kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Урок"Производная. Геометрический и механический смысл производной"

Нажмите, чтобы узнать подробности

Представленный урок является повторительно-обобщающим по теме "Производная.Геометрический и механический смысл производной" и позволяет повторить тему "Производная", применение производной для нахождения угла наклона касательной к графику функции, значение производной в указанной точке и позволяет составлять уравнение касательной к графику функции, проходящей через точку х. Также повторяются основные функции и их графики, производные и их графики. При повторении механического смысла производной предлагаемые задачи позволяют находить скорость движущейся точки, если известно изменение координаты и ускорение в какой-то момент времени.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Урок"Производная. Геометрический и механический смысл производной" »

Тема

Производная. Геометрический и механический смысл производной.

Цель

 Повторить, обобщить и систематизировать материал по данным темам. Показать связь понятия производная с геометрией и физикой, показать необходимость знания материала темы при решении прикладных задач. Развивать логическое мышление учащихся, самостоятельность, умение анализировать, навыки самоконтроля. Воспитывать на уроке упорство в достижении конечных результатов, аккуратность, умение применять знания на практике, честность.

Этапы урока

ХОД УРОКА


Создание коллаборатив-ной среды

  1. Организационный момент

Тренинг «Часики», самостоятельное определение темы и цели урока.

Определение темы урока:

Ответьте на мои вопросы:

1) С ее появлением математика перешагнула из алгебры в математический анализ;

2) Ньютон назвал ее «флюксией» и обозначал точкой;

3) Бывает первой, второй,… ;

4) Обозначается штрихом.

Цель нашего урока – повторить основные направления применения производной для решения различных (избранных) задач дифференциального исчисления.

Деление по группам.

Вступительное слово учителя

Лестница успеха.

Определите, на какой ступени лестницы в постижении знаний по данной теме находитесь вы сейчас.

Актуализация знаний по теме

Производная относится к числу математических понятий, которые носят межпредметный характер, и широко применяются в физике, химии, биологии, в технике и других отраслях наук. Это в значительной степени повышает роль межпредметных задач при изучении темы: “Производная”. Изучение материала по теме урока имеет принципиально важное значение, так как здесь показывается приложение производной к решению различных физических и технических задач, то есть возможности применения элементов дифференциального исчисления в описании и изучении процессов и явлений реального мира. Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XV11 веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга И.Ньютон и Г.Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время.

В настоящее время понятия производной находит большое применение в различных областях науки и техники.

Давайте вспомним основные направления применения производной.






производная







Повторение таблицы производных, графиков функций и их производных.




















Работа в группах

(2 группы)



































Деление на 3 группы

Решение

задач

(геометрический смысл производной)












Механический смысл производной











Тестирование

Работа с таблицей производных. (горячий стул внутри группы, взаимооценивание)

Устно найти производные функций. (фронтально)


«Собери четверку», работа с графиками.

(индивидуальная работа с взаимопроверкой)


1)Геометрический смысл производной

2)Механический смысл производной


  1. Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производно в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Касательная к графику дифференцируемой в точке х0 функции f- это прямая, проходящая через точку (х0; f (х0)) и имеющая угловой коэффициент f’(х0).













  1. Механический смысл производной

  1. Если на дороге произошла авария, то инспектора полиции интересует скорость в момент аварии. Как она называется?

  2. Как связана мгновенная скорость с производной?

  3. Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону х(t), то мгновенная скорость точки V(t) = x’(t).

Механический смысл производной состоит в том, что производная от координаты по времени есть скорость (V(t) = x’(t) ). Производная от скорости по времени есть ускорение. (a = v’(t) )


Тангенс угла наклона касательной есть величина, показывающая мгновенную скорость изменения функции в данной точке, т.е. новая характеристика изучаемого процесса. Эту величину Лейбниц назвал производной; Ньютон говорил, что производной называется сама мгновенная скорость.


  1. Можно ли по графику определить чему равно значение производной в точке х0, т.е. в точке касания?

(работа по графикам)

  1. Дана функция у(x) = x² – 2х. Напишите уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой х0 = 2.

  2. Дана функция у(x) = Напишите уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой х0 = - 4.

  3. Дана функция у(x) = sin 2x . Напишите уравнения касательных к графику этой функции в точках с абсциссами х0 = 0 и х0= .


Ответы

а) у = 2х – 4,

б) у = - 1,5х - 9 ,

в) у = 2х и у = -2х + π .


1.Лифт после включения движется по закону s(t) = t² + 2t + 12. Найти скорость лифта в конце 5 секунды.(12 м/с)

2.Лыжник , спускаясь с горы, движется по закону s(t) = 0,5t² - t. Найти скорость и ускорение лыжника в момент времени t= 3 с, если расстояние измеряется в метрах. Какое это движение?

(v(3) = 2 м/с; а = 1 м/с; равноускоренное движение)

3. Тело массой 10 кг движется прямолинейно по закону: S (t) = 3t2 + t + 1 . Найдите кинетическую энергию тела через 4 с после начала движения.

(Решение: Ek = (mv2)/2, Найдем скорость движения тела в момент времени t: v = S’(t) = (3t2 +t + 1)’ = 6t + 1. Вычислим скорость тела в момент времени t = 4c; v(4) = 6 ∙ 4 + 1 = 25. Ek = (10∙ 252)/2 = 5 ∙ 252 = 3125 (Дж)



« Производная. Геометрический и механический смысл производной»

1 Вариант

1. Точка движется прямолинейно по закону S(t)=2t3 +0,5t2-t.

Вычислите скорость при t=1.

1) 5 2) 7 3) 6 4) 9

2. Найдите угловой коэффициент касательной к кривой в точке с абсциссой х=8

1) 1 2) 32 3) 16 4) 8


3. Под каким углом к оси Ох наклонена касательная проведённая к кривой в точке М(2;-4) ?

1) 2) 3) 4)


4. Прямая касается графика функции в точке .Найдите .

1) 1 2) -3 3) -2 4) 2


5. Найдите тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох, проведённой к графику функции в точке с абсциссой .

1) 8 2) 6 3) 4 4) 0


2 Вариант

1. При прямолинейном движении тела путь S(t) (в метрах) изменяется по закону S(t)=. В какой момент времени ускорение будет равно нулю?

1) 5с 2) 10с 3) 0с 4) 0,2с


2. Под каким углом к положительному направлению оси абсцисс наклонена касательная, проведённая в любой точке кривой ?

1) острым 2) тупым

3) прямым 4) параллельна оси Ох


3. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой

1) 2) 3) 4) 3

4. Дана функция . Найдите координаты точки, в которой угловой коэффициент касательной к графику функции равен 2.

1) (4; 3) 2) (-3; 3) 3) (3; -2) 4) (2; -3)


5. Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции в точке с положительной абсциссой ,равен 2. Найдите .

1) 2) 0 3) 4) 1



Рефлексия

Подведение итогов урока

Рефлексия Притча: Шёл мудрец, а навстречу ему 3 человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу. У первого спросил «Что ты делал целый день? И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил камни. У второго мудрец спросил «А что ты делал целый день?» и тот ответил «А я добросовестно выполнял свою работу». А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием «А я принимал участие в строительстве храма»

  • Ребята, давайте мы попробуем с вами оценить каждый свою работу за урок.

  • Кто возил камни? (подним. жёлтые жетоны)

  • Кто добросовестно работал? (подним.синие жетоны)

Кто строил храм? (подним.красные жетоны)

Лестница успеха (добавить, на какой ступени лестницы успеха находитесь вы сейчас и сделать вывод – поднялись ли вы хоть на одну ступень выше?)

Домашнее задание.  Выбрать из тестовых заданий ЕНТ задачи на применение геометрического и механического смысла производной












Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 11 класс

Скачать
Урок"Производная. Геометрический и механический смысл производной"

Автор: Максимова Лидия Васильевна

Дата: 08.12.2014

Номер свидетельства: 141032


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства