kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Тема "Формулы сокращенного умножения. Квадрат суммы, квадрат разности двух выражений"

Нажмите, чтобы узнать подробности

Урок по алгебре в 7 классе.

Тема «Формулы сокращенного умножения.

Квадрат суммы, квадрат разности двух выражений».

Шабахова Наталья Васильевна,

учитель математики МАОУ «СОШ №109», г.Пермь

Цель: «открыть» формулы квадрата суммы и разности двух выражений.

По окончании урока каждый ученик:

- воспроизводит одну из моделей формулы;

- выделяет последовательность элементарных операций, входящих в формулу;

- раскрывает смысл формулы своими словами.

Актуализация.

В начале урока учитель обычно проводит устный счет.

На этом уроке учащимся предложено задавать примеры учителю, но с оговоркой задания. Найти квадраты натуральных чисел: например, 312, 492, 622, 832  и т.д. (до 100). Правильность ответов учащиеся могут проверить по таблице квадратов на форзаце учебника.

- Находить правильный  ответ мне помогли определенные знания. Я думаю, вы уже догадались, что это связано с нашей темой урока: формулы сокращенного умножения. Название говорит само за себя. Сокращенно умножать, значит быстро находить ответ.

Таких формул несколько. Начнем с формул квадрата суммы, квадрата разности двух выражений.

Изучение новой темы.

Итак, я записываю первую часть формулы  (а + в)2 = …? Выдвигайте ваши гипотезы.

Одно из предположений:  (а + в)2 = а2+ в2. 

-Какая возникает перед нами задача?

-Данную гипотезу нужно либо доказать, либо опровергнуть.

-Каким образом можно это сделать?

- Обратиться к учебнику;

- обратиться за помощью к учителю;

- попытаться доказать самостоятельно.

Если кто-то из учащихся решил обратиться к учебнику (или к учителю), то они отсаживаются отдельно и работают с разбором доказательства формулы по учебнику (или с учителем).

Если учащиеся высказали пожелания доказать самим, то данную работу целесообразнее произвести в группах. Перед тем, как группа приступит к работе необходимо актуализировать знания учащихся, которые потребуются для доказательства.

- Обратим внимание на левую часть равенства (а + в)2. Какие математические понятия могут помочь в доказательстве?

(Степень числа (или что значит возвести в квадрат?), умножение многочлена на многочлен).

- Это один из подходов, назовем его алгебраическим. С геометрической точки зрения, что означает (а + в)2?

(Площадь квадрата со стороной (а + в)).

- Каждая группа определится в подходе доказательства.

Ученики записывают тему урока в тетрадь и гипотезу ( а + в)2 = а2 + в2.

Далее дается время (не более 10 минут) на доказательство и затем представители от групп выносят свое решение на доску. 

Пример доказательства одной из групп:

( а + в )2  = (а + в)(а + в) = аа +ав + ва +вв = а2 + 2ав + в2. Таким образом, выдвинутая ранее гипотеза не подтвердилась. Мы получили, что (а + в)2 = а2 + 2ав + в2.

Пример доказательства с геометрической точки зрения:

 

 

            S1 = a2

 

 

S2=ab

             S3 = ab

S4 = b2

 

Таким образом,Sкв. = S1 + S2 + S3 + S4 или (а + в)2 = а2 + ав + ав + в2 = а2 +2ав + в2. Гипотеза не подтвердилась.

- Формула квадрат суммы двух выражений должна быть справедлива для любых выражений. Чтобы опровергнуть гипотезу, можно было привести хотя бы один  контрпример: (1  + 2)2 = 12 + 22? Равенство неверное.

- Итак, вы опровергли гипотезу и доказали, что (а + в )2 = а2 + 2ав + в2.

-Тема нашего урока звучит «Квадрат суммы, квадрат разности двух выражений»

Как вы думаете, чему равен квадрат разности ( а – в )2?

Предположение, что (а - в )2 = а2 - 2ав – в2?

Дается время от 3 до 5 минут для работы в группе по доказательству гипотезы.

Группами предлагаются варианты доказательств:

1)  (а – в )2 = ( а – в)(а – в ) = аа –ав – ва +(- в)(-в) = а2 – 2ав + в2.

2)  ( а – в)2 = (а + (-в))2 = а2 + 2а(-в) + (-в)2 = а2 – 2ав + в2.

- Значит выдвинутая гипотеза не подтвердилась.

- Итак, ( а – в )2 = а2 – 2ав + в2.

Моделирование формулы.

В группах учащиеся пытаются перейти к схематической записи, используя самые произвольные знаки: кружочки, квадратики,  треугольники и т.д.

  1. (? + ?)2 = ?2 + 2?? + ?2.
  2. (× + ∞)2 = ×2 + 2×∞ + ∞2.
  3. (? - ?)2 = ?2 – 2?? + ?2.
  4. (?- ♦)2 = ?2- 2?♦ + ♦2.

Далее учитель предлагает сформулировать правила возведения квадрата суммы, квадрата разности двух выражений, опираясь на полученные модели.

- Сравните сформулированное правило с соответствующим текстом учебника.

- Вернемся к устному счету, который был в начале урока. Быстро находить результат мне помогли формулы сокращенного умножения:

312 = (30 + 1)2= 302 + 2*30*1 + 12= 900 + 60 + 1 = 961;

492 = (50 – 1)2 = 502 – 2*50*1 + 12 = 2500 -100 + 1 = 2401 и т.д.

Далее предлагается учащимся поучиться применять полученные формулы в примерах вычислительного характера (722, 992, 842, 682 и т.д.).

Этап соотнесения полученного результата с целью урока.

- Какую цель ставили в начале урока?

- Можно ли считать, что мы ее решили?

Какие знания помогли «открыть» новые формулы? (Степень числа, умножение многочлена на многочлен, площадь квадрата).

- Можно ли утверждать, что формулы квадрата суммы, квадрата разности двух выражений мы выучили?

- Какие цели следующих уроков?

В результате обсуждения приходим к выводу, что надо выучить формулы дома, на следующем уроке научиться их применять. Дома учащимся предлагается подумать на доказательством (а – в)2= а2 – 2ав + в2 с геометрической точки зрения.

Просмотр содержимого документа
«Тема "Формулы сокращенного умножения. Квадрат суммы, квадрат разности двух выражений" »

Урок по алгебре в 7 классе.

Тема «Формулы сокращенного умножения.

Квадрат суммы, квадрат разности двух выражений».

Шабахова Наталья Васильевна,

учитель математики МАОУ «СОШ №109», г.Пермь

Цель: «открыть» формулы квадрата суммы и разности двух выражений.

По окончании урока каждый ученик:

- воспроизводит одну из моделей формулы;

- выделяет последовательность элементарных операций, входящих в формулу;

- раскрывает смысл формулы своими словами.

Актуализация.

В начале урока учитель обычно проводит устный счет.

На этом уроке учащимся предложено задавать примеры учителю, но с оговоркой задания. Найти квадраты натуральных чисел: например, 312, 492, 622, 832 и т.д. (до 100). Правильность ответов учащиеся могут проверить по таблице квадратов на форзаце учебника.

- Находить правильный ответ мне помогли определенные знания. Я думаю, вы уже догадались, что это связано с нашей темой урока: формулы сокращенного умножения. Название говорит само за себя. Сокращенно умножать, значит быстро находить ответ.

Таких формул несколько. Начнем с формул квадрата суммы, квадрата разности двух выражений.

Изучение новой темы.

Итак, я записываю первую часть формулы (а + в)2 = …? Выдвигайте ваши гипотезы.

Одно из предположений: (а + в)2 = а2+ в2.

-Какая возникает перед нами задача?

-Данную гипотезу нужно либо доказать, либо опровергнуть.

-Каким образом можно это сделать?

- Обратиться к учебнику;

- обратиться за помощью к учителю;

- попытаться доказать самостоятельно.

Если кто-то из учащихся решил обратиться к учебнику (или к учителю), то они отсаживаются отдельно и работают с разбором доказательства формулы по учебнику (или с учителем).

Если учащиеся высказали пожелания доказать самим, то данную работу целесообразнее произвести в группах. Перед тем, как группа приступит к работе необходимо актуализировать знания учащихся, которые потребуются для доказательства.

- Обратим внимание на левую часть равенства (а + в)2. Какие математические понятия могут помочь в доказательстве?

(Степень числа (или что значит возвести в квадрат?), умножение многочлена на многочлен).

- Это один из подходов, назовем его алгебраическим. С геометрической точки зрения, что означает (а + в)2?

(Площадь квадрата со стороной (а + в)).

- Каждая группа определится в подходе доказательства.

Ученики записывают тему урока в тетрадь и гипотезу ( а + в)2 = а2 + в2.

Далее дается время (не более 10 минут) на доказательство и затем представители от групп выносят свое решение на доску.

Пример доказательства одной из групп:

( а + в )2 = (а + в)(а + в) = аа +ав + ва +вв = а2 + 2ав + в2. Таким образом, выдвинутая ранее гипотеза не подтвердилась. Мы получили, что (а + в)2 = а2 + 2ав + в2.

Пример доказательства с геометрической точки зрения:



S1 = a2



S2=ab

S3 = ab

S4 = b2

Таким образом,Sкв. = S1 + S2 + S3 + S4 или (а + в)2 = а2 + ав + ав + в2 = а2 +2ав + в2. Гипотеза не подтвердилась.

- Формула квадрат суммы двух выражений должна быть справедлива для любых выражений. Чтобы опровергнуть гипотезу, можно было привести хотя бы один контрпример: (1 + 2)2 = 12 + 22? Равенство неверное.

- Итак, вы опровергли гипотезу и доказали, что (а + в )2 = а2 + 2ав + в2.

-Тема нашего урока звучит «Квадрат суммы, квадрат разности двух выражений»

Как вы думаете, чему равен квадрат разности ( а – в )2?

Предположение, что (а - в )2 = а2 - 2ав – в2?

Дается время от 3 до 5 минут для работы в группе по доказательству гипотезы.

Группами предлагаются варианты доказательств:

1) (а – в )2 = ( а – в)(а – в ) = аа –ав – ва +(- в)(-в) = а2 – 2ав + в2.

2) ( а – в)2 = (а + (-в))2 = а2 + 2а(-в) + (-в)2 = а2 – 2ав + в2.

- Значит выдвинутая гипотеза не подтвердилась.

- Итак, ( а – в )2 = а2 – 2ав + в2.

Моделирование формулы.

В группах учащиеся пытаются перейти к схематической записи, используя самые произвольные знаки: кружочки, квадратики, треугольники и т.д.

  1. (∆ + ⌂)2 = ∆2 + 2∆⌂ + ⌂2.

  2. (× + ∞)2 = ×2 + 2×∞ + ∞2.

  3. (○ - ■)2 = ○2 – 2○■ + ■2.

  4. (☺- ♦)2 = ☺2- 2☺♦ + ♦2.

Далее учитель предлагает сформулировать правила возведения квадрата суммы, квадрата разности двух выражений, опираясь на полученные модели.

- Сравните сформулированное правило с соответствующим текстом учебника.

- Вернемся к устному счету, который был в начале урока. Быстро находить результат мне помогли формулы сокращенного умножения:

312 = (30 + 1)2= 302 + 2*30*1 + 12= 900 + 60 + 1 = 961;

492 = (50 – 1)2 = 502 – 2*50*1 + 12 = 2500 -100 + 1 = 2401 и т.д.

Далее предлагается учащимся поучиться применять полученные формулы в примерах вычислительного характера (722, 992, 842, 682 и т.д.).

Этап соотнесения полученного результата с целью урока.

- Какую цель ставили в начале урока?

- Можно ли считать, что мы ее решили?

Какие знания помогли «открыть» новые формулы? (Степень числа, умножение многочлена на многочлен, площадь квадрата).

- Можно ли утверждать, что формулы квадрата суммы, квадрата разности двух выражений мы выучили?

- Какие цели следующих уроков?

В результате обсуждения приходим к выводу, что надо выучить формулы дома, на следующем уроке научиться их применять. Дома учащимся предлагается подумать на доказательством (а – в)2= а2 – 2ав + в2 с геометрической точки зрения.


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 7 класс

Скачать
Тема "Формулы сокращенного умножения. Квадрат суммы, квадрат разности двух выражений"

Автор: Шабахова Наталья Васильевна

Дата: 08.08.2014

Номер свидетельства: 111466

Похожие файлы

object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(132) "формулы сокращенного умножения:квадрат суммы и разности двух выражений"
    ["seo_title"] => string(73) "formulysokrashchiennoghoumnozhieniiakvadratsummyiraznostidvukhvyrazhienii"
    ["file_id"] => string(6) "309983"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1458903041"
  }
}
object(ArrayObject)#874 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(132) "формулы сокращенного умножения:квадрат суммы и разности двух выражений"
    ["seo_title"] => string(74) "formulysokrashchiennoghoumnozhieniiakvadratsummyiraznostidvukhvyrazhienii1"
    ["file_id"] => string(6) "309984"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1458903048"
  }
}
object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(143) "Конспект урока по теме: "Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений" "
    ["seo_title"] => string(84) "konspiekt-uroka-po-tiemie-vozviedieniie-v-kvadrat-summy-i-raznosti-dvukh-vyrazhienii"
    ["file_id"] => string(6) "140514"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1417963682"
  }
}
object(ArrayObject)#874 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(97) "Тема урока   Квадрат суммы и разности двух выражений. "
    ["seo_title"] => string(54) "tiema-uroka-kvadrat-summy-i-raznosti-dvukh-vyrazhienii"
    ["file_id"] => string(6) "102406"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1402503759"
  }
}
object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(173) "Разработка урока по теме "Применение нескольких способов разложения многочлена на множители" "
    ["seo_title"] => string(105) "razrabotka-uroka-po-tiemie-primienieniie-nieskol-kikh-sposobov-razlozhieniia-mnoghochliena-na-mnozhitieli"
    ["file_id"] => string(6) "100167"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1402369793"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

Распродажа видеоуроков!
ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства