Технология работы с теоремой. Теорема Виета.

Тема "Квадратные уравнения" является одной из важнейших в курсе алгебры. Во-первых, она находит широкое применение в алгебре, так как многие уравнения сводятся к квадратным. Во-вторых, есть задачи, решение которых сводится к решению квадратных уравнений. В-третьих, эта тема широко используется при решении квадратных неравенств.

Теорема Виета и обратная теорема дают возможность очень быстро решать квадратные уравнения, эта особенность дает возможность для проведения мотивации к теме.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Технология работы с теоремой. Теорема Виета. »

Технология работы с теоремой.

Теорема Виета.

Алгебра: Учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений./ Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др.-5-е изд.-М:.Просвещение

Теорема: Если х₁ и х₂- корни уравнения:

х²+рх+q=0,

то справедливы формулы

х₁+х₂=-р,

х_1*х₂=q,

т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Логический анализ

1.Анализ формулировки:

а) Теорема сформулирована в условной форме.

б) Условие: х₁ и х₂- корни квадратного уравнения х²+рх+q=0

Заключение: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Разъяснительная часть: теорема справедлива для корней всех квадратных уравнений.

в) Теорема сложная, т.к. содержит одно условие и два заключения.

г) Можно переформулировать в виде двух теорем:

Т1.: Если х₁ и х₂- корни уравнения:

х²+рх+q=0,

то справедлива формула

х₁+х₂=-р,

т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком.

Т2.: Если х₁ и х₂- корни уравнения:

х²+рх+q=0,

то справедлива формула

х_1*х₂=q,

т.е. произведение корней равно свободному члену.

2. Теорема выражает свойства корней квадратного уравнения.

3.Обратная теорема:

Если выполняются равенства:

х₁+х₂=-р,

х_1*х₂=q,

то х₁ и х₂- корни уравнения.

К моменту изучения теоремы Виета учащиеся ужу знакомы с понятием обратной теоремы и синтетическим методом доказательства, поэтому они могут сами сформулировать теорему обратную данной.

Возможно одновременное рассмотрение обеих теорем.

Обратное утверждение истинно, значит, имеем критерии корней квадратного уравнения.

Противоположная теорема: Если х₁ и х₂- не корни уравнения:

х²+рх+q=0,

то для них не справедливы формулы

х₁+х₂=-р,

х_1*х₂=q.

Теорема обратная противоположной: Если p, q, х₁ и х₂такие, что :

х₁+х₂≠-р или х_1*х₂≠q, то х₁ и х₂- не корни уравнения х²+рх+q=0.

4. Анализ доказательства: в учебнике “Алгебра 8” Ш.А. Алимова, Ю.М. Колягина и д.р. теорема Виета доказана синтетическим методом:

По формуле:

х_1,2=-p/2±√(p/2)²-q.

имеем:

x₁=-p/2+√(p/2)²-q,

x₁=-p/2-√(p/2)²-q.

Складывая эти равенства, получаем:

х₁+х₂=-p.

Перемножая эти равенства, по формуле разности квадратов получаем:

х_1*х₂=(-p/2)²-(√(p/2)²-q)²=(p/2)²-(p/2)²+q=q.

Метод доказательства не является новым для учащихся.В основе доказательства лежит определение приведенного квадратного уравнения, формула корней приведенного квадратного уравнения. Этот материал следует повторить.

5.Рассмотрение всех возможных случаев:

1 случай: Квадратное уравнение не имеет действительных корней, следовательно, теорема не справедлива.

2 случай: Квадратное уравнение имеет один корень или два равных. Теорема в этом случае справедлива.

D=p²-4q=0,

p²=4q,

x_1,2=-p/2,

x₁+x₂=-p,

x₁_*x₂=(-p/2)_*(-p/2)=p²/4=4q/4=q.

3 случай: Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.

6. Квадратное уравнение, формула корней квадратного уравнения, приведенное квадратное уравнение. Далее в курсе будут изучаться уравнения, сводящиеся к квадратным, задачи, решающиеся с помощью квадратных уравнений

Дидактический анализ.

7. Необходимо повторить определение понятий квадратное уравнение, приведенное квадратное уравнение; вспомнить формулу корней приведенного квадратного уравнения(учитель задаёт вопросы:

-сформулируйте определение квадратного уравнения;

-по какой формуле можно найти корни квадратного уравнения;

- сформулируйте определение приведённого квадратного уравнения;

-по какой формуле находятся корни приведенного квадратного уравнения)

8. Попросить ребят придумать несколько уравнений и записать их на доске. Учитель, применяя теорему, обратную теореме Виета, очень быстро находит корни этих уравнений.

9. Задаёт детям вопрос:

-Ребята, вы знаете почему я так быстро нахожу корни этих уравнений? Я знаю взаимосвязь между корнями приведенного квадратного уравнения и коэффициентами.

- Попытайтесь эту взаимосвязь выявить.

X²+px+q=0	x₁	x₂	x₁^.x₂	x₁+x₂

0. Можно выписать в отдельные столбики сумму и произведение корней.

11. Поиск доказательства на уроке целесообразно вести аналитико-синтетическим методом, запись вести синтетически.

12.Обратную теорему целесообразно изучать на этом же уроке.

13Запись доказательства на доске и в тетради синтетически.

14.На рефлексивно- оценочном этапе можно предложить ученикам следующие задания:

Сформулируйте теорему Виета.
Выделите идею доказательства этой теоремы.
Составьте план доказательства.
На какой теоретический материал мы опирались при доказательстве теоремы Виета?
Сформулируйте утверждение обратное теореме Виета. Будет ли оно верным? Почему?

Выводы из логико-дидактического анализа

Теоремы Виета.

Фрагмент урока.

1.Мотивационно-ориентировочный этап.

На предыдущих занятиях мы с вами изучили квадратные уравнения. Сформулируйте определение квадратного уравнения.

Хорошо. По какой формуле мы можем найти корни квадратного уравнения?

Решите двумя способами

х²– 9=0 (Т)

Какие получили корни?

Как решали?

Каким еще способом можно решить?

Верно. Какой вид квадратного уравнения мы изучили на прошлом уроке?

Какое квадратное уравнение называется приведенным?

Правильно. По какой формуле можно найти корни приведенного квадратного уравнения?

Придумайте несколько квадратных уравнений.

Их можно очень быстро решить: (Д)

х₁=-1, х₂=-4
х₁=1, х₂=4

3)х₁=-1, х₂=15

4) х₁=1, х₂=-15

5) х₁=2, х₂=-1.

Ребята, вы знаете, почему я так быстро нахожу корни этих уравнений? Я знаю взаимосвязь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.

Давайте попытаемся эту взаимосвязь выявить. Для этого заполним таблицу.

Квадратным уравнением называется уравнение х²+рх+q=0, где а, в, с заданные числа.а≠0;х-неизвестное.

Х_1,2=(в±√в²-4ас)/2а (Д)

х=±3;

х²– 9=0; х²= 9; х=±√9; х=±3

Можно применить формулу разности квадратов: х²– 9=0; х²-3²=0;

(х-3)(х+3)=0;

х-3=0; х+3=0;

х₁=3; х₂=-3.

Приведенное квадратное уравнение.

Квадратное уравнение вида

х²+рх+q=0 называется приведенным.

х_1,2=-p/2±√(p/2)²-q. (Д)

1)х²+5х+4=0 (Д)

2)х²-5х+4=0

3)х²-14х-15=0

4)х²+14х-15=0

5)х²-х-2=0

(Д,Т)

Квадратное уравнение

х₁

х₂

х₁^. х₂

х₁+х₂

х²+5х+4=0

х²-5х+4=0

х²-14х-15=0

х²+14х-15=0

х²-х-2=0

-1

-4

-15

-1

-15

-2

-5

-14

Попробуйте установить взаимосвязь между коэффициентами и корнями приведенного квадратного уравнения.

Верно. Т. О. мы с вами получили гипотезу о том, что для корней приведенного квадратного уравнения справедливы формулы

х₁+х₂=-р,

х₁х₂=q.

Ребята, как вы думаете, теперь мы можем использовать эти формулы?

Почему?

Какова же цель нашего урока?

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Нет.

Прежде чем использовать мы должны доказать, что наша гипотеза верна.

Доказать, что если х₁ и х₂ корни приведенного квадратного уравнения х²+рх+q=0 , то справедливы формулы х₁+х₂=-р,

х₁х₂=q

2.Содержательный этап.

Докажем нашу гипотезу. (Д,Т)

Что нам дано?

Что хотим доказать?

По какой формуле вычисляются корни приведенного квадратного уравнения?

Нам нужно найти сумму корней. Сложим х₁ и х₂

Хорошо. Первую часть доказали. Что еще нужно доказать?

Что для этого нужно сделать?

Как будем выполнять вычисления?

Верно.

Мы доказали, что наша гипотеза верна. Т. е. гипотеза является теоремой. Ее сформулировал и доказал французский математик 17в. Франсуа Виет.

Теорема носит его имя и называется теорема Виета.

Сформулируйте её.

Хорошо. Попробуйте сформулировать обратную теорему

Верно. На самом деле именно обратная теорема используется при решении задач .

Приведенное квадратное уравнение х²+рх+q=0 имеет корни х₁ и х₂

справедливость формул

х₁+х₂=-р,

х₁х₂=q

х₁=-p/2+√(p/2)²-q.

Х₂=-p/2-√(p/2)²-q.

х₁+ х₂= -p/2+√(p/2)²-q – p/2-√(p/2)²-q= - p/2- p/2=-2 p/2=-р;

х₁х₂=q

Перемножить х₁ и х_2.

Х₁ х₂=( -p/2+√(p/2)²-q)(- p/2-√(p/2)²-q)

Можно применить формулу разности квадратов.

Х₁ х₂=(- p/2)²-(√(р/2)²- q)²=( p/2)²- (p/2)² +q= q

сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Если числа р, q, х₁ и х₂таковы, что

выполняются равенства:

х₁+х₂=-р,

х_1*х₂=q,

то х₁ и х₂- корни уравнения х²+рх+q=0.

3.Рефлексивно-оценочный этап.

Какова была цель урока?

Достигли мы её?

Верно ли утверждение:

сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком или произведение корней равно свободному члену.

Почему?

Верно. Справедливо ли утверждение:

Если х₁ и х₂- корни уравнения:

х²+dх+f=0,

то справедливы формулы

х₁+х₂=-d

х_1*х₂=f.

Хорошо. Молодцы. Сформулируйте утверждение, обратное теореме Виета.

А теперь решим упражнения в которых применяется теорема Виета и обратная к теореме Виета.

(на доске записаны упражнения)

№1.

Дано уравнение х²-13х+30=0

Найти сумму и произведение корней уравнения.

Найти корни уравнения.

№2

Дано уравнение х²+4х-5=0

Найти сумму и произведение корней уравнения.

Найти корни уравнения.

№3

Один из корней уравнения

х²-19х+18=0 равен 1. Найти второй корень.

Верно.

№4

Один из корней уравнения

х²-х-12=0 равен 4. Найти второй корень.

№5

Составьте приведенное квадратное уравнение, корни которого х₁=3, х₂=4

№6

Составьте приведенное квадратное уравнение, корни которого х₁=8, х₂=1

№7

Найти (подбором) корни квадратного уравнения х²-5х+6=0,

используя теорему, обратную к теореме Виета.

№8

Найти (подбором) корни квадратного уравнения х²+2х-15=0,

используя теорему, обратную к теореме Виета.

Хорошо. А теперь сами придумайте упражнения на применение прямой и обратной теорем и решите их.

Молодцы. Итак, чему мы с вами сегодня научились?

Установить взаимосвязь между коэффициентами и корнями приведенного квадратного уравнения.

Да. Мы доказали теорему:

Нет.

По условию теоремы обе части заключения должны выполняться одновременно.

Верно. Мы заменим буквы р и q на d и f. От этого смысл теоремы не изменится.

Если числа р, q, х₁ и х₂таковы, что

выполняются равенства:

х₁+х₂=-р,

х_1*х₂=q,

то х₁ и х₂- корни уравнения х²+рх+q=0.

(Д, Т)

х₁+х₂=13,

х_1*х₂=30,

х₁=10, х₂=3

х₁+х₂=-4,

х_1*х₂=5,

х₁=-5, х₂=1

Пусть х₁ и х₂ корни уравнения

х²-19х+18=0 и х₁=1, тогда по теореме Виета х₁+х₂=19, х_1*х₂=18,

1+ х₂=19, х₂=18, 1^.18=18

Ответ: х₂=18.

Пусть х₁ и х₂ корни уравнения

х²-х-12=0 и х₁=4, тогда по теореме Виета х₁+х₂=1, х_1*х₂=-12, 4+ х₂=1

х₂=-3, -3^.4=-12.

Ответ: х₂=-3.

Т. к. х₁=3, х₂=4 корни приведенного квадратного уравнения х²+рх+q=0, по теореме Виета х₁+х₂=-р, -р=7, р=-7,

х_1*х₂=q, q=12

х²-7х+12=0

Ответ: х²-7х+12=0

Т. к. х₁=8, х₂=1 корни приведенного квадратного уравнения х²+рх+q=0, по теореме Виета х₁+х₂=-р, -р=9, р=-9,

х_1*х₂=q, q=8

х²-9х+8=0

Ответ: х²-9х+8=0

Здесь р=-5, а q=6

х₁+х₂=5, х_1*х₂=6,

Заметим, что 6=2^.3, 2+3=5.

Получим, что х₁=2, х₂=3 корни уравнения.

Здесь р=2, а q=-15

х₁+х₂=-2, х_1*х₂=-15,

Заметим, что -15=-5^.3, -5+3=-2.

Получим, что х₁=-5, х₂=3 корни уравнения.

№1

Найти (подбором) корни квадратного уравнения используя теорему, обратную к теореме Виета:

а) х²-5х+6=0,

б) х²+4х-5=0.

Решение:

а) Здесь р=-5, а q=6

х₁+х₂=1, х_1*х₂=-30,

Заметим, что 6=-3^.2, -3+2=1.

Получим, что х₁=-3, х₂=2 корни уравнения.

б) Здесь р=4, а q=-5

х₁+х₂=-4, х_1*х₂=-5,

Заметим, что =-5^.1=-5, -5+1=-4.

Получим, что х₁=-5, х₂=1 корни уравнения.

№2

Найти сумму и произведение корней уравнения.

а) х²+х-6=0,

б) х²-8х-9=0.

Решение:

а)х₁+х₂=-1, х_1*х₂=-6.

б) х₁+х₂=8, х_1*х₂=-9.

№3

Составьте приведенное квадратное уравнение, корни которого

а)х₁=-4, х₂=-5.

б)х₁=-3 х₂=6

Мы научились решать квадратные уравнения более простым способом.

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 7 класс

Скачать
Технология работы с теоремой. Теорема Виета.

Автор: Кулакова Анна Федоровна

Дата: 11.10.2015

Номер свидетельства: 238500

Технология работы с теоремой. Теорема Виета.

Просмотр содержимого документа
«Технология работы с теоремой. Теорема Виета. »

Похожие файлы

Полезное для учителя

Технология работы с теоремой. Теорема Виета.

Просмотр содержимого документа «Технология работы с теоремой. Теорема Виета. »

Похожие файлы

Полезное для учителя

Просмотр содержимого документа
«Технология работы с теоремой. Теорема Виета. »