Урок алгебры на тему "Логарифм. Свойства логарифмов".

Тема урока: Определение логарифма. Свойства логарифмов.

Цели урока:

1. Дать понятие логарифма, выучить свойства логарифмов; применять их при упрощении выражений.

2. Развитие сознательного восприятия учебного материала, зрительной памяти, математической речи учащихся, формировать навыки самообучения, самоорганизации и самооценки.

3. Воспитание познавательной активности, воспитать у учащихся любовь и уважение к предмету, научить видеть в ней не только строгость, сложность, но и логичность, простоту и красоту.

Оборудование: 1. Интерактивная доска

2. Компьютер

3. Презентация «Логарифмы. Свойства логарифмов»

Тип урока: урок изучения новой темы.

ХОД УРОКА

1. Орг. момент

2. Мотивация Дорогие ребята! Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. Эпиграфом урока будут слова А. Дистервега « Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий, кто желает к ним приобщиться, должен достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным напряжением». .

3. Актуализация знаний

Определите тему урока, решив уравнения

2^х = ;
3^х = ;

5^х = 1/125;
2^х = 1/4;
2^х = 4;
3^х = 81;
7^х = 1/7;
3^х = 1/81

4.Новая тема

Сегодня на уроке мы познакомимся с понятием «логарифм», свойствами логарифмов, научимся применять их. Понятие логарифма числа связано с решением показательных уравнений.

Остановимся на решении двух показательных уравнений. Решение уравнения  4^x = 16 не вызывает труда. Так как  данное уравнение примет вид 4^х =4² . Поэтому уравнение имеет единственное решение х=2

А теперь попробуем решить уравнение 4^x = 10.  Что-то не так? Заметили, что 4¹ = 4, а 4² = 16. По теореме о корне это уравнение также имеет единственное решение. Однако, в отличие от предыдущего уравнения, это уравнение является иррациональным числом. Значит, х заключается между числами 1 и 2. Как найти такое число? В первую очередь нужно осознать, что такое х.
х – это такое число, в которое нужно возвести 4, чтобы получить 10.

Вы знакомы с шестью действиями над числами

Эти действия образуют три пары взаимно обратных действий. Этих действий недостаточно, чтобы решить уравнение а=в , где а0 и а  1, поэтому …

Историческая справка

В 1590 году шотландский математик Джон НЕПЕР пришел к идее логарифмических вычислений и составил первые таблицы логарифмов, опубликовал труд «Описание удивительных таблиц логарифмов». В этом труде содержались определение логарифмов, объяснение их свойств. Изобрел логарифмическую линейку, счетный инструмент, использующий таблицы Непера для упрощения вычислений.

Итак, обдумывая, ситуацию с показательным уравнением 4^x = 10  математики ввели в рассмотрение новый символ – логарифм. С помощью этого символа корень уравнения  4^x = 10  записали так:  х= log₄ 10 (читается : логарифм числа 10 по основанию 4). Вот это и есть ответ, который мы искали.

Решим уравнение 3^x = 16. Ответ:  x = log₃16, а ещё такое: 5^x = 46. Ответ: x = log₅46. Легко, не правда ли?

Тогда сформулируем определение логарифма:
Логарифмом числа в0 по основанию а0 и а 1 называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число в.

- логарифм с произвольным основанием.

Например

а) log ₃ 81 = 4, так как 3⁴ = 81;

б) log ₅ 125 = 3, так как 5³ = 125;

в) log _0,5 16 = -4, так как (0,5)^-4 = 16;

Давайте выясним, имеет ли смысл решать логарифмы. Может это просто головоломки, которые придумали математики? Где применяются логарифмы и нужны ли они нам в жизни?

Применение логарифма: банковские расчёты, география, расчёты в производстве, биология, химия, физика, астрономия, психология, социология, музыка.

Основное логарифмическое тождество:

Решить примеры согласно тождеству: .

Основные свойства логарифмов 

Эти свойства вытекают из определения логарифма и свойств показательной функции.

При любом a 0 (a  1) и любых положительных x и y выполнены равенства:

• log_a 1 = 0.

• log_a a = 1.

• log_a xy = log_a x + log_a y.

• log_a  = log_a x - log_a y.

• log_a x^p = p log_a x

• log_a^р x = log_a x

• , с

• для любого действительного p.

Десятичные и натуральные логарифмы 

На практике рассматриваются логарифмы по различным основаниям, в частности по основанию 10.

Логарифмом положительного числа  по основанию 10 называют десятичным логарифмом числа в и обозначается,  т.е. вместо  пишут .

Например,   

Натуральным логарифмом (обозначается In) называется логарифм по основанию e (е 2,7)

Примеры с решением.

5. Закрепление изученного материала

1) Устные задания

2) Выполнение теста

6. Домашнее задание по индивидуальным карточкам

7. Рефлексия

Все понятно Есть вопросы

8. Итог урока

Аристотель « Лучше в совершенстве выполнить небольшую часть дела, чем сделать плохо в десять раз более». Как вы понимаете эти слова?

Спасибо за урок!