Урок математики в 11 классе по теме "Усеченный конус"

Изучение нового материала. Беседа с учащимися

Учитель: Посмотрите, пожалуйста, на экран монитора. .(модель 7.3 диска «Открытая математика. Стереометрия.», издательство ФИЗИКОН) Что вы на нем видите?

Ученики: плоскость разбивает конус на две части.

Учитель: Какая это плоскость?

Ученики: параллельная основанию конуса.

Учитель: Что представляет собой меньшая часть конуса?

Ученики: конус, подобный данному.

Учитель: А что представляет собой вторая часть?

Ученики: усеченный конус.

Учитель: А теперь сконцентрируйте свое внимание, еще раз посмотрите на полученную фигуру и подумайте, с какой целью мы обратились к этой фигуре? Что нам необходимо выяснить, чтобы мы могли приступить к дальнейшему изучению раздела геометрии «Тела вращения»? Определите, пожалуйста, цели нашего сегодняшнего урока.

Ученики: 1) Выяснить какая фигура является усеченным конусом.

2) Вывести формулы для вычисления площади полной и боковой поверхности

Учитель: обращается к презентации и показывает цели урока. опрос.ppt

Учитель: Посмотрите на нашу трехмерную модель.(модель 7.3 диска «Открытая математика. Стереометрия.», издательство ФИЗИКОН) А теперь сделайте чертеж в своей тетради. (дать 2 мин на зарисовку чертежа)

Учитель: Продолжим наши наблюдения. .(модель 7.3 диска «Открытая математика. Стереометрия.», издательство ФИЗИКОН)

1. Как вы думаете, какие фигуры являются основаниями усеченного конуса?

Ученики: основания усеченного конуса- 2 круга

Учитель: Эти круги называются соответственно верхним и нижним основаниями.

1. Что вы можете сказать про образующую усеченного конуса?

Ученики: Образующая усеченного конуса- это отрезок, соединяющий соответственные точки окружностей оснований.

Учитель: Посмотрите, пожалуйста, на наш чертеж. .(трехмерный чертеж 5.2.2 диска «Открытая математика. Стереометрия.», издательство ФИЗИКОН) Какой отрезок является образующей у данного усеченного конуса?

Ученики: это отрезки AA₁ и B₁B.

1. А что можно сказать о радиусе усеченного конуса? Какой это отрезок? Или, быть может, их у него несколько?

2. Посмотрите на чертеж. Что является осью усеченного конуса? (чертеж 5.2.2. диска «Открытая математика. Стереометрия.», издательство ФИЗИКОН)

Ученики: ось усеченного конуса- это его высота ОО₁

Учитель: А что является высотой усеченного конуса?

Ученики: Высота усеченного конуса- это расстояние между плоскостями оснований.

1. А теперь подумайте, пожалуйста, и скажите: по отношению к полному конусу, чем являются высота и образующая?

Ученики: Образующая и высота усеченного конуса являются частями образующей и высоты полного конуса.

1. Как вы думаете, что можно сказать про осевое сечение усеченного конуса?

Ученики: Осевое сечение усеченного конуса- это равнобокая (равнобедренная) трапеция

1. А что можно сказать про основания этой трапеции?

Ученики: Ее основания- это диаметры оснований усеченного конуса.

Учитель: Показывает на чертеже 5.2.2 .(диска «Открытая математика. Стереометрия.», издательство ФИЗИКОН) осевое сечение усеченного конуса и обращает внимание на то, что AA₁B₁B равнобокая трапеция)

Учитель: Итак, с какими понятиями мы сегодня встретились? Обобщите, пожалуйста, наши наблюдения.

Ученики: -что такое усеченный конус
- основания усеченного конуса
- ось усеченного конуса
-образующая усеченного конуса.

Учитель: Еще раз вспомните, о чем мы сегодня говорим?

Ученики: Об усеченном конусе и его свойствах.

Учитель: А теперь посмотрите на задачу, которую мы решали вначале урока. Как вы думаете, с какой целью мы к ней обратились, и вспомните те понятия, с которыми мы сегодня столкнулись изучение нового материала беседа.ppt

AA₁===
образующая чаще всего обозначается буквой l.

Ученики: длина образующей- это длина бокового ребра равнобокой трапеции и вычисляется по формуле:

1. А тогда боковая поверхность усеченного конуса чем является?

Ученики: Боковая поверхность усеченного конуса- это часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус.

Учитель: Из всего выше сказанного, какой вывод мы можем сделать? Как мы будем находить площадь боковой поверхности усеченного конуса?

Ученики: Нам надо из площади боковой поверхности полного конуса вычесть площадь боковой поверхности подобного ему конуса.

Учитель: Выслушав, полный вывод формулы приводит сам, добиваясь от детей, чтобы они подсказывали каждый шаг. Добиться того, чтобы они сказали, что при выводе мы пользуемся свойством подобных треугольников. изучение нового материала беседа.ppt

==

Т.к. АА₁=l и ∆ SO₁A₁ подобен ∆ SOA получаем:

, или .

Отсюда получаем: . Подставив это выражение в нашу формулу, приходим к формуле площади боковой поверхности усеченного конуса: S_б= , где R и r- радиусы оснований, l – образующая конуса.

Учитель: А теперь посмотрите, пожалуйста, на наш вывод и сформулируйте правило нахождения площади боковой поверхности усеченного конуса.
Ученики: Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусумм длин окружностей оснований на образующую.

1. Еще раз посмотрите на нашу модель усеченного конуса .(модель 7.3 диска «Открытая математика. Стереометрия.», издательство ФИЗИКОН) и скажите тогда, как можно найти площадь полной поверхности усеченного конуса?

Ученики: Площадь полной поверхности усеченного конуса- это сумма площади боковой поверхности и площадей верхнего и нижнего оснований.
Учитель: Правильно. Площадь полной поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле: изучение нового материала беседа.ppt

S_п=

Учитель: Итак, что мы сегодня выяснили?

Ученики:

1. Что представляет собой усеченный конус

2. Разобрались с терминами, связанными с усеченным конусом

3. Вывели формулу площади боковой и полной поверхности усеченного конуса

Учитель: А теперь, честно, кому ничего не понятно? А кто все хорошо понял?

Опрос учащихся

Учитель: какую фигуру мы получим, если станем вращать прямоугольный треугольник вокруг катета?

Ученик: прямой круговой конус.

Учитель: это правильный ответ.

Учитель: Какую фигуру мы получим, если станем вращать прямоугольную трапецию вокруг бокового ребра, содержащего прямой угол?

Ученик: конус без верхней части

Учитель: Правильно. Для данного конуса есть специальное название- усеченный.
А теперь, исходя из всего выше сказанного, попробуйте определить тему нашего сегодняшнего урока.

Учащиеся: УСЕЧЕННЫЙ КОНУС

Учитель показывает на экране монитора тему урока

Учитель: Изучаемый нами материал имеет практическую направленность, даже если вы не поступите в высшее учебное заведение, где вплотную на занятиях по высшей математике изучается раздел «Тела вращения». И не только хорошо знакомые нам, но и имеющие необычную для нас форму.

Учитель: Тем не менее, каждому из вас придется в жизни столкнуться с этой темой в условиях дефицита денег. Поскольку рано или поздно каждому придется производить различные хозяйственные расчеты. Например, сколько нужно использовать краски, для того чтобы выкрасить, скажем, поверхность садового инвентаря, имеющего форму конической поверхности или усеченного конуса.

Методическая разработка

Урока геометрии в 11 классе

^{Тема: «Усеченный конус»}

^{По учебнику геометрии 10-11 класс}

^{под ред. Л.С. Атанасян}

_автор:

_{Романькова Е.А., учитель математики, информатики МОУ СОШ №8 г. Канска Красноярского края,}

_{Высшая квалификационная категория}

Тема Усеченный конус

Цель:

• ввести понятие усеченного конуса;

• вывести формулы для вычисления площади боковой и полной поверхности усеченного конуса;

• разобрать задачи по данной теме.

Оборудование:

• 2 мультимедиапроектора (один для показа презентации, другой- для работы с интерактивным курсом из серии «Открытая математика» версия 2.6 «Стереометрия» Издательства «Физикон»;

• компьютерный класс.

Программное обеспечение:

• MS Word;

• MS Power Point;

• MS Excel;

• интерактивный курс из серии «Открытая математика» версия 2.6 «Стереометрия» Издательство «Физикон»

Решить задачу: Найти боковую сторону равнобедренной трапеции, если ее основания 6 см и 12 см, а высота 4 см.

Решение

BH = CK - высоты,

BA = CD , ∆ ABH =∆ DCK

(по катету и гипотенузе).

AH = KD =( AD - BC ):2.

AH = KD =3см, из

∆ DCK , ∟ K =90 0 ,

CD =

CD =5см.

Ответ: CD =5см.

Решение

BH = CK - высоты,

BA = CD , ∆ ABH =∆ DCK

(по катету и гипотенузе).

AH = KD =( AD - BC ):2.

AH = KD =3см, из

∆ DCK , ∟ K =90 0 ,

CD =

CD =5см.

Ответ: CD =5см.

Длина образующей усеченного конуса

AA 1 =

Длина образующей усеченного конуса

это длина бокового ребра равнобокой трапеции и вычисляется по формуле :

L =

Полная поверхность усеченного конуса

S п =

Какую фигуру мы получим, если станем вращать прямоугольный треугольник около катета?

Какую фигуру мы получим, если станем вращать прямоугольную трапецию около бокового ребра, содержащего прямой угол?

Тема урока:

Усеченный конус

Цели урока: