Урок лекция "Построение графиков функций"

Урок – лекция

Тема: «Построение графиков функции»

Цель: Провести исследование выпуклости графика, понятие точки перегиба, алгоритм исследования функций. Уметь по исследованию строить график функции.

1. Исследование графиков на выпуклость

а b х y 0	а х y 0 b
График расположен выше проведенной к нему касательной. График обращен выпуклостью вниз.	График лежит ниже проведенной к нему касательной. График обращен выпуклостью вверх.

Т.1. Пусть на [а; b] функция f непрерывна и внутри этого отрезка f ^"(х) 0 (f ^"(х) 0). Тогда график функции f обращен на этом отрезке выпуклостью вниз (вверх).

f "(х) 0 а b х y 0

f "(х) 0 а х y 0 b

Т.2. Если график функции f обращен на [а; b] выпуклостью вниз (вверх), то внутри отрезка [а; b] этот график расположен под (над) хордой АВ.

В А а b х y 0

В А а х y 0 b

Пример 1. Исследуем направление выпуклости графика функции х⁴.

(х⁴)^" = 12х²

12х² = 0 х = 0 выпуклость вниз.

0

+

=

+

х

Пример 2. Найти участок, где график функции х⁴ – 6х²+ 4 обращен выпуклостью вверх.

(х⁴ – 6х²+ 4)^//=(4х³- 12х)^/ = 12х² – 12

-

=

+

+

=

х

12(х² – 1) = 0 х = ± 1

1

=

-1

=

выпуклостью выпуклостью

вниз вверх вниз

1. Точки перегиба

Обычно кривая расположена около точки касания по одну и ту же сторону от касательной. Но может случиться, что в точке касания кривая переходит с одной стороны касательной на другую. Такие точки называются точками перегиба данной кривой.

у

=

М

=

0

=

х

=

Определение. Точка М кривой Г называется точкой перегиба, если в этой точке кривая переходит с одной стороны касательной на её другую сторону.

Т.2. Пусть функция f имеет вторую производную в проколотой окружности радиуса h точки С и дифференцируема в этой точке. Если при переходе через точку С вторая производная функции f меняет знак, то точка М(С; f(С)) является точкой перегиба для графика функции f.

Пример. Найдем точку перегиба графика функции.

у= х⁴ – 6х² + 4

у^' = 4х³ – 12х

у^" = 12х² – 12

1

=

-

=

-1

=

+

=

+

х

у^" = 0 х = ±1 у^"

точка перегиба

1. Построение графиков функций

1. Находят область определения функции f.

2. Исследуют функцию на четность и нечетность.

3. Находят точки пересечения графика с осью абсцисс(f(х) =0)

4. Находят точки разрыва функции.

5. Промежутки знакопостоянства.

6. Изучают поведение функции около точек разрыва и на бесконечности и находят её асимптоты.

7. Исследуют функцию на возрастание и убывание.

8. Находят точки максимума и минимума функции.

9. Исследуют график на выпуклость и находят точки перегиба.

10. Составляют таблицу значений функции и её производных.

11. Учитывая проведенное исследование, строят эскиз графика функции.

Пример. Построим график функции.

f(х) = х³ – 4х² + 3х

1. D(f) = (-∞;+∞)

1. f(-х) = -х³ – 4х² – 3х

f(-х) ≠ f(х)

f(-х) ≠ -f(х)

Функция не является ни четной ни нечетной.

1. х³ – 4х² + 3х =0 f(х) = 0

х(х² – 4х + 3х) =0

х = 0 х² – 4х + 3х = 0 D = 4 х₁ = х₂ = 1

х = 0, у = 0

А(0;0) В(1;0) С(3;0) – точки пересечения графика с осью абсцисс.

1. х

   =

   -

   =

   +

   -

   =

   +

   =

х = 2 8 – 16 + 6

			0 =	1 =		3 =		х =

1. lim(х³ – 4х² + 3х) = limх³(1 - ) = +∞

х→+∞ х→∞

lim(х³ – 4х² + 3х) = limх³(1 - ) = -∞

х→-∞ х→-∞

1. f ^'(-х) = 3х² – 8х + 3

3х² – 8х + 3 = 0

D = 64 – 36 = 28

х_1,2 =

-

=

+

=

+

х

f ^'(х)

0,45 2,21

f ^'(х)

max min

1. f ^"(х) = 6х- 8

6х- 8 = 0

6х = 8

х =

-

=

+

=

f ^"

х

выпуклостью выпуклостью

вверх точка вниз

перегиба

1. Составляем таблицу.

х	(-∞;0)	0	(0;)		()	1	(1;)		()
f(х)	-	0	+	≈0,63	+	0	-	≈0,74	-	-
f '(х)	+	3	+	0	-	-	-	-	-	0
f "(х)	-	-	-	-	-	-	-	0	+	+
Вывод	Отрицательная Возрастает Вверх выпуклостью	Проходит через (0;0)	Положительная Возрастает Вверх выпуклостью	Максимум	Положительная Убывает Вверх выпуклостью	Пересекает ось абсцисс	Отрицательная Убывает Вверх выпуклостью	Точка перегиба	Отрицательная Убывает Вниз выпуклостью	Минимум

х	(;0)	3	(3;+∞) у х
f(х)	-	0	+
f '(х)	+	+	+
f "(х)	+	+	+
Вывод	Отрицательная Возрастает Вниз выпуклостью	Пересекает ось абсцисс	Положительная Возрастает Вниз выпуклостью

0,45

-0,74

2,21

3

1

0

-2,21

х

y

0

b

а

х

y

0

b

а