Работа с таблицей производных. (горячий стул внутри группы, взаимооценивание) Устно найти производные функций. (фронтально) «Собери четверку», работа с графиками. (индивидуальная работа с взаимопроверкой) 1)Геометрический смысл производной 2)Механический смысл производной Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производно в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. Касательная к графику дифференцируемой в точке х0 функции f- это прямая, проходящая через точку (х0; f (х0)) и имеющая угловой коэффициент f’(х0).
Механический смысл производной Если на дороге произошла авария, то инспектора полиции интересует скорость в момент аварии. Как она называется? Как связана мгновенная скорость с производной? Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону х(t), то мгновенная скорость точки V(t) = x’(t). Механический смысл производной состоит в том, что производная от координаты по времени есть скорость (V(t) = x’(t) ). Производная от скорости по времени есть ускорение. (a = v’(t) ) Тангенс угла наклона касательной есть величина, показывающая мгновенную скорость изменения функции в данной точке, т.е. новая характеристика изучаемого процесса. Эту величину Лейбниц назвал производной; Ньютон говорил, что производной называется сама мгновенная скорость. Можно ли по графику определить чему равно значение производной в точке х0, т.е. в точке касания? (работа по графикам) Дана функция у(x) = x² – 2х. Напишите уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой х0 = 2. Дана функция у(x) = Напишите уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой х0 = - 4. Дана функция у(x) = sin 2x . Напишите уравнения касательных к графику этой функции в точках с абсциссами х0 = 0 и х0= . Ответы а) у = 2х – 4, б) у = - 1,5х - 9 , в) у = 2х и у = -2х + π . 1.Лифт после включения движется по закону s(t) = t² + 2t + 12. Найти скорость лифта в конце 5 секунды.(12 м/с) 2.Лыжник , спускаясь с горы, движется по закону s(t) = 0,5t² - t. Найти скорость и ускорение лыжника в момент времени t= 3 с, если расстояние измеряется в метрах. Какое это движение? (v(3) = 2 м/с; а = 1 м/с; равноускоренное движение) 3. Тело массой 10 кг движется прямолинейно по закону: S (t) = 3t2 + t + 1 . Найдите кинетическую энергию тела через 4 с после начала движения. (Решение: Ek = (mv2)/2, Найдем скорость движения тела в момент времени t: v = S’(t) = (3t2 +t + 1)’ = 6t + 1. Вычислим скорость тела в момент времени t = 4c; v(4) = 6 ∙ 4 + 1 = 25. Ek = (10∙ 252)/2 = 5 ∙ 252 = 3125 (Дж)
« Производная. Геометрический и механический смысл производной» 1 Вариант 1. Точка движется прямолинейно по закону S(t)=2t3 +0,5t2-t. Вычислите скорость при t=1. 1) 5 2) 7 3) 6 4) 9 2. Найдите угловой коэффициент касательной к кривой в точке с абсциссой х=8 1) 1 2) 32 3) 16 4) 8 3. Под каким углом к оси Ох наклонена касательная проведённая к кривой в точке М(2;-4) ? 1) 2) 3) 4) 4. Прямая касается графика функции в точке .Найдите . 1) 1 2) -3 3) -2 4) 2 5. Найдите тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох, проведённой к графику функции в точке с абсциссой . 1) 8 2) 6 3) 4 4) 0 2 Вариант 1. При прямолинейном движении тела путь S(t) (в метрах) изменяется по закону S(t)=. В какой момент времени ускорение будет равно нулю? 1) 5с 2) 10с 3) 0с 4) 0,2с 2. Под каким углом к положительному направлению оси абсцисс наклонена касательная, проведённая в любой точке кривой ? 1) острым 2) тупым 3) прямым 4) параллельна оси Ох 3. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой 1) 2) 3) 4) 3 4. Дана функция . Найдите координаты точки, в которой угловой коэффициент касательной к графику функции равен 2. 1) (4; 3) 2) (-3; 3) 3) (3; -2) 4) (2; -3) 5. Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции в точке с положительной абсциссой ,равен 2. Найдите . 1) 2) 0 3) 4) 1 |