"Решение уравнений нестандартными методами, используя свойства функций" урок - электив в 10 классе

Подготовил и провел учитель математики

МКОУ «СОШ №1» г. Поворино

Воронежской области

Карташова С. А.

2014г.

Тема урока: «Решение уравнений нестандартными методами, используя свойства функций»

Форма урока – лекция с последующим закреплением. Рассчитан на 2 урока

(Слайд №1)

Цели урока:

1. Повторить и обобщить знания по теме: «Свойства функций»

2. Научить применять функциональный метод решения уравнений

3. Развивать логическое мышление, наблюдательность

4. Воспитывать активность, творческую инициативу.

(слайд№2)

Оборудование: интерактивная доска, компьютер с презентацией.

План урока:

1. Организационный момент.

2. Мотивация учебной деятельности (сообщение темы, целей урока).

3. Актуализация опорных знаний (повторение свойств основных функций).

4. Изучение нового материала (функциональный метод решения уравнений).

5. Закрепление знаний (решение упражнений).

6. Подведение итогов. Оценки.

Ход урока.

Учитель:

Для решения большинства уравнений, встречающихся на экзаменах, достаточно владеть школьным курсом математики, но при этом необходимо уметь решать не только с помощью стандартных приемов, предназначенных для вполне определенных типов уравнений, но и «нестандартными» методами, о которых мы и поговорим сегодня на уроке. Одним из таких методов решения уравнений является функциональный, основанный на использовании свойств функций. В отличие от графического метода, знание свойств функций позволяет находить точные корни уравнения, при этом не требуется построения графиков функций. Использование свойств функций способствует рационализации решения уравнений.

(слайд№3)

Ответим на вопросы:

1. Что называется уравнением?

2. Что называется корнем уравнения?

3. Что значит решить уравнение?

4. Что называется функцией?

5. Что называется областью определения функции?

6. Что называется областью значений функции?

(слайд №4)

Рассмотрим (слайд №5)

ПРИМЕР 1. Решите уравнение:

Решение: ОДЗ: _

Ответ: решений нет.

(слайд №6)

ПРИМЕР 2. Решите уравнение:

Решение: ОДЗ: _

ОДЗ состоит из одной точки х=1. Остается проверить, является ли х=1 корнем уравнения. Подставив, видим, что х=1 – корень уравнения.

Ответ: х=1.

Учитель:

Иногда оказывается достаточным рассмотреть не всю область определения функции, а лишь ее подмножество, на котором функция принимает значения, удовлетворяющие некоторым условиям (например, только неотрицательные значения)

(слайд №7)

ПРИМЕР 3.

Решение. Найдем пересечение областей определения функций в правой и левой частях уравнения:

D_1

Ограничим множество D, учитывая, что левая часть уравнения неотрицательна, и, значит, такой же должна быть правая частью Для этого нужно рассмотреть пересечение множества D с множеством решений неравенства _, то есть с множеством _. Следовательно, достаточно рассмотреть уравнение на множестве _.

Подстановкой убеждаемся, что оба элемента служат решением уравнения.

Ответ: -3; 2.

(слайд №8)

ПРИМЕР 4.

Решение.

1. _

2. Так как левая часть уравнения неотрицательна, то _.

3. _

4. _

С учетом того, что _ корнем уравнения является х=4.

Ответ: 4.

Учитель:

Перейдем к решению уравнений с использованием понятия области значений функции.

(слайд №9-№10)

(слайд №11)

ПРИМЕР 1.

_.

Решение. Так как _ , то уравнение не имеет решения.

Ответ: нет решений.

ПРИМЕР 2.

_.

Решение. ОДЗ: _

Ответ: нет решений.

Учитель:

Если функция f(x) на промежутке Х ограничена сверху, а функция g(x) ограничена снизу, то уравнение f(x) = g(x) равносильно системе _

(слайд №12)

ПРИМЕР 3.

Решение. По определению, _

Равенство достигается, если _

Решим первое уравнение системы:

arccos (x-1) =π, x-1 = -1, x=0.

При х=0 второе уравнение обращается в верное числовое равенство.

Следовательно, решением системы и данного уравнения является х=0.

Ответ: 0.

(слайд №13-14)

ПРИМЕР 4.

_.

Решение.

1. ОДЗ: _

2. Рассмотрим функцию _ Её графиком является парабола с вершиной А(3;2), тогда _.

3. Рассмотрим функцию _

Найдем максимум этой функции на промежутке (2;4) с помощью производной.

_

_=0, _

g’ + -

g 2 3 4 x

max

g(3)=2. Имеем _

Тогда данное уравнение равносильно системе _

Решив первое уравнение системы, получим х=3, проверкой, подставив во второе уравнение убедимся, что х=3 – решение системы и данного уравнения.

Ответ: 3.

(слайд №15)

Учитель:

Этот метод часто встречается на ЕГЭ по математике. Данный метод заключается в том, что одна часть уравнения ограничена сверху неким числом М, а другая часть уравнения ограничена снизу этим же числом М. Число М принято называть мажорантой, а этот метод - методом мажорант. В методе мажорант, как вы уже догадались надо хорошо понимать, что такое функция, уметь исследовать свойства функций.

(слайд №16)

Упражнения для закрепления, выработка умений и навыков.

Класс делится на 2 группы по вариантам.

1 вариант.

Докажите, что уравнение не имеет корней.

1. _

2. _

Решить уравнения:

1. _

Ответ: -0,5.

1. _

Ответ: 4,25.

1. _

Ответ: 2.

2 вариант.

Докажите, что уравнение не имеет корней.

1. _;

2. _

Решить уравнения:

1. _

Ответ: нет решений

1. _

Ответ:2,6.

1. _

Ответ: 2.

Учитель:

Мы сегодня рассмотрели нестандартный метод решения уравнений, используя свойства функций, который применим и для решений неравенств, но об этом мы поговорим на нескольких последующих занятиях.

Подведение итогов, оценки.

(слайд №17)

Домашнее задание:

1. arcsin (x + 2) + _.

2. _

3. _

4. _

5. _

6. _

9

Подготовил учитель математики 1 КК

Карташова С А

Тема урока:

«Решение уравнений нестандартными методами, используя свойства функций»

Цели урока:

• Повторить и обобщить знания по теме: «Свойства функций»
• Научить применять функциональный метод решения уравнений
• Развивать логическое мышление, наблюдательность
• Воспитывать активность, творческую инициативу.

• Что называется уравнением?
• Что называется корнем уравнения?
• Что значит решить уравнение?
• Что называется функцией?
• Что называется областью определения функции?
• Что называется областью значений функции?

Областью определения функции y=f(x) называется множество значений переменной x , при которых функция имеет смысл.

Пусть дано уравнение f(x)=g(x) , где f(x) и g(x) – элементарные функции, определенные на множествах D1 и D2 . Тогда областью D допустимых значений уравнения будет множество, состоящее из тех значений x , которые принадлежат обоим множествам, то есть D=D1 ∩ D2 . Ясно, что когда множество D пустое (D= ∅), то уравнение решений не имеет.

ПРИМЕР1. Решить уравнение.

Решение.

Ответ: решений нет

ПРИМЕР 2. Решить уравнение

Решение.

Проверка:

Ответ: 1.

ПРИМЕР 3. Решить уравнение

Решение.

Ответ: -3;2.

ПРИМЕР 4. Решить уравнение

Решение.

Так как левая часть неотрицательна, то

С учетом того, что

Корнем уравнения является х=4

Ответ: 4.

0, что при всех значениях аргумента, принадлежащему данному промежутку, имеет место неравенство | f(x)|" width="640"

Областью значения функции y=f(x) называется множество значений переменной у , при допустимых значениях переменной x .

Функция y=f(x) называется ограниченной на данном промежутке (из области определения), если существует такое число N0, что при всех значениях аргумента, принадлежащему данному промежутку, имеет место неравенство | f(x)|

Пусть дано уравнение f(x)=g(x) , где f(x) и g(x) – элементарные функции, определенные на множествах D1 и D2 . Обозначим область изменения этих функций Е1 и Е2. Если х1 является решением уравнения, то будет выполняться числовое равенство f(x 1 )=g(x 1 ) , где f(x 1 ) - значение функции f(x) при х = х1, а g(x 1 ) - значение функции g(x) при х = х1. Значит, если уравнение имеет решение, то области значений функций f(x) и g(x) имеют общие элементы(Е1 ∩Е2 ≠ ∅). Если же таких общих элементов множества Е1иЕ2 не содержат, то уравнение решений не имеет.

ПРИМЕР 1 . Решить уравнение

то уравнение решений не имеет

Решение. Так как

Ответ: решений нет

ПРИМЕР 2. Решить уравнение

Решение. ОДЗ:

решений нет

Ответ: решений нет

ПРИМЕР 3. Решить уравнение

Решение.

для допустимых значений х

По определению

следовательно ,

для допустимых значений х

Равенство достигается, если

Решим первое уравнение системы:

При х=0 второе уравнение обращается в верное числовое равенство.

Следовательно, решением системы и данного уравнения является х=0.

Ответ: х=0

ПРИМЕР 4. Решить уравнение

Решение.

Рассмотрим функцию

Её графиком является парабола с вершиной в точке A (3;2), тогда Е(у)= [2;+∞)

Рассмотрим функцию

Найдем её максимум на промежутке (2 ; 4) с помощью производной

g’

+

-

x

3

4

2

g

max

g(3)=2. Имеем у(3) ≥2, g(3)≤2, тогда

Решив первое уравнение системы, получим х=3, подставив во второе убедимся, что х=3 – решение системы и данного уравнения.

Ответ: х=3

МЕТОД МАЖОРАНТ

Применим для задач в которых множества значений левой и правой частей уравнения или неравенства имеют единственную общую точку, являющуюся наибольшим значением для одной части и наименьшим для другой. Эту ситуацию хорошо иллюстрирует график.        

Как начинать решать такие задачи?

Привести уравнение или неравенство к виду

Сделать оценку обеих частей. Пусть существует такое число М ,

из области определения такое что

Решить систему уравнений:

1 вариант

2 вариант

Докажите, что уравнение не имеет корней

Решите уравнения

Домашнее задание:

1 уровень:

2 уровень:

на