Техника вычисления пределов

Практическая работа «Техника вычисления пределов»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

научиться раскрывать неопределенность вида путем разложения на множители; научиться раскрывать неопределенность вида , вызванную присутствием корня; научиться вычислять пределы при , в том числе путем раскрытия неопределенностей вида и .

Теоретическая часть.

Раскрытие неопределенности вида путем разложения на множители:

Способы разложения на множители:

1) Вынесение общего множителя за скобку:

2) Формулы сокращенного умножения:

Разность квадратов

3) Разложение квадратного трехчлена на множители:

, где корни квадратного уравнения

4) Способ группировки

Образовать группы, между ними знак «+»,

В каждой группе вынести общий множитель за скобки,

Найти и вынести за скобки общий множитель обеих групп, в результате получим произведение множителей.

Раскрытие неопределенности вида вызванная присутствием корня:

Сопряженными называются множители , причем их произведение дает формулу разность квадратов

Согласно свойств степени и корня:

Пример 1:=

Вычисление пределов при , в том числе путем раскрытия неопределенностей вида и :

Предел бесконечно малой равен нулю.

Если предел величины равен нулю, то эта величина есть бесконечно малая.

Предел бесконечно большой величины равен бесконечности.Если - величина бесконечно малая, то обратная ей величина является бесконечно большой.

Если - величина бесконечно большая, то обратная ей величина является бесконечно малой.

Предел числа есть само число.

Произведение постоянной величины на бесконечно малую есть величина бесконечно малая.

Решение типового варианта практической работы.

Вычислить пределы функций.

а) Найти

Решение. Для вычисления данного предела подставим значение в функцию, стоящую под знаком предела. Получим,

.

Ответ. -3.

б) Найти .

Решение. Для раскрытия неопределенности в этом случае, нужно разложить числитель и знаменатель на множители и сократить дробь на общий множитель.

Ответ. -9.

в) Найти .

Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью. Для этого найдем пределы числителя и знаменателя дроби. Функции и являются бесконечно большими. Поэтому, ,.

Следовательно, имеем дело с неопределенностью вида .

Для раскрытия этой неопределенности и использовании теоремы о пределе отношения двух функций выделим в числителе и в знаменателе в старшей для числителя и знаменателя степени в качестве сомножителя и сократим дробь.

Ответ. 0

г) Найти .

Решение. Для раскрытия неопределенности в этом случае, нужно умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, а затем сократить дробь на общий множитель.

Ответ. .

Вариант 1

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Вариант 2

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

Вариант 7

Вариант 8

Вариант 9

Вариант 10

Вариант 11

Вариант 12

Вариант 13

Вариант 14

Вариант 15