Технология работы с теоремой. Теорема Виета.

X²+px+q=0

x₁

x₂

x₁^.x₂

x₁+x₂

1.Мотивационно-ориентировочный этап.

На предыдущих занятиях мы с вами изучили квадратные уравнения. Сформулируйте определение квадратного уравнения.

Хорошо. По какой формуле мы можем найти корни квадратного уравнения?

Решите двумя способами

х² – 9=0 (Т)

Какие получили корни?

Как решали?

Каким еще способом можно решить?

Верно. Какой вид квадратного уравнения мы изучили на прошлом уроке?

Какое квадратное уравнение называется приведенным?

Правильно. По какой формуле можно найти корни приведенного квадратного уравнения?

Придумайте несколько квадратных уравнений.

Их можно очень быстро решить: (Д)

1. х₁=-1, х₂=-4

2. х₁=1, х₂=4

3)х₁=-1, х₂=15

4) х₁=1, х₂=-15

5) х₁=2, х₂=-1.

Ребята, вы знаете, почему я так быстро нахожу корни этих уравнений? Я знаю взаимосвязь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.

Давайте попытаемся эту взаимосвязь выявить. Для этого заполним таблицу.

Квадратным уравнением называется уравнение х²+рх+q=0, где а, в, с заданные числа.а≠0;х-неизвестное.

Х_1,2=(в±√в²-4ас)/2а (Д)

х=±3;

х² – 9=0; х² = 9; х=±√9; х=±3

Можно применить формулу разности квадратов: х² – 9=0; х²-3²=0;

(х-3)(х+3)=0;

х-3=0; х+3=0;

х₁=3; х₂=-3.

Приведенное квадратное уравнение.

Квадратное уравнение вида

х²+рх+q=0 называется приведенным.

х_1,2=-p/2±√(p/2)²-q. (Д)

1)х²+5х+4=0 (Д)

2)х²-5х+4=0

3)х²-14х-15=0

4)х²+14х-15=0

5)х²-х-2=0

(Д,Т)

Попробуйте установить взаимосвязь между коэффициентами и корнями приведенного квадратного уравнения.

Верно. Т. О. мы с вами получили гипотезу о том, что для корней приведенного квадратного уравнения справедливы формулы

х₁+х₂=-р,

х₁ х₂=q.

Ребята, как вы думаете, теперь мы можем использовать эти формулы?

Почему?

Какова же цель нашего урока?

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Нет.

Прежде чем использовать мы должны доказать, что наша гипотеза верна.

Доказать, что если х₁ и х₂ корни приведенного квадратного уравнения х²+рх+q=0 , то справедливы формулы х₁+х₂=-р,

х₁ х₂=q

2.Содержательный этап.

Докажем нашу гипотезу. (Д,Т)

Что нам дано?

Что хотим доказать?

По какой формуле вычисляются корни приведенного квадратного уравнения?

Нам нужно найти сумму корней. Сложим х₁ и х₂

Хорошо. Первую часть доказали. Что еще нужно доказать?

Что для этого нужно сделать?

Как будем выполнять вычисления?

Верно.

Мы доказали, что наша гипотеза верна. Т. е. гипотеза является теоремой. Ее сформулировал и доказал французский математик 17в. Франсуа Виет.

Теорема носит его имя и называется теорема Виета.

Сформулируйте её.

Хорошо. Попробуйте сформулировать обратную теорему

Верно. На самом деле именно обратная теорема используется при решении задач .

Приведенное квадратное уравнение х²+рх+q=0 имеет корни х₁ и х₂

справедливость формул

х₁+х₂=-р,

х₁ х₂=q

х₁=-p/2+√(p/2)²-q.

Х₂=-p/2-√(p/2)²-q.

х₁+ х₂= -p/2+√(p/2)²-q – p/2-√(p/2)²-q= - p/2- p/2=-2 p/2=-р;

х₁ х₂=q

Перемножить х₁ и х_2.

Х₁ х₂=( -p/2+√(p/2)²-q)(- p/2-√(p/2)²-q)

Можно применить формулу разности квадратов.

Х₁ х₂=(- p/2)²-(√(р/2)²- q)²=( p/2)²- (p/2)² +q= q

сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Если числа р, q, х₁ и х₂ таковы, что

выполняются равенства:

х₁+х₂=-р,

х_1*х₂=q,

то х₁ и х₂- корни уравнения х²+рх+q=0.

3.Рефлексивно-оценочный этап.

Какова была цель урока?

Достигли мы её?

Верно ли утверждение:

сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком или произведение корней равно свободному члену.

Почему?

Верно. Справедливо ли утверждение:

Если х₁ и х₂- корни уравнения:

х²+dх+f=0,

то справедливы формулы

х₁+х₂=-d

х_1*х₂=f.

Хорошо. Молодцы. Сформулируйте утверждение, обратное теореме Виета.

А теперь решим упражнения в которых применяется теорема Виета и обратная к теореме Виета.

(на доске записаны упражнения)

№1.

Дано уравнение х²-13х+30=0

Найти сумму и произведение корней уравнения.

Найти корни уравнения.

№2

Дано уравнение х²+4х-5=0

Найти сумму и произведение корней уравнения.

Найти корни уравнения.

№3

Один из корней уравнения

х²-19х+18=0 равен 1. Найти второй корень.

Верно.

№4

Один из корней уравнения

х²-х-12=0 равен 4. Найти второй корень.

№5

Составьте приведенное квадратное уравнение, корни которого х₁=3, х₂=4

№6

Составьте приведенное квадратное уравнение, корни которого х₁=8, х₂=1

№7

Найти (подбором) корни квадратного уравнения х²-5х+6=0,

используя теорему, обратную к теореме Виета.

№8

Найти (подбором) корни квадратного уравнения х²+2х-15=0,

используя теорему, обратную к теореме Виета.

Хорошо. А теперь сами придумайте упражнения на применение прямой и обратной теорем и решите их.

Молодцы. Итак, чему мы с вами сегодня научились?

Установить взаимосвязь между коэффициентами и корнями приведенного квадратного уравнения.

Да. Мы доказали теорему:

сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Нет.

По условию теоремы обе части заключения должны выполняться одновременно.

Верно. Мы заменим буквы р и q на d и f. От этого смысл теоремы не изменится.

Если числа р, q, х₁ и х₂ таковы, что

выполняются равенства:

х₁+х₂=-р,

х_1*х₂=q,

то х₁ и х₂- корни уравнения х²+рх+q=0.

(Д, Т)

х₁+х₂=13,

х_1*х₂=30,

х₁=10, х₂=3

х₁+х₂=-4,

х_1*х₂=5,

х₁=-5, х₂=1

Пусть х₁ и х₂ корни уравнения

х²-19х+18=0 и х₁=1, тогда по теореме Виета х₁+х₂=19, х_1*х₂=18,

1+ х₂=19, х₂=18, 1^.18=18

Ответ: х₂=18.

Пусть х₁ и х₂ корни уравнения

х²-х-12=0 и х₁=4, тогда по теореме Виета х₁+х₂=1, х_1*х₂=-12, 4+ х₂=1

х₂=-3, -3^.4=-12.

Ответ: х₂=-3.

Т. к. х₁=3, х₂=4 корни приведенного квадратного уравнения х²+рх+q=0, по теореме Виета х₁+х₂=-р, -р=7, р=-7,

х_1*х₂=q, q=12

х²-7х+12=0

Ответ: х²-7х+12=0

Т. к. х₁=8, х₂=1 корни приведенного квадратного уравнения х²+рх+q=0, по теореме Виета х₁+х₂=-р, -р=9, р=-9,

х_1*х₂=q, q=8

х²-9х+8=0

Ответ: х²-9х+8=0

Здесь р=-5, а q=6

х₁+х₂=5, х_1*х₂=6,

Заметим, что 6=2^.3, 2+3=5.

Получим, что х₁=2, х₂=3 корни уравнения.

Здесь р=2, а q=-15

х₁+х₂=-2, х_1*х₂=-15,

Заметим, что -15=-5^.3, -5+3=-2.

Получим, что х₁=-5, х₂=3 корни уравнения.

№1

Найти (подбором) корни квадратного уравнения используя теорему, обратную к теореме Виета:

а) х²-5х+6=0,

б) х²+4х-5=0.

Решение:

а) Здесь р=-5, а q=6

х₁+х₂=1, х_1*х₂=-30,

Заметим, что 6=-3^.2, -3+2=1.

Получим, что х₁=-3, х₂=2 корни уравнения.

б) Здесь р=4, а q=-5

х₁+х₂=-4, х_1*х₂=-5,

Заметим, что =-5^.1=-5, -5+1=-4.

Получим, что х₁=-5, х₂=1 корни уравнения.

№2

Найти сумму и произведение корней уравнения.

а) х²+х-6=0,

б) х²-8х-9=0.

Решение:

а)х₁+х₂=-1, х_1*х₂=-6.

б) х₁+х₂=8, х_1*х₂=-9.

№3

Составьте приведенное квадратное уравнение, корни которого

а)х₁=-4, х₂=-5.

б)х₁=-3 х₂=6

Мы научились решать квадратные уравнения более простым способом.