Урок математики в 8 классе " Рациональные числа"

Урок математики( алгебра) в 8 классе

Учитель: Якуткин Алексей Андреевич

Алешенский филиалМБОУ Селецкая СОШ

Трубчевского района Брянской области

2015 год

Тема урока: Рациональные числа.

Цели урока:

Создать условия, при которых ученик:

- расширит представления о числе, сформирует понятие «рациональное число»;

- систематизирует знания о числовых множествах;

- приобретет навыки перевода рациональных чисел в десятичную (конечную или бесконечную) дробь; бесконечных десятичных периодических дробей в рациональные числа; различные способы перевода бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь;

- приобретет умения работать в парах,

- разовьет навыки самостоятельной работы, умения анализировать, сравнивать, внимательно выполнять необходимые действия.

В результате ученик:

- знает, как определить вид числа, его принадлежность к числовым множествам;

- умеет правильно пользоваться математической символикой в процессе выполнения заданий;

- умеет представлять рациональное число в виде конечной или бесконечной периодической дроби;

- сможет научиться представлять бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной дроби;

Ход урока:

1. Организационный этап. Повторение изученного.

• Устный счет (слайд 2).

• Верно ли…

• что число -5 - натуральное?

• что натуральные числа использовали для счета предметов?

• что самое маленькое натуральное число – это 0?

• что любое натуральное число (например, 4) можно записать в виде обыкновенной дроби?

• что дроби появились, когда люди стали делить между собой имущество, измерять земельные участки, исчислять время?

• что - это натуральное число?

• что любое целое число (например, -67) можно записать в виде десятичной дроби?

• что знак  означает «принадлежит»?

• что запись «(3;5)  (2;9)» означает «промежуток от 3 до пяти является частью промежутка от 2 до 9»?

• что утверждение «2  Z» - верное?

• что -7 0?

• что знак  означает «является частью»?

• что - это дробь?

• что множество целых чисел – самое маленькое?

1. Основной этап урока с сообщение нового блока теории и проверки имеющихся знаний.

Давайте вспомним, какие числа на сегодняшний день мы с вами знаем:

• Натуральные числа – N (слайд 3)

• Для того чтобы вычитание натуральных чисел было выполнимо во всех случаях, множество натуральных чисел дополняют числом 0 и числами, противоположными натуральным и все вместе они составляют множество целых чисел – Z (слайд 4)

• Обыкновенной дробью называется число вида  (где m – целое число, а n – натуральное число). Например:,,, – обыкновенные дроби. (слайд 5). Число m называют числителем дроби, а число n – знаменателем дроби.

• Всякое целое число можно также рассматривать как обыкновенную дробь со знаменателем 1. Например:-7,0,5

• Напомню основное свойство дроби: если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и тоже (не равное нулю) число, то получится дробь, равная данной дроби.

Пример 1.

Рассмотрим дробь . Умножив ее числитель и знаменатель на число 2. Получаем дробь. Эта дробь равна данной.

Разделим теперь числитель и знаменатель дроби  на число (-3). Получаем дробь=. Эта дробь также равна данной. Итак, имеем: . Поэтому одну и ту же дробь можно представить в виде  разными способами.

Обыкновенная дробь  называется правильной, если 

Пример 2.

а) дробь 

б) дробь 

в) дробь 

г) дробь (-11)=11.

Неправильная дробь может быть записана в виде смешанной дроби, т.е. дроби, содержащей целую и дробную части. Например, ,

• Любую обыкновенную дробь можно записать в виде десятичной дроби, разделив «уголком» ее числитель на знаменатель.

Пример 3.

Обратить в десятичную дробь: а) .

В случае а) была получена конечная десятичная дробь: . В случае б) легко увидеть, что после выполненного деления вновь получается остаток 40, и процесс деления будет неограниченно продолжаться (отметь скобкой справа). Поэтому получаем: бесконечную периодическую десятичную дробь. При этом повторяющаяся группа цифр называется периодом. Принято период указывать в скобках:0,536 36 …=0,5(36). Читают: 0 целых 5 десятых и 36 в периоде.

Учитывая, что конечная десятичная дробь не измениться, если после последней цифры записать любое количество нулей (например, 0,075=0,0750=0,07500 и т.д.), конечные десятичные дроби можно рассматривать как бесконечные периодические десятичные дроби с периодом нуль (например. 0,075=0,075(0)). Однако замечу, что период нуль никогда не указывается.

Таким образом, любая обыкновенная дробь  может быть представлена единственным образом в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Справедливо также и обратное утверждение: любая бесконечная периодическая десятичная дробь может быть представлена единственным образом в виде обыкновенной дроби .

На примере рассмотрим, как производится такое обращение.

Пример 4.

Обратить в обыкновенную дробь: а)1,6; б)1,(15).

а) сразу запишем данную дробь в виде обыкновенной и выполним сокращение: 1,6=1.

б) обозначим данное число буквой х=1,(15)=1,1515… т.к. период этой дроби содержит две цифры, то умножим число х на 10²=100 и получим 100х=115,1515…. Теперь найдем разность чисел 100х и х: 100х-х=99х=115,1515….-1,1515….=114. Для нахождения х получим уравнение: 99х=114,откуда х=.

Проверить полученные результаты очень просто: надо опять обратить полученные обыкновенные дроби в десятичные:

а) 1 б) 1

К сожалению, операции над бесконечными периодическими десятичными дробями выполнить намного сложнее. Самый простой способ решения таких задач: перевести эти дроби в обыкновенные и выполнить действия с ними.

Пример 5.

Вычислить (1,(3)-1,(6))÷0,(21)

а) х=1,(3)=1,3333….Умножим это число на 10 и получим:10х=13,3333….Тогда 10х-х=9х=13,3333….-1,3333….=12.Имеем 9х=12 и х=.

б)х=1,(6)=1,666…Умножим и это число на 10:10х=16,666….Получаем 10х-х=9х=16,666….-1,666…=15.Имеем 9х= 15 и х= .

в) х=0,(21)=0,2121…Умножим это число на 100 и получим:100х=21,2121… Тогда 100х-х=99х=21,2121….-0,2121….=21,откуда 99х=21 и х=.

Теперь запишем этот пример для полученных обыкновенных дробей:

(1.

Таким образом, получаем дробь  (слайд 6-7)

В заключение сделаем основной вывод: к рациональным числам относятся: целые числа, обыкновенные дроби, конечные десятичные дроби и бесконечные десятичные дроби. Все рациональные числа можно представить в виде  (где m- целое число, n – натуральное число). (слайд 8)

Множество рациональных чисел обозначают буквой Q. Заметим, что разные бесконечные десятичные периодические дроби представляют разные рациональные числа. Исключением являются дроби с периодом 9, которые считают другой записью дробей с периодом 0.

Пример 6.

а) 2,(9)=2,99….=3,00…=3;

б) 2,37(9)=2,3799…=2,3800…=2,38.

Бесконечные десятичные дроби с периодом 9 заменяют дробями с периодом 0. При обращении обыкновенной дроби в десятичную не может получиться дробь с периодом 9.

Изобразите с помощью кругов Эйлера множество рациональных чисел.

3 .Задание на уроке:

• В учебнике

• На слайде 9

• Самостоятельная работа (слайд 10-11)

4. Подведение итогов:

- знаем, что все числа объединены во множество рациональных чисел;

- умеем пользоваться символикой и определять принадлежность чисел и промежутков;

- умеем любое число представлять в виде дроби , где или в виде бесконечной периодической дроби;

- получили возможность научиться переводить бесконечные периодические дроби в обыкновенные двумя способами, заметили, что второй способ трудно формулировать, но его применение ускорит получение результата) (слайд 12).

5. Рефлексия (слайд 13).

6. Выставление оценок.

7. Домашнее задание. (Задание по карточкам).