Урок по математике на тему "Разложение на множители"

Тема: РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ С ПОМОЩЬЮ КОМБИНАЦИИ РАЗЛИЧНЫХ ПРИЕМОВ

Три пути ведут к знанию:

путь размышления - это путь

самый благородный, путь

подражания - это путь самый

легкий и путь опыта - это

путь самый горький.

Конфуций

Цели: 1. Систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся применять различные способы разложения мно­гочлена на множители и их комбинации.

2. Способствовать развитию наблюдательности, умения анали­зировать, сравнивать, делать выводы.

3. Побуждать учеников к само-, взаимоконтролю, вызывать у них потребность в обосновании своих высказываний.

Оборудование: экран, кодопозитивы, магнитная доска, на­бор карточек для сбора задания 2 на магнитной доске, карточки с заданием тестов, индивидуальные оценочные листы, копировальная бумага.

Работа учащихся состоит из трех этапов. Результаты каждого этапа урока ученики заносят в индивидуальные оценочные листы:

Оценка за урок зависит от суммы n набранных баллов по всем заданиям. Если n ≥ 36, то ученик получает «5»; при 29 ≤ n≤35 -оценка «4»; при 20 ≤n ≤ 28 - оценка»3»; при n ≤20 ученик полу­чает «2».

Этап I. Начало урока посвящается повторению.

В парах выполняется задание теста 1 (3 мин):

ТЕСТ 1

1. Соединить линиями соответствующие части определения.

Оценка - 2 балла.

2. Завершить утверждение.

Представление многочлена в виде произведения одночлена и многочлена называется вынесением общего множителя за скоб­ки.

Оценка - 2 балла.

3. Восстановить порядок выполнения действий при разложении многочлена на множители способом группировки.

Оценка -2 балла.

4. Отметить знаком плюс «+» верные выражения.

а) a²+b²-2ab=(a-b)²;

б) m²+2mn-n²=(m-n)²;

в) 2pt-p²-t²=(p-t)²;

г) 2cd+c²+d²=(c+d)².

Оценка - 4 балла (по 1 баллу за каждое верно выбранное и вер­но невыбранное выражение).

Учитель включает кодоскоп, демонстрирует кодопозитив с от­ветами к заданиям теста. Происходит быстрая проверка и коммен­тарий заданий. Учитывая коэффициент участия в работе, ученики распределяют между собой заработанное количество баллов, вы­ставляют их в оценочные листы.

Затем на магнитной доске двое учеников выполняют задание 2 (5мин).

Провести классификацию данных многочленов по способу раз­ложения на множители.

В

Метод разложения на множители

результате ученики собирают таблицу.

Остальные учащиеся выполняют задание теста 2 на карточках.

После выполнения работы пары обмениваются вариантами, производят взаимопроверку, сличают работу соседа с тем, что соб­рано двумя учениками на магнитной доске. Оценивают работу то­варища.

Оценка - 8 баллов (по 1 баллу за каждое верное соединение).

ТЕСТ 2

Вариант I.

Задание 1. Соединить линиями многочлены с соответст­вующими им способами разложения на множители.

Вариант II.

Задание 2. Соединить линиями многочлены с соответствующими им способами разложения на множители.

Даем характеристику каждому перечисленному приему, демонстрируем кодопозитивы 2, 3, 4.

Вынесение общего множителя Из каждого слагаемого, входящего в многочлен, выносится некоторый одночлен, входящий в качестве множителя во все слагаемые. Таким общим множителем может быть не только одночлен, но и многочлен.

Группировка Бывает, что члены многочлена не имеют общего множителя, но после заключения нескольких членов в скобки (на основе переместительного и сочетательного законов сложения) удается выделить общий множитель, являющийся многочленом.

Применение формул сокращенного умножения Здесь группа из двух, трех (или более) слагаемых, которая обра­щает выражение, входящее в одну из формул сокращенного умножения, заменяется произведением многочленов.

Задание 3. «Математическая эстафета» (7 мин).

Работа по командам. На последней парте каждого ряда нахо­дится листок с 8 заданиями (по два задания на каждую парту). Эти же задания записаны на доске. Ученики, получившие листок, вы­полняют первые два задания (разрешается совместная работа) и передают листок впереди сидящим ребятам, после чего подключа­ются к работе всего класса.

Работа считается оконченной, когда учитель получает три ли­стка (по количеству рядов) с выполненными 8 заданиями.

Побеждают учащиеся того ряда, в котором раньше решат во­семь примеров.

Проверка итогов работы осуществляется с помощью кодоскопа. В этой работе оценивается коэффициент участия в решении.

Оценка - 8 баллов (по 1 баллу за каждый верно выполненный пример).

Задания

1-й ряд	2-й ряд	3-й ряд
Разложить на множители
1. 3a+12b	1. 16a2+8ab+b2	1. 10a-15c
2. 2a+2b+a2+ab	2. 3m-3n+mn-n2	2. 4a2-9b2
3. 9a2-16b2	3. 5a-25b	3. 6xy-ab-2bx-3ay
4. 7a2b-14ab2+7ab	4. 4a2-3ab+a-aq+3bq-q	4. 4a2+28ab+49b2
5. m2+nm-m-mq-nq+q	5. 9a2-30ab+25b2	5. b(a+c)+2a+2c
6. 4a2-4ab+b2	6. 2(a2+3bc)+a(3b+4c)	6. 5a3c-20acd-10ac
7. 2(3a2+bc)+a(4b+3c)	7. 144a2-25b2	7. x2-3x-5x+15x
8. 25a2+70ab+49b2	8. 9a3b-18ab2-9ab	8. 9a2-6ac+c2

Этап II.

На практике при решении примеров часто приходится использовать комбинацию различных приемов. Поэтому, чтобы успешно решать такие примеры сегодня, мы попытаемся выработать план их последовательного применения. Иными словами, здесь нужны не только знания, но и опыт.

Задание 4. Разложите многочлен на множители и укажите, какие приемы использовались при этом (6 мин).

У доски одни и те же примеры выполняют несколько учащихся с последующей проверкой правильности выполнения учащимися класса.

Пример 1. 36а⁶b³ - 96а⁴b⁴ + 64a²b⁵.

Решение. 36а⁶b³ - 96а⁴b⁴ + 64a²b⁵= 4a²b³ (9а⁴ – 24a²b + 16b²) = =4a²b³ (3а² – 4b)².

Комбинировали два приема:

- вынесение общего множителя за скобки;

- использование формул сокращенного умножения.

Пример 2. а² + 2аb + b²- с² = (a² + 2аb + b²- с²).

Решение. а² + 2аb + b²- с² = (a² + 2аb + b²)- с²=

=(a+b)²-c²=(a+b-c)×(a+b-c)

Комбинировали два приема:

- группировку;

- использование формул сокращенного умножения.

Пример 3. у³ -Зу² + 6у - 8.

Решение. у³ -Зу² + 6у - 8= (у³ - 8) -(Зу² - 6у) = (у- 2) (у² +2у +

+4)Зу(y-2) = (у-2)(у² + 2у + 4-Зу) = (y-2)(у²-у + 4).

Проверка: (y-2)(у²-у + 4)=y³-y²+ 4у-2y² + 2у-8= у³ -Зу² + 6у - 8.

Комбинировали три приема:

- группировку;

- формулы сокращенного умножения;

- вынесение общего множителя за скобки. Эти примеры показывают, что при разложении многочлена на множители полезно соблюдать следующий порядок:

Кодопозитив № 6.

1. Вынести общий множитель за скобку (если он есть).

2. Попробовать разложить многочлен на множители по фор­мулам сокращенного умножения.

3. Попытаться применить способ группировки (если преды­дущие способы не привели к цели).

Пример 4. n³ + Зn² + 2n.

Решение. n³ + Зn² + 2n = n (n² + Зn + 2) = n (n² + 2n + n + 2) = = n ((n² + 2n) + (n + 2)) = n (n (n + 2) + n + 2) - n (n + 1) (n + 2).

Комбинировали три приема:

- вынесение общего множителя за скобки;

- предварительное преобразование;

- группировку.

Отмечаем, что для решения этого примера мы использовали еще один прием разложения на множители - предварительное преобразование.

Даем ему характеристику.

Демонстрируем кодопозитив № 7.

Предварительное преобразование Некоторый член многочлена раскладывается на необходимые слагаемые или дополняется путем прибавления к нему некоторого слагаемого. В последнем случае, чтобы многочлен не изменился, от него отнимается такое же слагаемое.

Оценка — 4 балла (по 1 баллу за каждый правильно, самостоя­тельно решенный пример).

Задание 5. (7 мин) Совокупность различных приемов разло­жения на множители позволяет легко и изящно производить ариф­метические вычисления, решать уравнения вида

ах² + bх + с = 0 (а ≠ 0) (такие уравнения называются квадратными, мы с вами займемся их изучением в 8 классе), решать задачи на делимость, доказывать тождества.

1. Решить уравнения:

а)x² -15x+ 56 = 0 б)x² + 10x + 21 =0

Решение. Решение.

x²-7x-8х + 56 = 0, х²+ 10x + 25-4 = 0,

(x²- 7x) -(8x -56) = 0, (х + 5)²-4 = 0,

x(x-7)-8(x-7) = 0, (х + 5-2)(х + 5 + 2) = 0,

(x-7)(x-8) = 0, (x+3)(x+7)=0,

x - 7 = 0 или x- 8 = 0, х + 3 или х + 7 = 0,

х = 7 или x = 8. х = -3 или х = -7.

Ответ: 7; 8. Ответ: -3; -7.

Отмечаем, что при разложении многочлена х² + 10x + 21 на множители мы «увидели» полный квадрат (x²+ 10x+25=(х+5)²) и таким образом применили еще один прием разложения на мно­жители: метод выделения полного квадрата.

2. Доказать, что при любом натуральном n значение выражения (Зn - 4)² - n² кратно 8.

Решение . (Зn - 4)² - n² = (Зn - 4 - n) (Зn - 4 + n) = (2n - 4) (4n-4) = 8(n-2)(n-1).

Так как в полученном произведении один множитель делится на 8, то все произведение делится на 8.

3. Вычислить 38,8² + 83 -15,4 - 44,2².

Решение. 38,8² + 83 -15,4-44,2² = 83 • 15,4-(44,2²-38,8²) = =83 • 15,4 - (44,2 - 38,8) (44,2 + 38,8) = 83 • 15,4 - 5,4- 83 =83 –

-(15,4 -5,4) = 83- 10 = 830.

4. Доказать тождество (а²+За)² + 2(а²+За)=а(а+1) (а+ 2) (a+ З).

Способ I Преобразуем левую часть ра­венства в правую. (а2+За)2 +2 (а2+3а) = (а*+3а) (а2+ +3а+ 2) = (о2 + За) (а2 + 2а + а + +2) = а (а + 3) (а (а + 2) + (а + 2)) = = а (а + 3) (а + 2) (а + 1) = а (а + 1) (а + 2) (а + 3) ч. т. д.

Способ II Преобразуем правую часть равенства в левую. а (а + 1) (а + 2) (а + 3) = = (а (а + 3)) ((а + 1) (а + +2)) = (а2 + За) (а2 + За + +2) = (а2 + За)2 + 2(а2 + За) ч. т. д.

Для каждой задачи задания 4 указываем комбинацию приме­няемых примеров.

Оценка - б баллов (по 1 баллу за каждое правильное решение).

Этап III.

Задание 6. Самостоятельная работа (на листочках под ко­пирку) (10 мин).

Вариант I	Вариант II
Разложить на множители, используя различные способы.
1. 5a3-125ab2;	1. 63ab3-7a2b;
2. a2-2ab+b2-ac+bc;	2. m2+6mn+9n2-m-3n;
3. (c-a)(c+a)-b(b-2a);	3. (b-c)(b+c)-a(a+2c);
4. x2-3x+2;x2-x-2x+2;	4. x2+4x+3; x2+x+3x+3
5. x4+5x2+9;(x2)2+32+6x2-x2.	5.x4+3x2+4=(x4+4x2+4)-x2=(x2+3)2-x2

Самостоятельная работа проверяется на уроке с помощью кодоскопа.

Копии решений учащиеся сдают учителю, осуществляют само­проверку и самооценку знаний. Отметка за работу равна числу верно выполненных заданий.

Кодопозитив с ответами к заданиям.

Вариант I	Вариант II
1.5a222222222;	1. 63ab3-7a2b;
2. a2-2ab+b2-ac+bc;	2. m2+6mn+9n2-m-3n;
3. (c-a)(c+a)-b(b-2a);	3. (b-c)(b+c)-a(a+2c);
4. x2-3x+2;x2-x-2x+2;	4. x2+4x+3; x2+x+3x+3
5. x4+5x2+9;(x2)2+32+6x2-x2.	5.x4+3x2+4=(x4+4x2+4)-x2=(x2+3)2-x2

Задание 7. (Резерв времени 5 мин).

Учитель предлагает ученикам в тетрадях и «за доской» выпол­нить следующие задачи на выбор:

1. Доказать, что число 370 -371 -372 • 373 + 1 можно предста­вить как произведение двух одинаковых натуральных чисел.

(5 баллов.)

2. Доказать, что значение выражения 2х² + 4ху + 4у² - 2х + 1 не­отрицательно при любых значениях х и у.

(4 балла.)

Учитель наблюдает за работой и при необходимости помогает, руководит работой учеников.

Указания:

1. а (а + 1) (а + 2) (а + 3) + 1 = (а² + За + 2) (а² + За) + 1 = * ((а² + За +1) + 1) ((а² + За + 1) -1) + 1 = (а² + За + I)². В нашем случае а = 370.

Доказательство:

2. 2Х² + 4ху + 4у² - 2х + 1 = (х² + 4ху + 4/) + (х² - 2х + 1) = = (х + 2у)² + (х- 1/ 0, т. к. (х + 2у)² 0 и (* - I)² 0 при любых хну.

Как только ученики у доски справятся с работой, им можно предложить сесть на свое место, а потом каждый по очереди объ­яснит свое решение у доски. (Остальные проверяют выполнение задания на доске и у себя в тетрадях.)

Учащиеся проставляют количество баллов в оценочный лист. Оценивают свою работу на уроке.

Подведение итогов урока. (2 мин)

Учитель проводит фронтальный обзор основных этапов урока; отмечает, что, кроме трех основных приемов разложения на мно­жители: вынесение общего множителя за скобки, группировки, ис­пользование формул сокращенного умножения, - учащиеся позна­комились еще с двумя способами: методом выделения полного квадрата, предварительным преобразованием; оценивает работу учащихся и ориентирует учеников в домашнем задании.

Домашнее задание.

Если вы получили оценку:

Дополнительное задание:

Составить 8 примеров для математической эстафеты по теме урока.