Урок геометрии в 9 классе "Решение треугольников" конспект

...каждая математическая теорема осуществляется где-нибудь в природе, в какой – либо комбинации молекул или элементов. Математика кажется нам отвлеченной только потому, что мы не замечаем применения ее принципов в природе.

П. Чаадаев

Тема « Решение треугольников».

Цели:

1. Закрепить знания соотношений между сторонами и углами треугольника. Формировать умения использовать полученные знания (теоремы синусов и косинусов) для решения задач на вычисление параметров треугольника

2. Развивать прикладные умения учащихся (с позиции деятельностного подхода), а именно: переносить полученные знания на реальные ситуации.

3. Познавательные: овладение основами логического и алгоритмического мышления;

4. Интеллектуальные: развитие умения читать и записывать информацию в виде различных математических моделей, планировать действия в соответствии с поставленной задачей;

5. Коммуникативные: строить высказывания, аргументировано доказывать свою точку зрения;

6. Личностные: развитие умения ясно, точно, грамотно излагать свои мысли; понимать смысл поставленной задачи, развитие сотрудничества со сверстниками.

Оборудование: презентация, компьютер, раздаточный материал.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Сообщение темы и целей урока, эпиграфа к уроку и его девиза.

У каждого человека должна быть своя высота

От исходной точки до вершины

И должна быть своя мечта

Высота с мечтой неразделимы.

1. Мотивация урока.

Один мудрец сказал: « Высшее проявление духа – это разум. Высшее проявление разума – это геометрия. Клетка геометрии – это треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная. Окружность – душа геометрии. Познайте окружность, и вы не только познаете душу геометрии, но возвысите свою душу».

Давайте делиться своими идеями, которые придут вам в голову, и не бойтесь ошибиться, любая мысль может дать нам новое направление поиска. Пусть наши достижения и не покажутся кому-то крупными, но ведь это будут наши собственные достижения!

1. Актуализация опорных знаний.

Вводная беседа учителя: сегодня на уроке повторим как по данным длинам или градусным мерам трёх элементов треугольника вычислить остальные его элементы. Решая задачи такого типа, мы говорим …(решаем треугольник)

А начнем мы свою работу с составления кластера. Но, прежде, чем вы составите кластер выполните математический диктант.

(С целью развития критического мышления учитель предлагает учащимся составить кластер по теме сегодняшнего урока. Эту работу учитель выполняет сам, записывая на доске ассоциации учеников по данной теме, а класс при этом также оформляет кластер у себя в тетрадях. После выполнения данного задания учитель предлагает проверить, на сколько ассоциации учащихся совпадают с точными математическими определениями, чтобы расставить в кластере связующие стрелки. Для этого ученики выполняют математический диктант, который представлен на слайдах. На подготовку дается 2 минуты, чтобы вспомнить ранее изученный материал, а затем учитель по своему выбору опрашивает учащихся. После завершения ответов, учитель, вместе с учениками, обобщает все сказанное, и расставляют связующие стрелки в кластере.)

Получившийся кластер:

Пропорциональность Квадрат стороны Решение треугольников

Теорема синусов и косинусов

Окружность Углы Стороны треугольника

И прежде чем приступить к решению задач, нам необходимо вспомнить, что:

1. Почему теорема косинусов является обобщённой теоремой Пифагора?

(когда треугольник АВС прямоугольный с прямым углом при вершине С; ).

2.Как, используя теорему косинусов, определить вид треугольника? (достаточно определить знак косинуса, соответствующего наибольшему углу, если сторона а наибольшая, то достаточно определить знак величины в²+с²-а²)

4. Формирование умений и навыков.

С целью развития самостоятельных наблюдений, умения делать выводы и обобщения учитель предлагает на данном этапе использовать метод готового чертежа, который будет реализован при выполнении учащимися трех видов заданий:

1) Подобрать чертеж к условию задачи.

2) Составить условие задачи по данному чертежу.

3) Подобрать условие задачи к данному чертежу.

Причем, при выполнении данных заданий необходимо решение тех задач, которые удовлетворят условию самого задания.

Для данного задания верным является чертеж под номером 2. Учащиеся, работая устно, доказывают, почему остальные чертежи не подходят для этой задачи.

Для данного чертежа верными являются условия задач под номерами 1 и 2, так как только эти две задачи можно решить с помощью тех элементов, которые даны на чертеже.

Предполагается, что при выполнении данного задания учащиеся составят несколько задач по данному чертежу (все задачи озвучивают вслух, не производя никаких записей), среди которых точно будет задача, решение которой непосредственно связано с темой урока. Именно эту задачу класс и будет решать, но только после четко сформулированного математически грамотным языком условия данной задачи.

Задача. В параллелограмме ABCD, AB=4, ÐВАD=60°. Найти высоту, проведенную к стороне AD. Дано:

АВСD-параллелограмм,

ÐBАD=60°,

АВ=4.

Найти:

BH.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВH, в котором неизвестным элементом является катет BH. Используя теорему синуса найдем неизвестную величину.

Ответ: .

5. Историческая справка: Тригонометрия- «измерение треугольников» - развивалась, прежде всего в связи с потребностями астрономии, географии, навигации. Поэтому её зачатки были в Древнем Вавилоне, где астрономия получила значительное развитие. Синус и косинус появляются в астрономических сочинениях индийских ученных 9-10вв.

Тангенс появился в связи с задачей определения высоты Солнца по длине тени, решение которой необходимо для изготовления солнечных часов. Выделение тригонометрии в специальный раздел математики связано с именем выдающегося персидского ученого Н а с и р э д д и н а Т у с и (1201-1274). В Европе первое изложение тригонометрии было дано в 15в. немецким ученым Р е г и о м о н т а н о м ( 1436-1476). Современный вид тригонометрия получила в трудах крупнейшего математика 18в. Леонарда Э й л е р а (1707-1783).

Теорему косинусов знали еще древние греки, ее доказательство содержится во 2 книге «Начал» Евклида как обобщенная теорема Пифагора. Нить практической геометрии тянулась от вавилонян и древних египтян через Герона вплоть до новых времён. В этот период появляется много руководств по геометрии, в которых излагаются правила, формулы и рецепты для решения тех или иных практических задач.

6.Работа в группах:

Задача1. Нахождение расстояния до магазина, находящегося через дорогу от школы. ( MK- горизонтальный участок, выбранный на территории школы, т. N – месторасположение магазина)

Данные измерений : MK= 7м ; M=78⁰; K=88⁰.

N Решение.

1) N=180º – ( 72º+88º) =20º

М 2) MN= = 20,55

Ответ: расстояние до магазина 20,55

M KК

К

Задача 2. Нахождение высоты телеграфного столба.

Данные измерений: угол, под которым виден столб из точки С ACB=35⁰;

высота, с которой измеряли угол CK=1,1 м;

A расстояние от столба до точки измерения DK =27 м

Решение

1). AB = BC tg 35; AB= 27 0,7= 18,9 м

2) AD= 18,9 +1,1= 20 м.

B C

Ответ: высота столба 20 м

D К

Задача 3. Определить угол удара футболиста, вышедшего на ударную позицию, если ширина ворот 7 м, расстояния до стоек ворот 50 м и 55 м.

Решение. 7 м

7²= 50² +55² - 2· 50· 55 · cos ψ; 50 м

cos ψ = = ;

cos ψ=0,9956 ⇒ ψ = 5⁰ Ответ: ψ = 5⁰ 55 м

55 м 7.Самостоятельная работа(слайды).

8.Постановка домашнего задания: карточки с дифференцированными заданиями.

Учитель предлагает учащимся выбрать карточки с дифференцированным домашним заданием: на «пятерку», на «четверку», на «тройку».

Задания на оценку «5»

Задача №1. В равнобедренном треугольнике ABC длины боковых сторон AB и AC равны b, угол при вершине A равен 2 . Прямая, проходящая через вершину B и центр O описанной около треугольника ABC окружности, пересекает сторону AC в точке D. Найдите длину отрезка BD.

Задача №2. Найдите биссектрисы треугольника, если одна из его сторон равна a, а прилежащие к этой стороне углы равны α и β.

Задания на оценку «4»

Задача №1. Найдите стороны треугольника АВС, если ÐА=45°, ÐС = 30°, а высота AD равна 3 м.

Задача №2. В треугольнике АВС, АС=12 см, ÐА=75°, ÐС = 60°. Найдите АВ и S_ABC.

Задания на оценку «3»

С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник АВС, если:

1) ÐА=60°,ÐВ=40°, с=14;

2) ÐА=80°, a=16, b=10;

3) a=14, b=18, c=20.

Ученик сам осознает и выбирает уровень своих знаний и выполняет соответствующие задания.

9. Подведение итогов урока: рефлексия.

В завершении урока, с целью развития критического мышления, учитель предлагает учащимся составить синквейн. Классу дается 1 минута, чтобы подумать и записать получившийся синквейн в тетрадях, а затем ученики озвучить его, тем самым еще раз обобщив все знания по данной теме.

Пример синквейна:

Теорема косинусов

Плоская, сферическая

Решать, использовать, анализировать

Решение треугольников

Замечательная теорема о сферических треугольниках