Урок Геометрическая прогрессия

Тема урока:

«Определение геометрической прогрессии. Формула n-ого члена геометрической прогрессии»

Цели урока: познакомить учащихся с понятием геометрической прогрессии, формулой n-ого члена геометрической прогрессии.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Ход урока.

Устная работа.

1. Запишите число в виде суммы разрядных единиц: 324; 32; 4; 0; 1782; 0,(8); 1,5(43).

2. Найдите среднее геометрическое чисел 16 и 25; 9 и 36; 49 и 81; и 25.

3. Решите уравнение: .

4. Разложить выражение на множители:

Объяснение нового материала.

Выпишите последовательность, соответствующую условию задачи.

1. Имеется радиоактивное вещество массой 256 г, вес которого за сутки уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на вторые сутки? На третьи сутки? На восьмые сутки? (256; 128; 64; 32; 16; 8; 4; 2; 1;…)

Вопрос: - Как получается второй член последовательности? Третий? Восьмой? (Делением предыдущего члена на 2 или умножением на ).

1. Бактерия за 1 секунду делится на три. Сколько бактерий в пробирке будет через 5 секунд? (1; 3; 9; 27;…)
   Вопрос: Как получается второй член последовательности? Третий? Пятый? (умножением предыдущего на 3).

• Итак, скажите, какую закономерность вы заметили в выписанных последовательностях? Каким образом образовывались новые члены данных последовательностей? (умножением предыдущего на одно и то же число).

• Данные последовательности являются геометрическими прогрессиями. Сформулируйте определение геометрической прогрессии.

Комментарий: Учителем уточняется, что первый член не может быть равен нулю. Спросить детей, почему сделан такой вывод.

Определение: Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

• Рассмотрим геометрическую прогрессию из задачи №1: 1; 3; 9; 27;…

• Внимательно посмотрев на данную последовательность, скажите, на какое число мы постоянно умножаем предыдущие члены, чтобы узнать следующие за ними? (на 3)

• Это число называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают q.

- А как используя два соседних члена получить знаменателем геометрической прогрессии? (необходимо следующий член разделить на предыдущий, например 9:3=3 или 27:9=3)

- А как записать в общем виде формулу для вывода знаменателя геометрической прогрессии? Пусть нам дан член геометрической прогрессии , какой номер будет у следующего за ним члена? (n+1)

- Запишем в общем виде: .

- Как вы думаете, что достаточно знать, чтобы задать геометрическую прогрессию? ().

Практические задания.

Найти знаменатель геометрической прогрессии:

1. 512; 256; 128; 64;…(q=2)

2. (q=

3. (q=-1)

4. (q= )

Далее по аналогии с арифметической прогрессией выводится формула n-ого члена геометрической прогрессии:

=(=

=(=

…………..

Итак, - формула n-ого члена геометрической прогрессии.

Практические задания.

1. В геометрической прогрессии известны Найдите:

- Почему геометрическая прогрессия получила такое название? Сделайте предположение по аналогии с арифметической прогрессией.

2. Найдите среднее геометрическое чисел 4 и 9. Запишите в порядке возрастания найденное число с данными. Образует ли данная тройка геометрическую прогрессию? Ответ обоснуйте. Найдите четвертый, пятый, шестой члены последовательности.

Решение:

2. Получили ряд: 4; 6; 9.
3. Да, данная тройка образует геометрическую прогрессию, т.к. .

4.

Проверьте, выполняется ли данная закономерность для этой тройки чисел

5. ;

Исходя из данного решения сформулируйте свойство членов геометрической прогрессии. (Любой член геометрической прогрессии является средним геометрическим последующего и предыдущего членов)

Давайте попробуем доказать, что (по определению геометрической прогрессии

Сформулируйте определение обратное данному. (Если некоторая последовательность такова, что любой её член, начиная со второго, является средним геометрическим последующего и предыдущего членов, то эта последовательность – геометрическая прогрессия).

Решение номеров из учебника: №

Домашнее задание: №№

Итог урока.
1) С каким понятием мы познакомились сегодня?

2) Что называют геометрической прогрессией?
3) Как найти знаменатель геометрической прогрессии?
4) Что достаточно знать, чтобы задать геометрическую прогрессию?