Конспект урока "Геометрическая прогрессия"

Зайцева Е.С.,

учитель математики

муниципального казённое общеобразовательного учреждения

«средняя общеобразовательная школа

№ 9 г. Аши Челябинской области

(с профессиональным обучением)»

Тема урока «Геометрическая прогрессия»

Цели:

• Доказать теорему о сумме n первых членов геометрической прогрессии;

• применять теорему при решении задач;

• формировать умения опознавать, наблюдать, анализировать;

• воспитывать положительное отношение к учебе.

Тип урока: изучение нового материала.

Формы работы: индивидуальная, фронтальная.

Дидактическое сопровождение: презентация «Геометрическая прогрессия», листочки для самостоятельной работы, копировальная бумага, вырезанные из круги.

Ход урока:

1. Оргмомент (2 мин).

(проверить готовность класса к уроку, сообщение и запись темы урока в тетрадях).

Закончился двадцатый век.

Куда стремится человек?

Изучены космос и море.

Строенье звезд и вся Земля.

Но математиков зовет известный лозунг:

«Прогрессио-движение вперед» (Слайд 1)

2.Актуализация знаний: (Слайд 2)

• Сегодня второй урок, который мы посвятим теме «Геометрическая прогрессия». Повторим основные моменты прошлого урока. Выполним следующие задания.

1. Является ли данная последовательность геометрической прогрессией

а) 3,9,27,81... б) 3,6,9,12,15... в) 4,-1,1/4,-1/16... г) 2,8,32,48....?

Если да, то найдите знаменатель геометрической прогрессии.

1. Найдите n член геометрической прогрессии:

а) a₃, если а₁=3, q=2, б) а_5, если а₁=16 q=0,5.

1. Задача из папируса Райнда: (Слайд 3)«У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может

вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»

(7, 7² ,7³,7⁴ ,7⁵ . Сумма 7+7²+7³ +7⁴ +7⁵ =19607 ).

- При решении данной задачи нам нужно было найти сумму чисел, которые образуют геометрическую прогрессию с первым членом раывным 7 и знаменателем прогрессии равной 7. Мы вычислили и сложили все числа даной прогрессии. Возникает вопрос: нельзя ли выполнить эту операцию, не вычисляя все числа, задающие данную прогрессию?

Если бы над данным вопросом в свое время задумался индусский царь Шерам, то он не попал бы впросак. (Заслушивается сообщение «Легенда о шахматах».) (Слайд 4,5)Шахматы – одн Шахматы — одна из самых древних игр. Она существует уже многие века и неудивительно, что с нею связаны различные придания, правдивость которых, за давностью времени, невозможно проверить.

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений.

Правителю игра очень понравилась, и он предложил изобретателю любую награду. Каково же было удивление властелина, когда мудрец попросил не богатства, не земли, а пшеничных зерен — столько, сколько покажут клетки шахматной доски. На первую клетку требовалось положить 1 зерно, на вторую — два, и на каждую последующую — в два раза больше, чем на предыдущую. Царь подивился такой странной просьбе и, усмехнувшись, велел принести мудрецу два мешка пшеницы. Но когда зерна стали выкладывать на клетки доски, оказалось, что их не хватает. Как велико это число? Кто может объяснить?

- Для этого нужно сложить все степени числа 2 с показателями от 0 до 63.

Это «чудовищное» число звучит так: 18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона 73 миллиарда 709 миллионов 551 тысяча 615.

И все-таки, история о шахматах могла закончиться иначе.Индусский царь не в состоянии был выдать подобной награды. Но он мог бы легко освободиться от столь обременительного долга, будь он силен в математике. Для этого нужно было лишь предложить изобретателю самому отсчитать себе зерно за зерном всю причитавшуюся ему пшеницу.

Чтобы отсчитать миллион зерен, понадобилось бы не менее 10 суток неустанного счета. Чтобы отсчитать себе все зерно изобретателю потребовалось бы примерно 586 549 402 017 лет. Этого зерна хватило бы, чтобы 8 раз засеять всю землю и 8 раз собрать урожай.

Изучение нового материала

Все числа данной задачи также образуют геометрическую прогрессию. И вновь нам необходимо определить сумму прогрессии. Докажем теоремуо том, что сумма n первых членов геометрической прогрессии находится по формуле (Слайд 6)

Таким образом, мы получили формулу для нахождения суммы n-первых членов геометрической прогрессии, в которой известен первый член b ₁ и знаменатель q.

Закрепление изученного материала. Выполнение упражнений

1)

-Применим данную формулу для решения задачи из папируса Райнда и сверим получившиеся результаты.

Решение: b = 7, q=7, n=5,S_n-?.

Применим формулу Получим: S₅=7(7⁵-1):(7-1)=19607.

-Результат одинаковый.

2) В задачнике №17.27(а), 17.28(а)

Решение: № 17.27(а)

Для геометрической прогрессии найдите S_n , если b₁=5, q=2, n=6

- Сумму скольких членов необходимо найти? (Шести)

- Запишите формулу для нахождения суммы шести членов.

Подставим в форму числа и получим: S₆=5(2⁶-1):(2-1)=315.

Решение: № 17.28(а)

Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии: 3,6,12....

- Что необходимо знать для решения данного задания?

- Знаменатель. Он равен отношению последующего члена к предыдущему. Отсюда q=6:3=2. Тогда Подставив числа получим S₅ = 93.

Проверочная работа: (10 мин.)(Выполняется в тетрадях с использованием копировальной бумаги) (Слайд 7)

1 вариант

1. Первый член геометрической прогрессии равен 2, знаменатель – равен 10. Найти четвертый член прогрессии.

А) 20; B) 2000; C) 205;

2. Чему может быть равен знаменатель геометрической прогрессии, если b₇=8, а b₉=72?

А) 3; B) -3; C) 3 и -3;

3.Чему равна сумма первых шести членов геометрической прогрессии, если d₁=3, а знаменатель равен 2?

А) 189; B) 204; C) 245;

2 вариант

1. Первый член геометрической прогрессии равен 4, знаменатель –

равен 2. Найти 5-ый член прогрессии.

А) 532; B) 324; C) 225;

2. Чему может быть равен знаменатель геометрической прогрессии, если b₅=6, а b₇=54.

А) -3; B) 3; C) -3 и 3;

3. Чему равна сумма первых четырех членов геометрической прогрессии, если с₁=8, а знаменатель равен 3?

А) 320; B) 160; C)104;

(По окончании самостоятельной работы листочки сдаются. Решение в тетради сверяются с эталонными. Выставляются оценки в тетрадях самостоятельно. 3 задания- отметка «5», 2 - «4», 1 - «3», отметка «2» не выставляется.) (Слайд 8)

Подведение итогов:

Домашнее задание:

Когда и где происходила эта история – неизвестно. Возможно, что и вовсе не происходило; даже скорее всего, что так. Но быль это или небыль, история достаточно занятна, чтобы её узнать. Итак, наша история начинается. Встретились как-то богач и бедняк.

Бедняк: Сделаем такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Недаром, разумеется, но плата пустяшная, в первый день ты должен по уговору заплатить – смешно вымолвить – всего только одну копейку.

Богач: (удивленно). Одну копейку?.

Бедняк: ( уверенно). Одну копейку. За вторую сотню тысяч заплатишь две копейки.

Богач: Ну а дальше?

Бедняк: А дальше: за третью сотню тысяч - четыре копейки, за четвертую – восемь, за пятую – шестнадцать. И так целый месяц, каждый день вдвое больше против предыдущего.

Богач: И потом что?

Бедняк: Все больше ничего не потребую. Только крепко держать уговор: каждое утро буду носить по сотне тысяч рублей, а ты плати, что сговорено. Раньше месяца кончать не смей.

Богач: Ладно. Неси деньги. Я – то свои уплачу аккуратно. Сам, смотри, не обмани: правильные деньги приноси.

Бедняк: Будь спокоен, завтра с утра жди.Прошел день. Рано утром постучал богачу в окошко тот самый бедняк, которого он повстречал.

Бедняк: Деньги готовь. Я свои принес. Вот мои деньги по уговору. Твой черед платить. Завтра в такое же время жди. Да не забудь, две копейки припаси.

Наутро снова стук в окошко: бедняк деньги принес. Отсчитал сто тысяч, получил свои две копейки, спрятал монету в суму и ушел. Явился бедняк и на третий день – третья сотня тысяч перешла к богачу за четыре копейки. Еще день, и таким же манером явилась четвертая сотня тысяч – за восемь копеек.

Перешла и пятая сотня тысяч - за шестнадцать копеек.

Вопрос: сколько заплатил бедняк и сколько отдал богач за тридцать дней?

Учебник §17 пункты 1,2. Задачник: № 17.26(в), 17.29(а,г).

- Был ли полезен сегодняшний урок? Что нового вы узнали на сегодняшнем уроке? Нарисуйте свое настроение в виде смайликов и прикрепите их к доске.