Теорема Пифагора и её доказательство

План-конспект урока

по теме «Теорема Пифагора»

в 8-А классе

19 декабря 2014 г

Учитель: Кутовая Юлия Сергеевна

Цели: изучить теорему Пифагора и её доказательство. Научиться применять теорему для решения задач. Научиться выражать неизвестные стороны через известные значения. Существенно расширить круг геометрических задач, решаемых школьниками.

Познакомить учащихся с основными этапами жизни и деятельности Пифагора.

Осуществить предметную связь геометрии с алгеброй, географией, историей.

Задачи урока:

Образовательная: Создать условия для усвоения теоремы Пифагора и привитие навыков вычисления неизвестной стороны прямоугольного треугольника по 2-м известным сторонам; способствовать овладению навыками применять теорему Пифагора к решению простейших задач.

Развивающая: Способствовать развитию способности к сопоставлению, наблюдательности, внимания, развития способности к аналитикому мышлению, расширение кругозора.

Воспитательная: Формирование потребности в знаниях, интереса к математике.

Тип урока: Формирование новых знаний и умений.

Оборудование урока: Компьютер, мультимедийный проектор, экран, доска

Прогнозируемый результат:

1. Знать зависимость между сторонами прямоугольного треугольника.

2. Уметь доказывать теорему Пифагора.

3. Уметь применять теорему Пифагора для решения задач.

Эпиграф:

«… Геометрия обладает двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора….»

Иоганн Кеплер

План урока.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Актуализация знаний учащихся по темам, «Прямоугольный треугольник», «Площадь», «Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам».

4. Историческая справка о построении прямого угла в Древнем Египте.

5. Формулировка и доказательство теоремы Пифагора.

6. Историческая справка о Пифагоре.

7. Альтернативные доказательства теоремы Пифагора.

8. Закрепление и первичный контроль знаний.

9. Итоги урока и домашнее задание.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Приветствие, проверка готовности учащихся к уроку, организация внимания.

1. Проверка домашнего задания.

№470

Дано:

AC=7,5 см

BC=3,2 см

BK=2,4 см

BK-высота, проведенная к AC

Найти: AL

Решение:

S=*BK*AC

S=*7,5*2,4=9 (см²)

S=*AL*BC

AL=

AL==5,625 (см)

1. Актуализация знаний.

А)

• Что изображено?

• Как называются стороны, образующие прямой угол?

• Как называется сторона, лежащая против прямого угла?

• Чему равна площадь этого треугольника?

• Чему равна сумма острых углов в данном треугольнике?

Б) Чему равен угол β?

В) Вспомнить признак равенства двух прямоугольных треугольников по двум катетам.

Отсюда следует, что для прямоугольного треугольника гипотенуза совершенно точно определена и не может быть равна одному или другому числу. Т.е. существует закон, который определяет зависимость длины гипотенузы от длины катетов.

1. Историческая справка о построении прямого угла в Древнем Египте.

Общепринято мнение, что египетский треугольник с соотношением сторон 3:4:5 активно применялся для построения прямых углов египетскими землемерами и архитекторами, например, при построении пирамид.

1. Теорема Пифагора и её доказательство.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

a²+ b²= c²

Дано:

∆ACB, C=90˚,

CB=a, CA=b, AB=c

Доказать:

a²+ b²= c²

Доказательство:

S_CDEF=(a+b)²=a²+2ab+b²

S_CDEF=c²+4*ab=c²+2ab

a²+ b²= c²

1. Историческая справка о Пифагрре (готовит ученик).

Пифагор – древнегреческий философ, математик, политический, религиозный деятель. Его родиной был остров Самос (отсюда и прозвище - Самосский), где он появился на свет приблизительно в 580 г. до н. э.

Его одаренность проявилась уже в раннем возрасте.

Образование у Пифагора было очень хорошим, юношу обучало много наставников.

За свою жизнь он побывал в Египте, Вавилоне и Индии, где он учился и осваивал науки, в том числе и математику.

В итоге в Греции Пифагор организовал собственную школу, которая была одновременно и политической структурой, и религиозной, с очень строгими правилами. Все ученики не должны были употреблять мясную пищу, раскрывать другим учение своего наставника.

Погиб Пифагор во время восстания в Греции в возрасте 90 лет.

Поскольку Пифагор считал свое учение тайной и практиковал только устную передачу его ученикам, собрания сочинений после него не осталось. Помимо доказательства теоремы Пифагора, этому математику приписывают подробное изучение целых чисел, пропорций и их свойств. Пифагорейцам принадлежит значительная заслуга в придании геометрии характера науки.

1. Альтернативные доказательства теоремы Пифагора.

-Доказательство Евклида.

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается из площадей квадратов, построенных на катетах. Данное доказательство также получило название «Пифагоровы штаны».

-Шаржи и стихи

-Доказательство пифагорейцев – «Без слов»

Смотри!

1. Закрепление и первичный контроль знаний.

Алгоритм решения задач.

• указать прямоугольный треугольник

• записать для него теорему Пифагора

• выразить неизвестную сторону через две другие

• подставить известные значения и вычислить неизвестную сторону

Решение задач.

№483(а)

Дано:

∆ABC, B=90˚, AB=6, BC=8

Найти: AC

Решение:

AC²= AB²+ BC²

AC=

AC=

AC=

AC=10

Ответ: 10

№484(а)

Дано:

∆ABC, B=90˚, AB=12, AC=13

Найти: BC

Решение:

AC²= AB²+ AC²

BC²= AC² - AB²

BC=

BC=

BC=

BC=5

Ответ: 5

1. Итоги урока и домашнее задание.

Что понравилось?

Чему научились?

1. Познакомились с теоремой Пифагора:

a²+ b²= c²

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

1. Научились выражать неизвестные стороны через известные значения.

с=

b=

a=

1. Познакомились с основными фактами из биографии Пифагора.

- Домашнее задание: §3, п.55, с 128, №483(б,в)

Домашнее задание №470

Дано:

AC=7,5 см

BC=3,2 см

BK=2,4 см

BK-высота, проведенная к AC

Найти: AL

B

L

3,2

Решение:

S=*BK*AC

S =*7,5*2,4=9 (см 2 )

S=*AL*BC

AL=

AL==5,625 (см)

2,4

?

C

7,5

K

A

Ответ: 5,625 (см)

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Геометрия, 8 класс

Цели урока:

• изучить теорему Пифагора,
• научиться решать задачи с применением теоремы Пифагора
• познакомиться с основными этапами жизни и деятельности Пифагора

Эпиграф :

«… Геометрия обладает двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора….»

Иоганн Кеплер

• Что изображено?
• Как называются стороны, образующие прямой угол?
• Как называется сторона, лежащая против прямого угла?
• Чему равна площадь этого треугольника?
• Чему равна сумма острых углов в данном треугольнике?

A

c

b

В

C

a

Чему равен угол β ?

α + γ = β

β

α

α + γ + β=180 о

β + β=180 о

2β=180 о

β=90 о

γ

Прямоугольный треугольник

L

M

С

∆ ABC= ∆ KLM

Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны .

К

В

А

Древний Египет

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике

квадрат гипотенузы равен

сумме квадратов катетов.

a 2 + b 2 = c 2

с

a

b

Дано:

∆ ACB

C=90˚

CB=a

CA=b

AB=c

Доказать:

a 2 + b 2 = c 2

a

b

G

D

E

a

c

b

c

H

B

c

c

b

S CDEF =(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

a

4*ab=

S CDEF =

c 2 +2ab

c 2 +

С

F

a

b

A

a 2 + b 2 = c 2

Эгейское море

Теорема Пифагора

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

с 2

a 2 + b 2 = c 2

a

a 2

с

b

b 2

Ученический шарж XIX в

Шаржи из учебника XVI в

Смотри!

b

b

a

a

b

с

b

b

a

с

с

с

a

a

a

b

b

a

a

b

Алгоритм

для решения задач на нахождение

длин сторон

прямоугольного треугольника

• указать прямоугольный треугольник

• записать для него теорему Пифагора

• выразить неизвестную сторону через две другие

• подставить известные значения и вычислить неизвестную сторону

№ 483 (а)

Дано:

∆ ABC

B=90˚

AB=6

BC=8

Найти: AC

A

Решение:

?

AC 2 = AB 2 + BC 2

AC=

AC=

AC=

AC=10

Ответ: 10

6

8

B

C

№ 484(а)

Дано:

∆ ABC

B=90˚

AB=12

AC=13

Найти: BC

A

13

Решение:

AC 2 = AB 2 + AC 2

BC 2 = AC 2 - AB 2

BC=

BC=

BC=

BC=5

Ответ: 5

12

?

B

C

Итоги урока

• Познакомились с теоремой Пифагора:

a 2 + b 2 = c 2

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

2. Научились выражать неизвестные стороны через известные значения.

с=

b=

a=

Домашнее задание

• §3, п.55, с 128
• № 483(б,в)

№ 486(а)

Дано:

ABCD

AB=5

AC=13

Найти: AD

C

B

Решение:

∆ ADC(

AB=CD=5

AC 2 = CD 2 + AD 2

AD 2 = AC 2 - CD 2

AD=

AD=

AD=

AD=12

Ответ: 12

13

13

5

A

D

?