правда» (X – XI вв.) содержатся выкладки количества зерна, собранного с определенного участка земли; некоторые из них содержат вычисление суммы геометрической прогрессии со знаменателем 2.

Интересные задачи на прогрессии есть в «Арифметике» Магницкого. Вот одна из таких задач: «Некто продавал коня и просил з него 1000 рублей. Купец сказал, что за коня запрошена слишком большая цена. «Хорошо, - ответил продавец, - если ты говоришь, что конь дорого стоит, то возьми его себе даром, а заплати только за одни гвозди в его подковах. А гвоздей во всякой подкове по 6 штук. И будешь ты мне за них платить таким образом: за первый гвоздь полушку (0,25 копейки), за второй гвоздь заплатишь две полушки, за третий гвоздь – четыре полушки и так далее за все гвозди; за каждый в два раза больше, чем за предыдущий». Купец же, думая, что заплатит меньше чем 1000 рублей, согласился. Проторговался ли купец, и если да, то на сколько?

Над этой задачей вы подумаете дома.

Конкурс «Эрудит».

1. Задача из папируса Ахмеса (XVIII-XIX вв. до н.э.). Разделите 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между количеством хлеба у каждого человека и ему предшествующего составляет восьмую часть меры.

2. Задача из книги Е. Д. Войцеховского «Курс чистой математики». Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 к., за вторую рану 2 к., за третью рану 4 к., и т.д. Всего воин получил 655 р. 35 к. Сколько ран у воина?

V. Итог Игры.

Определяются победители. Они и получают высший балл на уроке, а другая команда – на балл ниже. Учителю дается право оценить индивидуально несколько учащихся в зависимости от их активности на уроке.

VI. Домашнее задание.

В качестве дополнения к домашнему заданию, которое дано в процессе урока, можно предложить творческую работу. Например: составить самостоятельно сценарий игры с соседом по парте, продумав новые конкурсы.

VII. Рефлексия.

В конце урока обязательно провести беседу с учащимися. В которой выяснить, что нового они узнали на уроке, понравилась ли им игра, что необходимо изменить. Чтобы было еще интереснее.