Тема "Формулы сокращенного умножения. Квадрат суммы, квадрат разности двух выражений"

Урок по алгебре в 7 классе.

Тема «Формулы сокращенного умножения.

Квадрат суммы, квадрат разности двух выражений».

Шабахова Наталья Васильевна,

учитель математики МАОУ «СОШ №109», г.Пермь

Цель: «открыть» формулы квадрата суммы и разности двух выражений.

По окончании урока каждый ученик:

- воспроизводит одну из моделей формулы;

- выделяет последовательность элементарных операций, входящих в формулу;

- раскрывает смысл формулы своими словами.

Актуализация.

В начале урока учитель обычно проводит устный счет.

На этом уроке учащимся предложено задавать примеры учителю, но с оговоркой задания. Найти квадраты натуральных чисел: например, 31², 49², 62², 83² и т.д. (до 100). Правильность ответов учащиеся могут проверить по таблице квадратов на форзаце учебника.

- Находить правильный ответ мне помогли определенные знания. Я думаю, вы уже догадались, что это связано с нашей темой урока: формулы сокращенного умножения. Название говорит само за себя. Сокращенно умножать, значит быстро находить ответ.

Таких формул несколько. Начнем с формул квадрата суммы, квадрата разности двух выражений.

Изучение новой темы.

Итак, я записываю первую часть формулы (а + в)² = …? Выдвигайте ваши гипотезы.

Одно из предположений: (а + в)² = а²+ в².

-Какая возникает перед нами задача?

-Данную гипотезу нужно либо доказать, либо опровергнуть.

-Каким образом можно это сделать?

- Обратиться к учебнику;

- обратиться за помощью к учителю;

- попытаться доказать самостоятельно.

Если кто-то из учащихся решил обратиться к учебнику (или к учителю), то они отсаживаются отдельно и работают с разбором доказательства формулы по учебнику (или с учителем).

Если учащиеся высказали пожелания доказать самим, то данную работу целесообразнее произвести в группах. Перед тем, как группа приступит к работе необходимо актуализировать знания учащихся, которые потребуются для доказательства.

- Обратим внимание на левую часть равенства (а + в)². Какие математические понятия могут помочь в доказательстве?

(Степень числа (или что значит возвести в квадрат?), умножение многочлена на многочлен).

- Это один из подходов, назовем его алгебраическим. С геометрической точки зрения, что означает (а + в)²?

(Площадь квадрата со стороной (а + в)).

- Каждая группа определится в подходе доказательства.

Ученики записывают тему урока в тетрадь и гипотезу ( а + в)² = а² + в².

Далее дается время (не более 10 минут) на доказательство и затем представители от групп выносят свое решение на доску.

Пример доказательства одной из групп:

( а + в )² = (а + в)(а + в) = аа +ав + ва +вв = а² + 2ав + в². Таким образом, выдвинутая ранее гипотеза не подтвердилась. Мы получили, что (а + в)² = а² + 2ав + в².

Пример доказательства с геометрической точки зрения:

Таким образом,S_кв. = S₁ + S₂ + S₃ + S₄ или (а + в)² = а² + ав + ав + в² = а² +2ав + в². Гипотеза не подтвердилась.

- Формула квадрат суммы двух выражений должна быть справедлива для любых выражений. Чтобы опровергнуть гипотезу, можно было привести хотя бы один контрпример: (1 + 2)² = 1² + 2²? Равенство неверное.

- Итак, вы опровергли гипотезу и доказали, что (а + в )² = а² + 2ав + в².

-Тема нашего урока звучит «Квадрат суммы, квадрат разности двух выражений»

Как вы думаете, чему равен квадрат разности ( а – в )²?

Предположение, что (а - в )² = а² - 2ав – в²?

Дается время от 3 до 5 минут для работы в группе по доказательству гипотезы.

Группами предлагаются варианты доказательств:

1) (а – в )² = ( а – в)(а – в ) = аа –ав – ва +(- в)(-в) = а² – 2ав + в².

2) ( а – в)² = (а + (-в))² = а² + 2а(-в) + (-в)² = а² – 2ав + в².

- Значит выдвинутая гипотеза не подтвердилась.

- Итак, ( а – в )² = а² – 2ав + в².

Моделирование формулы.

В группах учащиеся пытаются перейти к схематической записи, используя самые произвольные знаки: кружочки, квадратики, треугольники и т.д.

1. (∆ + ⌂)² = ∆² + 2∆⌂ + ⌂².

2. (× + ∞)² = ײ + 2×∞ + ∞².

3. (○ - ■)² = ○² – 2○■ + ■².

4. (☺- ♦)² = ☺²- 2☺♦ + ♦².

Далее учитель предлагает сформулировать правила возведения квадрата суммы, квадрата разности двух выражений, опираясь на полученные модели.

- Сравните сформулированное правило с соответствующим текстом учебника.

- Вернемся к устному счету, который был в начале урока. Быстро находить результат мне помогли формулы сокращенного умножения:

31² = (30 + 1)²= 30² + 2*30*1 + 1²= 900 + 60 + 1 = 961;

49² = (50 – 1)² = 50² – 2*50*1 + 1² = 2500 -100 + 1 = 2401 и т.д.

Далее предлагается учащимся поучиться применять полученные формулы в примерах вычислительного характера (72², 99², 84², 68² и т.д.).

Этап соотнесения полученного результата с целью урока.

- Какую цель ставили в начале урока?

- Можно ли считать, что мы ее решили?

Какие знания помогли «открыть» новые формулы? (Степень числа, умножение многочлена на многочлен, площадь квадрата).

- Можно ли утверждать, что формулы квадрата суммы, квадрата разности двух выражений мы выучили?

- Какие цели следующих уроков?

В результате обсуждения приходим к выводу, что надо выучить формулы дома, на следующем уроке научиться их применять. Дома учащимся предлагается подумать на доказательством (а – в)²= а² – 2ав + в² с геометрической точки зрения.