Урок повторение "Производная и ее применение"

Открытый урок по теме "Производная и ее применение"

Цели:

1. Повторить, систематизировать и закрепить знания по изучаемой теме.

2. Воспитывать такие качества личности как самостоятельность, внимательность, способствовать развитию творческих способностей путем составления самостоятельной работы.

3. Побуждать учащихся к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей деятельности.

У учащихся на рабочем месте: оценочные листы, карточки с заданиями, карточки с вопросами по теории.

Вся работа на этом занятии сопровождается индивидуальным оценочным листом.

Оценочный лист учащегося.

Фамилия________________________________________________

Имя____________________________________________________

Урок	Этапы	Задания	Кол-во баллов
I	I II III IV V VƖ	Теоретическая разминка Правила дифференцирования Формулы дифференцирования Устная работа Самостоятельная работа Решение задач на применении производной
	V II	Решение задач на применении производной (защита проектов)
Итоговое количество баллов
Оценка

Во всех этапах урока за каждый правильный ответ ученик зарабатывает по 1 баллу.

За проект 5 баллов

Критерии оценок:

“5” -с 40до 47 баллов;

“4” – с25 до 30 баллов;

“3” - с 10 до 25 баллов;

“2” -меньше 10 баллов.

За самостоятельную работу выставляется отдельная оценка.

Ход урока

Ɩ. Вводная беседа (2 мин.) Слайд 1

...Нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…

Н.И. Лобачевский

I. Активизация знаний учащихся. На одном из первых уроков изучения производной я вам задала вопрос:

Мы изучаем производную. А так ли это важно в жизни?

Давайте попробуем ответить на этот вопрос.

А начнем мы с вашего домашнего задания.

Слайд 2 (Ньютон, Г. Лейбниц, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс, Коши. )

- Слайд 5

II. «Исторические сведения» (Дети готовят краткое сообщение)

Производная – одно из фундаментальных понятий математики.

Оно возникло в 18 веке. Независимо друг от друга И.Ньютон и

Г. Лейбниц разработали теорию дифференциального исчисления.

Был этот мир глубокой тьмой окутан.

Да будет свет! И вот явился Ньютон.

А. Поуг.

Исаак Ньютон (1643-1727) один из создателей дифференциального исчисления.

Ньютон ввёл понятие производной, изучая законы механики, тем самым раскрыл её механический смысл.

Лейбниц пришёл к понятию производной, решая задачу проведения касательной к произвольной линии, объяснив этим ее геометрический смысл.

Но это не говорит о том, что до них эти вопросы не изучались. Задолго до этого Архимед не только решил задачу на построение касательной к такой сложной кривой, как спираль, применяя при этом предельные переходы, но и сумел найти максимум функции.

Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс, Коши. Необходимо сказать, что ни Ньютон ни Лагранж не дали четкого определения производной. Впервые определение производной было сформулировано Коши, и именно это определение стало общепринятым и в настоящее время используется почти во всех курсах анализа.

Учитель: Дифференциальное исчисление- это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники

Чтобы убедится в этом давайте вначале вспомним основные понятия, связанные с производной

III. Вопросы теории:

• Сформулируйте определение производной функции в точке.

• Что означает – дифференцировать функцию?

• В чем состоит геометрический смысл производной?

• В чем состоит физический смысл производной?

• Какие точки называются критическими?

• Какие точки называются стационарными?

• Как связано возрастание и убывание функции с производной этой функции?

• Дать алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений функции y=f(x), непрерывной на отрезке [a;b].

• Показать правила дифференцирования.

• Показать формулы дифференцирования.

После каждого правильного ответа помощник учителя вывешивает магнитами на доске плакаты с ответами

Плакаты.

1 плакат. Определение. Производной функции в точке Х₀ называется число, к которому стремится разностное отношение f^’(X₀) = = при Х, стремящемся к нулю.

2 плакат. Определение. Производная с геометрической точки зрения это угловой коэффициент касательной k = tgα= f^’(x₀).

 Определение. Производная с физической точки зрения – это мгновенная скорость V(t)= x^’(t).

3плакат. Определение. Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю называют стационарными , а точки, в которых функция непрерывна, а производная не существует, называются критическими точками этой функции

4 плакат. Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений функции у= f(x), непрерывной на отрезке [a; b].

Найти f^’(x).

Найти критические точки, т.е. где f^’(x)=0 и f^’(x) не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка [a; b].

Вычислить значения функции y=f(x) в критических точках и на концах отрезка, и выбрать из них наибольшее и наименьшее; они и будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции y=f(x) на отрезке [a;b], которые обозначают так: max_[a;b] y(x) и m in_[a;b]y(x).

5 плакат. Правила дифференцирования:

(u + v)^’= u^’+v^’

(u v)^’= u^’v + uv^’

()^’=

(Cu)^’= Сu^’, где с-const.

6 плакат. Формулы дифференцирования

С’=0     5. (cos x)’=-Sin x

(xⁿ)’=nx^n-1     6. (t g x)’=

(’=     7. (ctg x)’= -

(sin x)’=cos x      8. h(x)=g(f(x))

h’(x)=g’(f(x)) f’(x).

.

IV. этап. Устная работа. (3 мин.)

Задания отразить диапроектором на экран, после ответов учащихся демонстрировать ответы на экран. Учащиеся заработанное количество баллов выставляют в оценочные листы.

а) g(x)= 2x-3; b) g(x)=3x⁴-7x³+2x²+ ; в) g(x)=1/х+1

г) f(x)=(x-3)^4 ; д) f(x)=(3-4x)³  e) f(x)= cos5x ж) у =4х⁴ з)у = х³ – х²

у	=	Х6
		2

К)

Ответы: a) 2; b) 12x³-21x²+4x; в) -1/х²; г) 4(x-3)³; д) -12(3-4 x)²; е) -5sin5x; ж)16х^{3 ;} з)3х² -2х; и) 3х⁵

V. этап. Выполнение упражнений на нахождение производной.(7 мин.)

(работа в парах)

Раздать карточки. Как закончат, обмениваются тетрадями. Включить проектор, показывая ответы на экране. Происходит быстрая проверка и комментарий заданий. Учащиеся заработанное количество баллов выставляют в оценочные листы.

Задание для работы в парах.

Найти значение производной при заданном значении аргумента.

Вариант 1. Вариант2.

1)f(x)=4x³+6x+3; x₀=1 1) f(x)=x²- 4; x₀=4

2)f(x)= 3х-sin2х; x₀=0 2) f(x)=x sinx; x₀=

3)f(x)=sin2x; x₀= 3) f(x)= 18/х, х₀ = 9

По 2 балла за каждый верно выполненный пример.

VI. Производная в математике. /Задачи показать диапроектором, а решение выполнить на доске и втетради/

Слайд 6 Задачи1 (о касательной)

Определить угол, который составляет с осью ох касательная к графику функции у=2х² в точках с абсциссами х₀=

Слайд 7

Задача2. Найти наименьшее и наибольшее значение функции у=2х³ + 3х² – 12х на отрезке [-4;2].

Слайд 8

На рисунке изображён график  производной функции  и восемь точек на оси абсцисс: , , , , . В скольких из этих точек функция  убывает?

VƖƖ. Область применение производной в других областях.

А)Применение производной в физике очень обширно.

Механическое движение- это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

Основной характеристикой механического движения служит скорость, которую зная , что

Где уравнением s = s (t) - закон движения тела

Значит, чтобы найти скорость в определенный момент времени, нужно

1.Найти производную s' = s '(t).

2. Подставить в полученную формулу заданное значение времени.

Давайте рассмотрим несколько примеров.

Задание 1 Автомобиль приближается к мосту со скоростью 72 км/ч. У моста висит дорожный знак "36км/ч". За 7 сек до въезда на мост, водитель нажал на тормозную педаль. С разрешаемой ли скоростью автомобиль въехал на мост, если тормозной путь определяется формулой s=20t-t²

Решение: Найдем производную S' (t) = 20 -02t, а так как нам нужно найти скорость за 7 сек до моста т.е скорость в момент времени 7 сек,

Находим S' (7) = 20- 2* 7=6. Зная, что v(t) =S' (t), т.е v(7) = S' (7) = 6м/с=21,6км/ч

Ответ: Да, т.к. скорость через 7 сек. будет равна 6м/с (21,6 км/ч).

Производная в электротехнике

В наших домах, на транспорте, на заводах - всюду работает электрический ток.

Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц.

Количественной характеристикой электрического тока является сила тока.

В цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени.

Сила тока – это как видим предел изменения заряда к изменению времени, т.е производная. (Запишем)

Задание2
Заряд, протекающий через проводник , меняется по закону

Найти силу тока в момент времени t=5 cек.

Решение: I = q'(t). Найдем производную функции

q'(t) = 2cos(2t – 10). q'(5) = 2cos(2*5 – 10) = 2*cos0 = 2, т.е I = q'(5) = 2

Ответ:сила тока равна 2 А

VIII. Домашняя работа.(Раздать заранее заготовленные карточки с заданием)

Задание 1

На рисунке изображен график  — производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки убывания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.

Задание 2

На рисунке изображен график функции  и отмечены точки -2, -1, 1, 3. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Задание 3

Закон изменения температуры тела в зависимости от времени задаётся уравнением T = 0,2t². С какой скоростью изменяется температура тела в момент времени 5с ?

Задание 4

Изменение силы тока в зависимости от времени задано уравнением

I = 2t² – 5t. Найдите скорость изменения силы тока в момент времени 10 с.

IX. ИТОГ УРОКА.

Ребята, давайте оценим нашу работу на уроке.

(Подсчет очков)IX;

2.

Учитель:В заключении урока я хочу вам прочитать стихотворение:

“Музыка может возвышать или умиротворять душу,
Живопись – радовать глаз,
Поэзия – пробуждать чувства,
Философия – удовлетворять потребности разума,
Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,
А математика способна достичь всех этих целей”.

Так сказал американский математик Морис Клайн.

Спасибо за работу!